Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

5.Нарастание энергии электронов

вполе фотонов

5.1.Стохастический характер квантового процесса. Еще в первой работе Мейерэнда и Хота [6], о которой говорилось в раз­ деле 2, отмечалось, что оптический пробой в плотных газах сле­ дует трактовать как процесс лавинной ионизации, но что теория СВЧ-пробоя к данному случаю, видимо, неприменима, так как энергия колебаний электронов в поле и среднее приращение его энергии при столкновении гораздо меньше величины кванта.

Действительно, для частоты рубинового лазера со = 2,7 •1015 рад/сек и пробивающего поля Е ж 107 в!см по классической формуле (1.10) Де = 2еКОл ~ 2,3-10~2 эв, что на два порядка меньше, чем Па, = 1,78 эв. Нарастание энергии электрона в поле при этом следует рассматривать с позиций квантовой теории, и основным механизмом поглощения света, как указывалось в [6], является эффект, обратный тормозному испусканию кванта при упругом рассеянии электрона нейтральным атомом. Для краткости в даль­ нейшем будем называть его тормозным поглощением. (В сущности это квантовый аналог процесса, который рассматривался в раз­ деле 4.)

Лавинная теория пробоя на основе квантовых представлений была впервые развита в работе Я. Б. Зельдовича и автора [17]

в1964 г., вслед за появлением первой публикации по эксперимен­ там с оптическим пробоем [6]. В этом разделе мы рассмотрим толь­ ко элементарные процессы и разберем вопрос о взаимоотношении квантовых и классических представлений о нарастании энергии

вполе электромагнитной волны и поглощении света. Расчеты ла­ вины и пробивающих полей для лазерного пробоя будут изложены

вгл. 4; там же будет говориться и о других теоретических работах на эту тему.

Для того чтобы сразу было ясно, какие вопросы должны нас интересовать в первую очередь, если мы задались целью объяс­ нить процесс размножения электронов в поле фотонов, целесообраз­ но с самого начала пояснить, как протекает этот процесс.

Основным механизмом нарастания энергии электрона является поглощение световых квантов при столкновениях с атомами. Как

ив классической теории, столкновения здесь играют решающую роль, т. к. изолированный электрон не может поглощать кванты — это противоречило бы закону сохранения импульса. Действитель­ но, приобретая энергию, электрон получает и импульс. Между тем импульс фотона ничтожно мал. Следовательно, в акте поглоще­ ния должна участвовать еще одна частица. Таковой в данном случае является атом, который воспринимает импульс отдачи.

Чтобы достичь потенциала ионизации, электрону достаточно приобрести энергию, соответствующую сравнительно небольшому

32

квантов. Наряду с актами поглощения все время совершаются акты вынужденного испускания квантов под действием светового поля, опять же при столкновениях с атомами. Оказывается, что вероятности тех и других актов почти одинаковы, но с превыше­ нием вероятности поглощения. Электрон совершает некий стоха­ стический процесс блуждания по оси энергии, то приобретая энер­ гию, то отдавая ее порциями Йсо, но в конечном счете энергия его все же постепенно возрастает до величины, необходимой для того, чтобы произошел акт размножения. Очевидно, чтобы рассчитать время, которое для этого потребуется, необходимо знать частоту скачков по оси энергии, которая определяется вероятностями по­ глощения и вынужденного испускания квантов или соответст­ вующими коэффициентами.

5.2. Поглощение и вынужденное испускание квантов при столк­ новениях электронов с атомами. Коэффициенты тормозное по­ глощения и вынужденного испускания можно приближенно вы­ числить при помощи полуклассического приема, в основе своей подобного тому, которым Крамере еще в 1923 г. нашел коэффи­ циент тормозного поглощения, соответствующий рассеянию элек­ тронов в поле ионов. Существо этого приема состоит в том, чтобы от классической формулы для интенсивности тормозного испускания частоты со перейти к квантовому эффективному сечению испуска­ ния кванта Йоз (подробно см. об этом в книге [14]). После этого коэффициент обратного процесса — поглощения легко опреде­ лить, воспользовавшись квантовым принципом детального равно­ весия.

