Файл: Электрооборудование и автоматизация сельскохозяйственных агрегатов и установок учеб. пособие.pdf

К апериодическому звену можно отнести обмотки управления элект­ рических машин, магнитных усилителей и ряд других устройств. Необ­ ходимо отметить, что апериодическое звено наиболее часто отображает реальные конструктивные элементы САР.

^^ Дифференцирующее звено. Различают

идеальное и реальное дифференцирующие

бзвенья. В этих звеньях выходная величина

Уличина пропорциональна скорости измене­

-----i - -0 ния входной.

90

Примером электрических интегрирующих звеньев могут служить электрический двигатель, у которого можно пренебречь постоянными времени (электромагнитной и электромеханической), идеализирован­ ный интегрирующий контур с емкостью (рис. 45, а) и т. п. Временная характеристика интегрирующего звена показана на рис. 45, б. Как видно из этого рисунка и уравнения (5-13), при подаче на вход звена постоянного возмущения на выходе звена получается величина, воз­ растающая линейно с течением времени.

Колебательное звено. Звено называется колебательным, если выход­ ная величина при подаче единичного возмущения на вход достигает установившегося значения через гармонический переходный процесс.

Дифференциальное уравнение коле­ бательного звена имеет вид

Uбы*.

нение системы в целом составляют на основании уравнений отдельных звеньев.

В общем виде дифференциальное уравнение системы может быть

торые входят постоянные времени, передаточные коэффициенты и дру­ гие постоянные величины, стоящие при членах производных левой и правой части дифференциального уравнения.

Если система состоит из п звеньев, то порядок высшей производной уравнения системы как левой, так и правой частей будет равен сумме степеней соответствующих частей уравнений отдельных звеньев.

91

Из уравнений (5-9) — (5-14) видно, что порядок производной левой части уравнения выше, чем порядок производной правой части, поэтому

R

Рис. 46. Колебательное звено:

а электрическая схема; б — временная характеристика устой­ чивого звена; в — временная характеристика неустойчивого звена.

в дифференциальном уравнении (5-15) степень правой части т не может быть больше п, и, как правило, т < п.

92

S.4. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ

При исследовании и расчетах САР широкое применение находит математический метод, называемый п р е о б р а з о в а н и е м Л а п ­ л а с а . Этот метод позволяет функцию / (t) одного переменного (обычно времени) преобразовывать в функцию / (р) другого переменного (на­ пример р) с помощью соотношения

Преобразование Лапласа позволяет произвести алгебраизацию дифференциальных уравнений, т. е. операции дифференцирования

иинтегрирования заменить алгебраическими операциями умножения

иделения. При этом производная я-го порядка заменяется произведе­ нием оператора р в я-й степени на изображение F (р)

Следовательно, формально оператор р можно рассматривать как символ дифференцирования р = ~ . Это позволяет заменять производ­

ные в дифференциальных уравнениях произведениями, состоящими из операторов р в степени, равной порядку производной, умноженных на изображение переменной, т. е. переходить от дифференциальных уравнений к операторным.

О п е р а т о р н ы е у р а в н е н и я находят широкое примене­ ние при исследовании систем автоматики и позволяют получить пере­ даточные функции как отдельных звеньев, так и САР в целом.

П е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и е й э л е м е н т а и л и с м ­ е т е м ы называется отношение лапласового изображения соответ­ ствующей выходной величины к лапласовому изображению входной величины при нулевых начальных условиях, т. е. при условии, что элемент или система находились в состоянии покоя (t <; 0). Переда­

93

точная функция обозначается через W (р) и записывается в следую­ щем виде:

У (р) __ Л [у (Q]

(5-20)

•V(Р) А [* (t)]

Необходимо заметить, что преобразования Лапласа для функций, часто встречающихся в задачах регулирования, найдены и даются в справочных таблицах, где указаны оригинал / (t) и его изображение F (р). В качестве примера приведем несколько оригиналов и их изобра­ жений

функцию обмотки возбуждения машины постоянного тока. Входной величиной является напряжение, приложенное к обмотке UB, выход­ ной — ток возбуждения /„.

В статическом режиме уравнение обмотки возбуждения с приложен­ ным к ней напряжением 0 Вбудет иметь вид UB= RBIB.

В динамическом режиме в цепи появляется э. д. с. самоиндукции eL = — LB~~j, и алгебраическое уравнение превращается в дифферен­ циальное

откуда

Уа= ІsRb+ LB .

Разделим левую и правую части дифференциального уравнения на RB

№, = /, + 7 -» |..

На основании преобразования Лапласа перейдем от переменной t к переменной р и получим операторное уравнение

kitв (р) = / в (Р) + ТвРі в (р) = (1 + Г вр) / в (р ).

Согласно выражению (5-20) напишем передаточную функцию об­ мотки возбуждения

94

Пример 2. Составить операторное уравнение и найти передаточную функцию для электрической схемы на рис. 44, в.

Запишем дифференциальные уравнения для отдельных участков цепи. Напряжение UBX, приложенное к схеме, будет равно

Выходное напряжение і/вых определится как

Ѵ В Ы Х ~ ^ R ,

где I — сила тока, протекающая по сопротивлению R. Разделим оба уравнения на R

R U b x = = I + R C Ü 1 d t '

1 U —/

и ВЫХ — ' •

Обозначив ~ = k и RC = T, получим

Перейдем в уравнениях от переменной t к переменной р\

Решив совместно оба уравнения, получим операторное уравнение

Передаточная функция схемы будет выглядеть так:

следуя методике нахождения операторных уравнений и передаточ­ ных функций в рассмотренных примерах, составим операторные уравнения и передаточные функции для типовых звеньев систем автоматики. Операторные уравнения и передаточные функции для типовых звеньев будут соответственно иметь следующий вид.

Безынерционное звено

95