Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

ражение (3.4) для плотности полного тока. Вследствие осевой симметрии функции распределения ток направлен только вдоль поля, и величина его равна

Подставим сюда выражение (3.23) для f1. Та часть тока, ко­ торая находится в фазе с полем, т. е. пропорциональна полю и sin соt, представляет собой по определению (по закону Ома) ток проводимости. Та часть, пропорциональная cos соt, которая сдвинута по фазе по отношению к полю на л/2, т. е. пропорцио­ нальна dE/dt, есть ток поляризации. В соответствии с определе­ ниями проводимости а и диэлектрической постоянной ed найдем

оо

Если частота столкновений vm(v) не зависит от скорости, то, интегрируя по частям с учетом (3.1), (3.16) и принимая во внима­ ние, что при v ->■ сю / 0 (г;) 0, получим формулы (1.14) и (1.21). Таким образом, условием справедливости элементарных формул является независимость частоты столкновений от энергии элект­ ронов. Выражение (3.31) совпадает с формулой, которая полу­ чается при предельном переходе от квантового принципа деталь­ ного равновесия к классике (см. подраздел 5.3).

14.Квантовое уравнение и переход к классике

14.1.«Блуждания» по оси энергии. По самому существу клас­ сических представлений об изменении энергии электрона в поле распределение электронов по энергиям является функцией не­ прерывной. Дело не только в том, что кинетическое уравнение опи­ сывает статистическое поведение большого числа частиц, которые могут начинать движение с самыми различными скоростями. Функцию распределения всегда можно трактовать в вероятност­ ном смысле. Величина / (t, v) dv/-Ne представляет собой вероят­

ность того, что тот единственный электрон, за которым мы следим,

ную скорость и энергию, все равно с течением времени вероят­ ность обладания какой-то энергией е «расплывается», становится

100

непрерывной функцией е. Залогом того является дифференциаль­ ный характер кинетического уравнения, непрерывность работы, производимой над электроном электрической силой, что заключе­ но в дифференциальном выражении Е dfldv, а также возможность рассеяния электрона при столкновениях на любые углы.

Иначе обстоит дело в квантовом случае, когда энергия элект­ рона в поле излучения меняется в результате поглощения или вы­ нужденного испускания фотона конечной энергии На>. В этом случае эпергия электрона, начавшего процесс с какой-то опре­ деленной энергией е0, всегда будет отличаться от е0 на целое число квантов (если, конечно, отвлечься от непринципиального в дан­ ном случае влияния упругих потерь энергии). Конечно, в кванто­ вом случае также можно ввести в рассмотрение непрерывную функцию распределения по энергиям п (t, е) йг, но это обуслов­ лено лишь непрерывным характером начальных энергий электро­ на и упругих потерь. (Неупругие потери на возбуждение, кстати, также имеют дискретный характер.) Главное, что взаимодействие с полем излучения в квантовом случае описывается не дифферен­ циальными, а конечно-разностными выражениями, и это наклады­ вает особый отпечаток на функцию распределения п (е).

Уравнение такое составить очень легко. Пусть а (е) см5 и Ъ(е) см5 — коэффициенты поглощения и вынужденного испуска­ ния квантов при столкновениях с атомами, рассчитанные на один электрон и один атом. Величины ат, Ъа были введены в разделе 5; здесь у них для краткости опущены частотные индексы; мы всегда будем рассматривать монохроматическое поле излучения. Если F 1 см2 сек — плотность потока фотонов (для простоты луч света считаем параллельным), то квантовое уравнение для энергетичес­ кого спектра п (t, е) можно записать в виде [5]

= FNa { — а (г) п (е) + Ъ(г -f- hoi) п (е + Йсо) — Ъ(г)п (г) +

+а(е — Йсо)п(е— /но)} + Qx. (3.33)

ВQ1 включены все члены, не связанные с взаимодействием электронов с полем излучения и описывающие упругие, неупру­

гие процессы, диффузию в пространстве:

Последние три слагаемых определяются формулами (3.26), (3.28), (3.29). В этом’ разделе мы ими интересоваться не будем.

