Файл: Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 231

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

экспотенциальную функцию и интегрирования ее в определенных пределах.

Поскольку преобразование Лапласа является интегральным и, следовательно, обладает свойством операторов, то вместо дифферен­ циального уравнения для оригинала функции получают алгебраи­ ческое для нее изображение. Если имеется функция / (t) и ее изобра­ жение F (р), то зависимость между ними можно выразить так:

со

 

 

F(p) = l f(i)e~ptdt

= L[f(t)].

(156)

о

Для существования изображения оригинала необходимо, чтобы

интеграл

сходился; р—комплексное

число, причем

вещественная

часть в

нем — положительная. С

целью нахождения

изображения

любой функции нужно проинтегрировать выражение в заданных пределах. Так, если оригинал постоянная величина к, то его изобра­

жение представляет собой

 

 

 

.

F(k) = \ке-р* dt=4-

 

e~pt

f

(157)

о

 

 

 

 

при р > 0 .

 

 

Если оригинал мы имеем в виде к,

t,

то изображение

можно пред­

ставить

 

 

 

 

со

 

 

 

 

F (кі) = J Kte~pt

dt

= -~.

 

(158)

Получив таким образом изображение и решив его, переходим обратно к оригиналу. Оригинал по его изображению находят, как правило, по формуле обращения (обратное преобразование)

°~-Ь'со

?W = ikr

I F(p)ePtdP-

(159)

 

а—і со

 

Интегрирование происходит в комплексной плоскости

вдоль прямой

а = const, параллельной мнимой оси. Как правило, обратное пре­ образование осуществляют, используя таблицы и не прибегая к кон­ турному интегрированию. Вместо приведенной формулы можно использовать и другую

f (t) = lim

(—1)"

п

<16°)

 

(тГ"<р>(т)]-

Однако эта формула позволяет получить оригинал функции лишь при помощи операций дифференцирования и перехода к пределу. Покажем, как можно применять операционный метод при расчете охлаждаемых узлов газовой турбины.

13 Г. Г. Жаров

193


Дифференциальное уравнение температуры по высоте охлаждае­ мой лопатки теплоотводом в диск в общем виде запишем

 

 

 

 

 

£ + Л - 0 .

 

 

 

 

 

 

('61)

Пусть при х = О

 

 

 

 

tx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ (0) =

 

=

const;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(0) =

 

А

=

const.

 

 

 

 

 

Дифференциальное

уравнение представим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t" (х) — кН (х) =

0.

 

 

 

 

(162)

Применим

прямое

преобразование

Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t(p) = \

e~pxt(x)dx

 

=

L [t(x)\,

 

 

(163)

т. е.

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

U" (х)] — к2Ь

(*)] =

0.

 

 

(164)

Используя

основные

свойства

преобразования

Лапласа,

находим

 

 

р2 t (р) — tlP

А кЧ (р) = 0.

 

 

(165)

Последнее уравнение является алгебраическим, поэтому решаем

его, считая р

простым

числом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

=

Ч р +

^

=tj_

,

р

0

+

А—-0

к

 

.

(166)

 

р

 

р - — к-

 

1

р 2

— к 2

1

( р 2

— к 2 ) к

 

v

'

Пользуясь

обратным

преобразованием

Лапласа,

определяем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

(167)

 

 

 

 

t (х) = tt ch кх

 

r

sli /ех.

 

 

 

Это и будет

температура

по

высоте

охлаждаемой

лопатки тепло-

отводом в

диск.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

метод

преобразований

Лапласа

при

решении

уравнений теплопроводности имеет ряд преимуществ перед методом

разделения переменных. Прежде

всего решение задачи однотипно

и не требует особого подхода в

каждом отдельном случае. Кроме

того, интегральные преобразования Лапласа позволяют в равной степени решать задачи при граничных условиях первого, второго, третьего и четвертого родов, а также быстро и легко решать задачи с простыми начальными условиями (по одной координате). Исполь­ зование этого метода в инженерной практике упрощается наличием таблиц изображений, в результате чего задача сводится к решению только алгебраического уравнения. Однако решение задач таким методом затруднено при задании начальных условий в виде функции пространственных координат. В таком случае прибегают к использо­ ванию преобразований Фурье и Хенкеля [42]. Выполняя эти пре­ образования, следует обращать большее внимание на сходимость интегралов, так как условия сходимости становятся более жесткими, чем условия сходимости в интегралах Лапласа.


Все рассмотренные преобразования можно применить для расчета тел полуограниченной протяженности. При решении задач с конеч­ ной областью изменения переменных создан ряд методов конечных интегральных преобразований. Эти методы мы специально рассма­ тривать не будем. С ними можно ознакомиться в специальной лите­ ратуре [14].

§ 47. Решение дифференциального уравнения теплопроводности приближенными методами

При сложных граничных условиях, которые имеют место в охлаждаемых узлах газовых турбин, уравнение тепло­ проводности решить точными методами не представляется возмож­ ным. Поэтому в настоящее время ши­ роко применяют приближенные ме­ тоды. К ним относятся методы конеч­ ных разностей, элементарных балан­ сов и регулярного режима.

Метод конечных разностей или

метод сеток основан на замене про­ изводных их приближенным значе­ нием или замене непрерывной кривой

рассматриваемого

процесса

ломаной

и непрерывного во

времени

процесса

прерывным

с фиксированным

шагом.

Тем самым

дифференциальное

урав­

нение теплопроводности

сводится

к эквивалентным соотношениям в ко­ нечных разностях, решение которого не составляет особого труда. Вновь полученное уравнение решают методом последовательных приближений,

Рис. 105. К замене частных производных конечно-разностными вы-

раженими.

