Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

нитное поле в непроводящей среде у стенки определяется «ампервитками» соленоида:

фаза тока произвольна.

Уравнения (7.4), (7.5) интегрировались численно [7], причем для упрощения решалась обратная задача. На самом деле в соот­ ветствии с постановкой задачи следует задавать ампер-витки соленоида и радиус трубки R. В результате решения должны опре­ делиться температура и магнитное поле на оси Т (0), Н (0). Авто­ ры же, задаваясь произвольно значениями Т (0), Н (0), начинали интегрировать уравнения от точки г = 0. На некотором радиусе температура Т (г) очень резко падала. Радиус R, соответствующий экстраполяции Т к нулю, и считался радиусом трубки, а по ампли­ туде поля Н в этой точке определялись ампер-витки.

На рис. 7.8 представлены результаты расчета для нескольких вариантов, которые иллюстрируют поведение температуры и по-

235

лей в разряде. Профиль температуры имеет характер плато с не­ большим провалом в середине и резким спадом у краев. Появле­ ние провала связано с влиянием потерь на излучение: тепло вы­ деляется только в периферийном слое плазмы из-за скинирования, а излучает весь нагретый объем.

Многочисленные измерения распределений температур и элек­ тронных плотностей по радиусу, выполненные различными мето­ дами, подтверждают такое поведение температуры и также свиде­ тельствуют о существовании небольшого провала на оси. На рис. рис. 7.9 и 7.10 для примера приведены результаты двух экспери­ ментальных работ.

Результаты численных расчетов многих вариантов и их разум­ ное согласие с экспериментом показывают, что изложенная выше постановка задачи правильно отражает существо процесса. Одна­ ко проникнуться пониманием природы закономерностей явления можно только путем пусть даже приближенных, но аналитиче­ ских решений. Значительный прогресс в этом направлении был достигнут в работе В. А. Груздева, Р. Е. Ровинского и А. П. Со­ болева [11], в которой рассматривалась та же самая задача и те же уравнения, но только без учета потерь на излучение (кстати, расчеты [7] показали, что последние существенны только при

236

Рис. 7.10. Изотермы в аргоне [10]

(7.5), который в практически важном случае тонкого скин-слоя непосредственным образом определяет температуру плазмы через ампер-витки соленоида.

Опуская потери Ф в уравнении (7.4) и выражая член джоулева

где постоянная интегрирования, равная нулю, определяется гра­ ничными условиями на оси.

237

Уравнение (7.7) выражает тот очевидный факт, что в условиях стационарного процесса без потерь электромагнитный поток в каждой точке компенсируется тепловым, так же как и в целом поток электромагнитной энергии, поступающий в разряд от соле­ ноида, полностью отводится теплопроводностью в стенки трубки.

Но уравнения Максвелла (7.5), в которых опущен ток смеще­ ния, позволяют представить поток S в дифференциальной форме:

Если подставить это выражение, а также дифференциальное выражение (7.4) для / в уравнение (7.7) и умножить все на а, уравнение можно проинтегрировать, и мы получим второй интег­ рал системы, причем постоянная интегрирования определяется граничными условиями у трубки: при Т = Тст Н = Н0. Будучи отнесенным к точке г = 0, интеграл дает связь максимальной тем­ пературы плазмы (на оси) Тк = Т (0) с величиной магнитного поля на оси

В том практически важном случае, когда скин-слой у поверх­ ности плазменного столба оказывается тонким по сравнению с его радиусом (фактически с радиусом трубки R), т. е. поле не прони­ кает в глубь плазмы и Я (0) ж 0, уравнение (7.9) дает непосред­ ственную связь температуры плазмы Гк с током в соленоиде

Температура в этом случае не зависит ни от частоты поля, ни от радиуса трубки.

В работе [11] развит метод последовательных приближений для нахождения распределений температуры Т (г) и полей и вы­ числения мощности и в общем случае, когда Н (0) 0. Приведем численный пример. Для разряда в аргоне при атмосферном давле­

= 0,21 квт/см; радиус поверхности, где температура снижается

238

= 10 000°, W = 1,1 квт/см, r0 = 0,98 R, 5 = 0,3 см. Эти резуль­ таты неплохо согласуются с экспериментом.