Количество энергии, которое электрон со скоростью v, стал­ киваясь с атомами, излучает в 1 сек в спектральном интервале den, по классической теории дается формулой (1.28). На кванто­ вом языке эту энергию следует представить в виде Ha>Navdaш, где doa — дифференциальное сечение испускания квантов от /ко до На + d(/ko). Определим приближенно квантовое сечение из­ лучения, приравнивая эту величину классическому выражению dQa. В результате найдем

В силу существования корреляции между отдельными столкно­ вениями сечение в общем случае оказалось зависящим от плот­ ности газа (через vra = Navom). ^

Как следует из самого вывода, формула (1.30) должна быть справедливой применительно к излучению малых квантов Гт

е = тгз2/2. Однако известно, что вычисленные таким же спо­ собом сечения тормозного излучения при рассеянии электрона ионами превосходно согласуются^ с точными квантовомеханиче­ скими результатами для квантов, сравнимых с энергией электрона, чуть ли не до самого предела Йозтах — е [14]. Имеются щквантовомеханические расчеты тормозных сечений для столкновений

с нейтральными атомами [18, 16]. Сравнение с ними простой формулы (1.30) показывает, что формула дает результаты, вполне приемлемые для практического использования. Квантовомеха­ нические формулы и выводы их, как правило, весьма сложны.

Воспользуемся теперь принципом детального равновесия Эйн­ штейна для излучения.

Обозначим cp (у) функцию распределения электронов по ско-

оо

1 сек в интервал частот dco и интервал телесного угла dQ электро--

С учетом вынужденного испускания эту величину следует помножить на 1 + я, где п — число фотонов с определенным на­ правлением поляризации, уже находящихся в той же фазовой

дано в подразделе 4.5. Полное испускание с учетом вынужденного есть

(„') dvV (l + U /„). (1.32)

Пусть после испускания кванта Йсо скорость электрона стано­ вится равной V. Скорости у' и v связаны законом сохранения энергии

Обозначим коэффициент тормозного поглощения, рассчитан­ ный на один атом и один электрон скорости у, аи (у) см5. Количе­ ство лучистой энергии из интервала dcodO, которое поглощается в 1 см3 в 1 сек электронами, обладающими скоростями от у до у + dv, есть

Аналогично определим понятие коэффициента вынужденного испускания Ъш(у') см5 так, чтобы величина

давала количество энергии, испускаемой вынужденным образом электронами со скоростями у'. Эта величина эквивалентна второ­ му слагаемому в (1.32). Сопоставляя (1.35) и (1.32), получим связь двух радиационных коэффициентов из трех (аш, Ъш, da^/dw):

34

По принципу детального равновесия при полном термодинами­ ческом равновесии величины полного испускания (1.32) и погло­ щения (1.34) в точности равны. Подставляя в это равенство рас­ пределение Максвелла

и имея в виду соотношения (1.33), найдем еще одну связь коэффи­ циентов:

Подставляя в формулу (1.39) найденное приближенно сечение тормозного излучения (1.30), получим формулу для коэффициента

где а^к — классический коэффициент поглощения, определяемый формулой (1.18), но рассчитанный на один электрон и один атом:

Мы специально так сгруппировали сомножители в формуле (1.41), чтобы выделить эту величину.

По поводу выражения (1.41) необходимо сделать несколько за­ мечаний. Конечно, эту формулу следует рассматривать как сугубо приближенную, полукачественную. Строго она справедлива лишь в пределе малых квантов Й ох^е'. Формально она должна

содержать еще множитель [со2 + (е)]/[со2 + v2m (е')], но, помня о том, что принятый корреляционный коэффициент, строго говоря, правилен, только если vm (г) = const, мы положили указанный множитель равным единице. Вообще на оптических частотах, как

правило, со2 Jg> и корреляция сказывается только при очень высоких давлениях газа (однако эффект корреляции проявился

на опыте, см. гл. 2). Если интересоваться частотами co2^>Vm> когда корреляции нет, то требование постоянства частоты стол­ кновений vm (е) = const не обязательно. Поэтому мы сохранили в формуле фактическую зависимость о т (г).

Однако, распространяя классическую формулу (1.28) для тор­ мозного излучения на случай излучения больших квантов, следу­ ет, по-видимому, учесть неодинаковость энергий электрона до и

коэффициенты аа и Ьа для аргона и гелия на частоте рубинового лазера. В основу расчетов положены экспериментальные кривые сечений упругих столкновений, изображенные на рис. 1.7 (там же приведены кривые для молекул воздуха). На этих рисунках вме­ сто эффективного сечения представлена часто употребляющаяся величина «вероятности соударений» Р с, по определению равная

36