Файл: Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 231
Скачиваний: 1
экспотенциальную функцию и интегрирования ее в определенных пределах.
Поскольку преобразование Лапласа является интегральным и, следовательно, обладает свойством операторов, то вместо дифферен циального уравнения для оригинала функции получают алгебраи ческое для нее изображение. Если имеется функция / (t) и ее изобра жение F (р), то зависимость между ними можно выразить так:
со |
|
|
F(p) = l f(i)e~ptdt |
= L[f(t)]. |
(156) |
о
Для существования изображения оригинала необходимо, чтобы
интеграл |
сходился; р—комплексное |
число, причем |
вещественная |
часть в |
нем — положительная. С |
целью нахождения |
изображения |
любой функции нужно проинтегрировать выражение в заданных пределах. Так, если оригинал постоянная величина к, то его изобра
жение представляет собой |
|
|
|
. |
F(k) = \ке-р* dt=4- |
|
e~pt |
f |
(157) |
о |
|
|
|
|
при р > 0 . |
|
|
||
Если оригинал мы имеем в виде к, |
t, |
то изображение |
можно пред |
|
ставить |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
F (кі) = J Kte~pt |
dt |
= -~. |
|
(158) |
Получив таким образом изображение и решив его, переходим обратно к оригиналу. Оригинал по его изображению находят, как правило, по формуле обращения (обратное преобразование)
°~-Ь'со
?W = ikr |
I F(p)ePtdP- |
(159) |
|
а—і со |
|
Интегрирование происходит в комплексной плоскости |
вдоль прямой |
а = const, параллельной мнимой оси. Как правило, обратное пре образование осуществляют, используя таблицы и не прибегая к кон турному интегрированию. Вместо приведенной формулы можно использовать и другую
f (t) = lim |
(—1)" |
п |
<16°) |
|
(тГ"<р>(т)]- |
Однако эта формула позволяет получить оригинал функции лишь при помощи операций дифференцирования и перехода к пределу. Покажем, как можно применять операционный метод при расчете охлаждаемых узлов газовой турбины.
13 Г. Г. Жаров |
193 |
Дифференциальное уравнение температуры по высоте охлаждае мой лопатки теплоотводом в диск в общем виде запишем
|
|
|
|
|
£ + Л - 0 . |
|
|
|
|
|
|
('61) |
||||||
Пусть при х = О |
|
|
|
|
tx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
/ (0) = |
|
= |
const; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f |
(0) = |
|
А |
= |
const. |
|
|
|
|
|
|||
Дифференциальное |
уравнение представим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
t" (х) — кН (х) = |
0. |
|
|
|
|
(162) |
||||||||
Применим |
прямое |
преобразование |
Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
t(p) = \ |
e~pxt(x)dx |
|
= |
L [t(x)\, |
|
|
(163) |
||||||||
т. е. |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
U" (х)] — к2Ь |
[І (*)] = |
0. |
|
|
(164) |
|||||||||
Используя |
основные |
свойства |
преобразования |
Лапласа, |
находим |
|||||||||||||
|
|
р2 t (р) — tlP |
— А — кЧ (р) = 0. |
|
|
(165) |
||||||||||||
Последнее уравнение является алгебраическим, поэтому решаем |
||||||||||||||||||
его, считая р |
простым |
числом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
= |
Ч р + |
^ |
=tj_ |
, |
р |
0 |
+ |
А—-0 |
к |
|
. |
(166) |
||||
|
р |
|
р - — к- |
|
1 |
р 2 |
— к 2 |
1 |
( р 2 |
— к 2 ) к |
|
v |
' |
|||||
Пользуясь |
обратным |
преобразованием |
Лапласа, |
определяем |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
— |
|
|
|
— |
|
А |
— |
|
|
|
(167) |
|||
|
|
|
|
t (х) = tt ch кх |
|
r |
sli /ех. |
|
|
|
||||||||
Это и будет |
температура |
по |
высоте |
охлаждаемой |
лопатки тепло- |
|||||||||||||
отводом в |
диск. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
метод |
преобразований |
Лапласа |
при |
решении |
уравнений теплопроводности имеет ряд преимуществ перед методом
разделения переменных. Прежде |
всего решение задачи однотипно |
и не требует особого подхода в |
каждом отдельном случае. Кроме |
того, интегральные преобразования Лапласа позволяют в равной степени решать задачи при граничных условиях первого, второго, третьего и четвертого родов, а также быстро и легко решать задачи с простыми начальными условиями (по одной координате). Исполь зование этого метода в инженерной практике упрощается наличием таблиц изображений, в результате чего задача сводится к решению только алгебраического уравнения. Однако решение задач таким методом затруднено при задании начальных условий в виде функции пространственных координат. В таком случае прибегают к использо ванию преобразований Фурье и Хенкеля [42]. Выполняя эти пре образования, следует обращать большее внимание на сходимость интегралов, так как условия сходимости становятся более жесткими, чем условия сходимости в интегралах Лапласа.