где очередное значение температуры в точке является функцией предыдущего по времени и координатам. Применение метода конеч­ ных разностей при ручных расчетах было весьма затруднено. С по­ явлением ЭВМ этот метод нашел широкое распространение.

Метод конечных разностей обеспечивает большие преимущества при расчете нестационарных температурных полей, а также дает возможность учесть физические константы и коэффициенты тепло­ отдачи. Сущность метода сводится к замене производных через раз­

ностные отношения [42]. Представим, что нам дана функция t

=

f (х)

( р И С . 105). И з В е С Т Н О , ЧТО П р О И З В О Д Н у Ю ф у Н К Ц И Ю П р и

X =

Х(

можно

представить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t't = igat.

 

 

 

 

(І 68)

Выберем

на кривой

две соседние точки

А г _х ;

^_х )

и с

 

^•+ 1 ) таким

образом,

чтобы разности xt

— xt_± = xi+1

— xt

= h

были бы достаточно малы. Считая шаг h достаточно малым, мы имеем

13*

195


право приближенно принять равными и углы at = р\ = 7,., а сле­ довательно, рассматривать вместо касательной одну из секущих АВ или. ВС.

Тогда первая производная в точке і примет вид

или

л ~ to- v . —

^

^

^"-1

' ~ щ Y l _

АЕ

 

ft

или

 

 

 

 

 

 

Приближенное значение второй производной получаем, если заменим кривую на ломаную линию

/' ^_

_ j _

(

^1+1 ti

h — h-l

\

^1+1 %h -f- / і - !

 

,, K Q \

h ~

ft

\

ft

ft

) -

h?

[ i b J >

Используя приведенные зависимости, можно преобразовать диф­ ференциальное уравнение теплопроводности к виду, удобному для решения. Покажем на примере одномерного уравнения теплопровод­ ности для тонкого стержня приведение его к алгебраическому урав­ нению методом конечных разностей.

Пусть дан стержень длиной /. Распределение температуры для изолированного тонкого стержня описывается уравнением вида

Поскольку температура зависит от времени и координаты (от

двух переменных),

то обозначим

истинное

значение

температуры

в точке

через х

k,

где

і

— количество шагов

по

координате

х

до

рассматриваемой

точки,

a

k — количество шагов

по

координате

т

до рассматриваемой

точки. Обозначим: h — шаг

по

координате

х;

п — шаг по координате

т. Тогда

уравнение

(170) в

узле ik

заме­

няется

выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U, k+i-

ti, k

_j_

^ =

a ^ tt-i.

k - 2ti, k +

tt+1.

к

 

 

(171)

где £x и £ 2 — остаточные члены при шаге, не равном нулю.

Чем меньше шаг, тем меньше t,i и £ 2 и тем точнее замена диффе­ ренциального уравнения уравнением в конечных разностях. Преоб­

разуя уравнение

(171),

получаем

 

 

 

 

к ы = (1

Ж " )

* + I F

* +

k ^ h

~

( 1 7 2 )

Отбросив остаточный член h (а£2 t,i), вследствие его малости, найдем приближенное значение расчетной температуры в том же узле

к *+х = (1 + т )

к k + ^ " tt-i. k + tl+1. k ) .

(173)


По формуле (173) можно

определить температуру в

первом ряду

по х при т =

п, при известных краевых условиях т =

0.

Получен­

ные значения

температур в

первом ряду будут являться

краевыми

условиями для определения температур во втором ряду и т. д. Так можно получить все необходимое поле температур любого узла газовой турбины. Выбор шага при таких расчетах имеет существен­ ное значение. При малом шаге получается более точное решение, при большем шаге точность снижается, но зато сокращается рас­ четное время.

В случае решения нестационарных уравнений в частных произ­ водных параболического типа соотношение шагов, а также ошибка округления в численном решении определяет сходимость и устой­ чивость получаемых решений. Для некоторых соотношений шагов можно получить ряд упрощенных частных решений:

При

п = 1г213а

 

 

 

 

 

 

 

H.fc+i-

 

з

 

При /і =

h2/Qa

 

 

 

 

 

 

 

і

k+i

ti-vk + 4tj,k

+ U+i.k

 

 

4.

 

5

 

При n =

h2/\2a

 

 

 

 

 

 

 

і

_

h-i,k +

10^. k + fi+i, k

 

 

h, ft+i —

 

12

 

При

n =

h2/pa

 

 

 

 

 

 

 

j.

_ tj-v

k + (p — 2) ti, к + ti+i, к

 

 

h, k+i -

 

-

 

Формула

значительно

упрощается

при р = 2

 

Рассмотренный метод применяют при решении двух- и трехмер­

ных

задач. Однако при этом требуется значительное время (даже

на

ЭВМ). Например, для получения плоскостного стационарного

температурного поля охлаждаемой натрием по шести каналам ло­ патки требуется 3,5 ч рабочего времени ЭЦВМ М-220. Поэтому в на­ стоящее время разрабатываются новые разновидности метода конеч­ ных разностей, которые позволяют значительно сократить время расчета. К таким методам прежде всего следует отнести локальноодномерный метод переменных направлений.

Метод конечных разностей сложнее применить при рассмотрении тел более сложной формы, так как значительно усложняется про­ грамма расчета. В этом отношении наиболее целесообразен метод элементарных балансов [5], основанный на разбивке всего рассматри­ ваемого тела на ряд элементарных объемов, в пределах которых закон изменения температуры принимается линейным. Метод позволяет определить температуру в любых телах при любых граничных усло-