Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

Для получения недостающего уравнения в теории дуги обычно используется так называемый принцип минимума Штеенбека, или принцип минимума мощности, согласно которому при задан­ ных I 0, R и Тстдолжно установиться такое распределение Т (г), чтобы выделяющаяся мощность W, а следовательно, и поле Е были минимальными. Если продифференцировать уравнение (7.20) по rQс учетом того, что между ок = а (Тк) и г0 имеется функ­ циональная зависимость, подставить производную dTK/dr0, опре-

Рис. 7.13. «Вольт-амперная» харак­ теристика дуги в азоте атмосферно­ го давления [16]

Сплошная линия — эксперимент, пунктир­ ная — расчет с применением принципа минимума. Радиус охлаждаемой трубки

1,5 см

Расчеты дуг на основе уравнений (7.20)—(7.22) дали превосход­ ное согласие с опытом (рис. 7.13). Однако вопрос о правомерности использования принципа минимума, который отнюдь не является очевидным, послужил предметом многих дискуссий и обсужде­ ний в печати, начиная с 30-х годов и вплоть до наших дней. Воп­ рос, видимо, не потерял своей актуальности, ибо даже в послед­ ние годы появляются работы, в которых при помощи принципа минимума рассчитывают не только дуговые, но индукционные и СВЧ-разряды. Между тем в последних двух случаях примене­ ние принципа приводит просто к ошибочным результатам, хотя внешне в каких-то диапазонах параметров получаются разумные качественные зависимости и даже согласие с опытом [14, lo, ooj.

Откладывая немного обсуждение возможности использования принципа минимума, покажем, что в привлечении это™ принципа к расчету дуги на основе каналовой модели нет ни малейшей необ ходимости, а недостающее соотношение вытекает из рассмотре­ ния процесса в самом канале [18]. Тем самым будут продемонстри­ рованы общность и единство основных закономерностей, которые определяют температуру плазмы в разрядах любых частотных диапазонов и возможность действовать стандартным методом, которым уже были получены соответствующие соотношения

245

в случаях индукционного разряда (см. раздел 28) и разряда, поддерживаемого электромагнитной волной (см. подраздел 24.4).

В рассматриваемой задаче из исходного уравнения (7.18), со­ вершенно общего соотношения (6.26) и граничных условий на оси также вытекает закон сохранения суммарного потока энергии

умножая уравнение потоков (7.8) на а и интегрируя, получим

Это точное соотношение мы превратим в приближенное, вос­ пользовавшись каналовой моделью, для того чтобы выразить первую часть через данную величину полного тока. (В условиях данной геометрии поток S нельзя представить в чисто дифферен­ циальной форме, поэтому уравнение потока (7.8) не удается про­ интегрировать точно.) Вне канала Н — Н0 {гJr), где Н0 = 210/сг0, внутри канала Н = Н 0 (г/г0). Подставляя эти выражения в (7.23), получим соотношение

ТСт~0

которое дает недостающую связь Тк и г0, по своему выводу опре­ деляет именно температуру плазмы и вполне аналогично соотно­ шениям (7.10), (6.59), которые получались для рассмотренных ранее разрядов.

При обычно резкой зависимости а (Т) новое уравнение (7.24) дает практически те же численные результаты, что и старое — (7.22), т. е. также обеспечивает согласие с опытом, проверенное старыми расчетами слаботочных дуг (см. рис. 7.13). Но, конечно, оно имеет совсем иное физическое содержание, выражая, как и в рассмотренных ранее случаях, условие стационарного вывода

1Заметим, что при этом вычисление интеграла в (7.24) использованным ра­ нее способом дает результат, в точности совпадающий с результатом диф­ ференцирования й в уравнении (7.22).

246

Таким образом, для поддержания более низких температур тре­ буются меньшие токи (кстати, отсюда следует, что состояния устой­ чивы). При понижении тока сокращается радиус разряда, умень­ шается мощность и возрастает напряженность поля. Из последне­ го ясно, что существует порог по току (и температуре): если необ­ ходимое напряжение на электродах превысит возможности гене­ ратора, режим станет невозможным.

29.2. О недопустимости повсеместного применения принципа минимума. Принцип минимума мощности был высказан Штеенбеком в 1932 г. [16] в качестве интуитивного полуэмпирического правила, и его популярность в значительной степени объясняется успешным согласием с опытом, которое дает его применение к рас­ четам дуговых разрядов. Попытки теоретического обоснования принципа свелись в конце концов к анализу его связи с известным принципом минимума производства энтропии в термодинамике неравновесных процессов. При этом, а также при выяснении при­ чин отдельных неудач получилось некое наслоение ошибок: неко­ торые авторы, справедливо критикуя предыдущие работы, сами допускали новые неточности. Наиболее совершенный анализ воп­ роса, по нашему мнению, содержится в работах М. О. Розовско­ го [19, 20].

Не входя в подробности, скажем о результате этого исследо­ вания. Даже когда справедлив принцип минимума производства энтропии, мощность в стационарном состоянии, вообще говоря, не минимальна по сравнению с мощностью, диссипируемой в раз­ ряде при нестационарных условиях, близких к стационарному, т. е. принцип минимума мощности для дуги не является физиче­ ским законом. В то же время условием минимума W можно поль­ зоваться при вариационном подходе к расчету дуги как удобным математическим приемом, но справедливым только для определенного класса пробных распределений температуры. В част­ ности, распределения, отвечающие каналовой модели дуги, удов­ летворяют необходимому условию, которое накладывается на допустимые распределения, и потому результаты, основанные на принципе минимума мощности, получаются удовлетворительными. Что касается термодинамических систем, находящихся в перемен­ ных электромагнитных полях, то для них оказывается несправед­ ливым сам принцип минимума производства энтропии и вариа­ ционный подход, основанный на применении условия минимума мощности, вообще незаконен. В работе [20] показано воочию, в ка­ ком конкретном месте рассуждений появляется ошибка при при­ менении принципа минимума к высокочастотному разряду. Там предложен также некий полезный вариационный подход к зада­ чам о стационарных разрядах.