FСтоит специально оговорить роль спонтанного испускания квантов при столкновениях. Потери энергии на тормозное излу­ чение, как отмечалось в подразделе 4.5, очень малы, даже меньше, чем упругие. Сравнительная роль вынужденного и спонтанного испускания определяется интенсивностью внешнего излучения / ш(см. формулу (1.32)). Если приписывать излучению температу­ ру Тш, то в соответствии с этой формулой и формулой Планка

101

отношение скоростей вынужденного и спонтанного испускания

пущение выполняется с огромной точностью, так как «темпера­ тура» Та колоссальна.

Рис. 3.4. Схема скачкообраз­ ных блужданий электрона по оси энергии

Мы остановились здесь на этом в общем довольно тривиальном обстоятельстве, для того чтобы продемонстрировать одно общее свойство уравнения (3.33), не зависящее от конкретного вида коэффициентов а (е) и b (е). В стационарных условиях и в отсут­ ствие всех других процессов, кроме взаимодействия с излучением, электроны должны находиться в термодинамическом равновесии с полем излучения. Они должны обладать максвелловским рас­ пределением с температурой Гш, которая в данном случае «бес­ конечна», Максвелловская функция с бесконечной температурой

есть п (e)cte — v2dv— ]f &dt. С помощью формул (1.40), связывающих коэффициенты а и Ъ, нетрудно убедиться в том, что

В нестационарных условиях уравнение (3.33), вернее, та часть его, которая связана с поглощением и испусканием квантов, описывает случайные «блуждания» электрона по энергетической оси, блуждания, которые происходят скачками На> вперед и на­ зад. Опустим временно слагаемое Q± в уравнении (3.33). Такая операция имеет определенный смысл, так как упругие потери в очень интенсивном поле излучения играют сравнительно малую роль, в особенности если газ тяжелый. Неупругие потери дейст­ вуют либо в области достаточно больших энергий е, превышающих потенциал возбуждения атомов /* , либо приводят к «рождению» электронов с малыми энергиями. Этот последний фактор можно формально учесть так, будто в области малых энергий имеется источник электронов. В этих предположениях нестационарное движение электрона по энергетической оси можно представить себе как скачкообразные переходы, которые иллюстрируются рис. 3.4. где интервалы времени между скачками имеют порядок

102

среднего времени между поглощением или вынужденным испус­ канием квантов та, ть. Вероятности скачков

точно больших по сравнению с Нол, вероятности скачков в ту и в другую сторону становятся примерно одинаковыми. Это не озна­

ной одномерной диффузии частиц в пространстве. Однако даже при равновероятности скачков вперед и назад в конце концов электроны все равно уйдут вперед, в сторону нарастания энергии. Это происходит потому, что в области малых энергий е < Нол ве­ роятность вынужденного испускания обращается в нуль и здесь невозможно движение назад. Процесс вполне аналогичен одно­ мерной диффузии частиц при наличии непроницаемой стенки. С течением времени частицы неизбежно уходят в сторону от стен­ ки, где бы ни находился источник, т. е. откуда бы они ни начи­ нали свой путь.

14.2.Диффузионное приближение. Конечно-разностное урав­ нение (3.33) можно существенно упростить, превратив в диффе­ ренциальное, если функция распределения п (е) мало меняется на длине одного скачка Нол, т. е. при условии, что Нол гораздо мень­ ше характерных значений энергии е [5]. При пробое многих газов лазерным излучением это условие с каким-то приближением мож­ но считать выполненным. Действительно, энергия электронов в лавине достигает значений, превышающих потенциалы ионизации

ставляя эти разложения в уравнение (3.33) и опуская члены более высокого порядка малости, чем (Нол/г)2, получим дифференциаль­ ное уравнение второго порядка для функции распределения элект­

103