Обращает на себя внимание большое сходство соотношений (7.10) и (6.59). Последнее справедливо для такого же статического разряда, но поддерживаемого электромагнитной волной, которая описывается приближением геометрической оптики (6.28). Причи­ на сходства состоит в том, что в обоих случаях существует интег­ рал сохранения потока энергии (7.7) и (6.57) и уравнения Макс­ велла позволяют приближенно выразить поток электромагнитной энергии в дифференциальной форме. Дифференциальные выраже­ ния (7.8) и (6.28) соответствуют предельным случаям малых частот, когда несуществен ток смещения, и больших частот, когда спра­ ведливо геометрико-оптическое уравнение (6.28).

Физический смысл определяющего соотношения (7.10) стано­ вится наглядным, если связать температуру не с ампер-витками,

ас плотностью потока электромагнитной энергии S0, поступающей

вразряд от соленоида. Это можно сделать, но только приближен­ но. Уподобим разрядную плазму однородному проводнику радиу­ са г0 и проводимости п = пк, который отделен от стенок трубки непроводящим зазором,— это называют моделью «металлического цилиндра». (Из рассмотрения графиков Т (г) рис. 7.8 следует,

что такое приближение вполне приемлемо.) Если скин-слой тон­ кий (б г0), поле спадает в глубь проводника по закону ехр (—ж/б), а поток энергии в проводник выражается простой формулой [8]

Допустим, что температура Тк и степень ионизации невелики, так что а — Ne ~ ехр (— 1/2кТ). Вычисляя интеграл (7.13), так как это сделано в подразделе 24.4 при выводе формулы (6.60), найдем

что можно интерпретировать так же, как и формулу (6.60). Джоулево тепло выделяется главным образом в слое, где проводимость не более чем в е раз меньше максимальной величины ок на оси. Перепад температуры в этом слое А Т дается формулой (6.56). Толщина слоя, где поле диссипируется, порядка бкСледователь­ но, радиальный поток тепла, который выносит к трубке энергию

239

деление температуры и поля в переходном слое от непроводящего газа к плазме, т. е. в области границы разряда, имеют универсаль­ ный характер, например Т = ТК/ (г/6к). В этой работе выведено и численно проинтегрировано уравнение для безразмерной темпе­ ратуры и построены профили всех величин в переходном слое. Найдена также точная связь температуры плазмы Тк с потоком электромагнитной энергии S0 в разряд. Эта связь, естественно, дается той же формулой (7.14), но содержит точное значение численного коэффициента— 3,14 вместо 4, что характеризует сте­ пень приближения модели металлического цилиндра в данном случае.

В заключение этого раздела мы хотели бы еще раз подчеркнуть, что температура разрядной плазмы определяется условием балан­ са потоков энергии в самой зоне диссипации поля и без рассмотре­ ния этого процесса, скажем, если в буквальном смысле не выходидить за рамки модели «металлического цилиндра», определить проводимость эквивалентного разряду проводника в принципе невозможно. Что же касается радиуса разряда г„, то его легко свя­ зать с выделяющейся в проводнике мощностью W условием тепло­

^ст

28,2. Влияние частоты и порог режима. Вследствие резкого характера зависимости о (Т) даже для небольшого повышения температуры требуется значительное увеличение тока в индукто­ ре, что сопровождается существенным увеличением мощности, вкладываемой в разряд. Сказанное следует из формул (7.10), (7.13) и усугубляется появлением при высоких температурах потерь на излучение, которые не были учтены. Практически в ин­ дукционных разрядах атмосферного давления температуры не поднимаются выше примерно 10 000°. Примечательно, что ток в индукторе, необходимый для поддержания данной температуры, по формуле (7.10) не зависит от частоты. Этот вывод, однако, спра­ ведлив только в случае достаточно высоких частот. На низких частотах, так же как и при небольшой проводимости (температуре), толщина скин-слоя перестает быть малой по сравнению с радиусом разряда, и формулы (7.10), (7.13) теряют силу.

В работе Р. Е. Ровинского и А. П. Соболева [13] был рассмот­ рен практически важный вопрос: на какой частоте вообще выгод­ нее всего работать, если, скажем, иметь в виду получение плазмы

240