Итак, нет никаких причин для того, чтобы прибегать в теории разрядов к принципу минимума, который не имеет ясного физи­ ческого содержания и даже при ближайшей попытке обоснования неизбежно приводит к необходимости тонкого и сложного анализа.

247

Любую практически полезную упрощенную модель разряда типа каналовой, металлического цилиндра и т. д. (все они имеют один характер) можно сделать замкнутой путем приближенного рассмотрения процесса в самом «канале» на основе обычных урав­ нений баланса энергии и электродинамики.

30. Контракция разряда в постоянном поле теплоотдачей в стенки

Мы видели, что задача о столбе дуги (раздел 29) в своей поста­ новке и по характеру решения уравнений режима имеет большое сходство с задачами об индукционном разряде в длинном соленоиде (раздел 28), о разряде в сходящемся световом луче (раздел 27), о поддержании плоского плазменного фронта падающей электро­ магнитной волной (подраздел 24.4). В основе сходства лежит то обстоятельство, что диссипирующаяся энергия поля во всех этих случаях выносится потоком тепла только в ту область, где дейст­ вует поле и откуда в разряд поступает поток электромагнитной энергии.

Рассмотрим процесс, который в этом отношении существенно отличается от перечисленных выше и, напротив, обнаруживает полнейшую аналогию с процессом поддержания длинного плаз­ менного столба в цилиндрическом световом канале, в условиях, когда плазма сильно прозрачна для света (подраздел 24.3). Это разряд в плоском канале между двумя пластинами, в котором соз­ дано постоянное продольное электрическое поле. Задача эта была поставлена и решена в работе А. Ф. Витшаса, А. М. Дыхне, В. Г. Наумова и В. П. Панченко [21] при изучении контракции разрядов. Явление контракции часто наблюдается в различных разрядах и заключается в том, что разряд не охватывает всей области, где действует внешнее электрическое поле, достаточное для поддержания разряда. В результате стационарно сосущест­ вуют соприкасающиеся области, где протекает электрический ток и где тока нет. В разделе 32 мы еще упомянем о различных возможных причинах контракции, сейчас же рассмотрим процесс, в котором причиной контракции служит теплопроводностный вынос тепла на охлаждаемые стенки канала.

Представим себе бесконечный в двух измерениях плоский ка­ нал между двумя охлаждаемыми пластинами, расположенными на расстоянии А друг от друга (рис. 7.14). Вдоль канала параллель­ но пластинам действует постоянное однородное электрическое поле Е = Ег, созданное электродами, которые расположены парал­ лельно плоскости ху. Допустим, что в данный момент времени слева от некоторой плоскости yz газ не ионизован и тока там нет, несмотря на то что поле имеется, а справа от нее ток течет (заштри­ хованная область). Вообще говоря, возможен стационарный ре­ жим, в котором пограничная плоскость, разделяющая токовую

24а

и бестоковую зоны (плазменный фронт), движется С постоянной скоростью и вдоль оси х за счет теплопроводностной передачи теп­ ла от плазмы в холодный газ. Это типичный случай теплопроводностного режима распространения разряда, о котором говорилось

в разделе 24.

Поставим себе целью найти условия стационарного стати­ ческого сосуществования токовой и бестоковой зон, когда плаз­ менный фронт покоится (и = 0). Такая задача решалась для слу-

Рис. 7.14. Схема разряда

вплоском канале

А— анод, К — катод. Область раз ряда заштрихована. Сверху — ка чественное распределение темпера

туры

X

чая неравновесного разряда в условиях очень слабой ионизации, когда электронный газ в плазме нагрет до высокой температуры, а газ тяжелых частиц (атомов и ионов) нагревается мало из-за его большой по сравнению с электронами теплоемкости и вследст­ вие теплопередачи в стенки [21]. Задача эта служила идеализи­ рованной моделью для интерпретации опытов А. Ф. Витшаса, В. С. Голубева и М. М. Маликова [22] по разряду в аргоне с ма­ лой легкоионизуемой добавкой паров цезия (атомы аргона оста­ вались нейтральными). Рассмотрим, в общем следуя ходу рассу­ ждений работы [21], гораздо более простой случай равновесного режима, в котором электропроводность является функцией еди­ ной температуры газа. Он вполне укладывается в класс тех рав­ новесных статических режимов, которым посвящена данная гла­ ва, и в силу своей простоты позволяет с большей наглядностью продемонстрировать все закономерности процесса. Не рассматри­ вая распределение температуры в поперечном направлении у , для того чтобы сделать задачу одномерной, запишем уравнение баланса энергии режима волны разряда

где A' — численный коэффициент порядка нескольких единиц, который определяется поперечным профилем температуры и ха­ рактеризует теплоотвод в стенки канала. Уравнение (7.26) совпа­ дает с уравнением (6.25), только вместо радиуса цилиндрического канала R стоит толщина плоского канала А. Как и в предельном случае слабого поглощения светового потока в плазменном столбе (подразделы 24.2, 24.3), поле Е постоянно, а граничные условия свидетельствуют о том, что в холодном газе при х = — оо Т = 0, а в плазме при х — -Г оо тепловыделение компенсируется потеря­ ми и J — 0.

249