Все рассмотренные преобразования можно применить для расчета тел полуограниченной протяженности. При решении задач с конеч ной областью изменения переменных создан ряд методов конечных интегральных преобразований. Эти методы мы специально рассма тривать не будем. С ними можно ознакомиться в специальной лите ратуре [14].
§ 47. Решение дифференциального уравнения теплопроводности приближенными методами
При сложных граничных условиях, которые имеют место в охлаждаемых узлах газовых турбин, уравнение тепло проводности решить точными методами не представляется возмож ным. Поэтому в настоящее время ши роко применяют приближенные ме тоды. К ним относятся методы конеч ных разностей, элементарных балан сов и регулярного режима.
Метод конечных разностей или
метод сеток основан на замене про изводных их приближенным значе нием или замене непрерывной кривой
рассматриваемого |
процесса |
ломаной |
||
и непрерывного во |
времени |
процесса |
||
прерывным |
с фиксированным |
шагом. |
||
Тем самым |
дифференциальное |
урав |
||
нение теплопроводности |
сводится |
к эквивалентным соотношениям в ко нечных разностях, решение которого не составляет особого труда. Вновь полученное уравнение решают методом последовательных приближений,
Рис. 105. К замене частных производных конечно-разностными вы-
раженими.
где очередное значение температуры в точке является функцией предыдущего по времени и координатам. Применение метода конеч ных разностей при ручных расчетах было весьма затруднено. С по явлением ЭВМ этот метод нашел широкое распространение.
Метод конечных разностей обеспечивает большие преимущества при расчете нестационарных температурных полей, а также дает возможность учесть физические константы и коэффициенты тепло отдачи. Сущность метода сводится к замене производных через раз
ностные отношения [42]. Представим, что нам дана функция t |
= |
f (х) |
|||||
( р И С . 105). И з В е С Т Н О , ЧТО П р О И З В О Д Н у Ю ф у Н К Ц И Ю П р и |
X = |
Х( |
можно |
||||
представить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t't = igat. |
|
|
|
|
(І 68) |
Выберем |
на кривой |
две соседние точки |
А (хг _х ; |
^_х ) |
и с |
|
|
^•+ 1 ) таким |
образом, |
чтобы разности xt |
— xt_± = xi+1 |
— xt |
= h |
были бы достаточно малы. Считая шаг h достаточно малым, мы имеем
13* |
195 |
право приближенно принять равными и углы at = р\ = 7,., а сле довательно, рассматривать вместо касательной одну из секущих АВ или. ВС.
Тогда первая производная в точке і примет вид
или
л ~ to- v . — |
^ |
^ |
^"-1 |
' ~ щ Y l _ |
АЕ |
|
ft |
или |
|
|
|
|
|
2Л |
|
Приближенное значение второй производной получаем, если заменим кривую на ломаную линию
/' ^_ |
_ j _ |
( |
^1+1 — ti |
h — h-l |
\ |
^1+1 — %h -f- / і - ! |
|
,, K Q \ |
h ~ |
ft |
\ |
ft |
ft |
) - |
h? |
• |
[ i b J > |
Используя приведенные зависимости, можно преобразовать диф ференциальное уравнение теплопроводности к виду, удобному для решения. Покажем на примере одномерного уравнения теплопровод ности для тонкого стержня приведение его к алгебраическому урав нению методом конечных разностей.
Пусть дан стержень длиной /. Распределение температуры для изолированного тонкого стержня описывается уравнением вида
Поскольку температура зависит от времени и координаты (от
двух переменных), |
то обозначим |
истинное |
значение |
температуры |
||||||||
в точке |
через х1ъ |
k, |
где |
і |
— количество шагов |
по |
координате |
х |
до |
|||
рассматриваемой |
точки, |
a |
k — количество шагов |
по |
координате |
т |
||||||
до рассматриваемой |
точки. Обозначим: h — шаг |
по |
координате |
х; |
||||||||
п — шаг по координате |
т. Тогда |
уравнение |
(170) в |
узле ik |
заме |
|||||||
няется |
выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U, k+i- |
ti, k |
_j_ |
^ = |
a ^ tt-i. |
k - 2ti, k + |
tt+1. |
к |
|
|
(171) |
где £x и £ 2 — остаточные члены при шаге, не равном нулю.
Чем меньше шаг, тем меньше t,i и £ 2 и тем точнее замена диффе ренциального уравнения уравнением в конечных разностях. Преоб
разуя уравнение |
(171), |
получаем |
|
|
|
|
к ы = (1 |
Ж " ) |
* + I F |
* + |
k ^ h |
~ |
( 1 7 2 ) |
Отбросив остаточный член h (а£2 — t,i), вследствие его малости, найдем приближенное значение расчетной температуры в том же узле
к *+х = (1 + т ) |
к k + ^ " tt-i. k + tl+1. k ) . |
(173) |
По формуле (173) можно |
определить температуру в |
первом ряду |
||
по х при т = |
п, при известных краевых условиях т = |
0. |
Получен |
|
ные значения |
температур в |
первом ряду будут являться |
краевыми |
условиями для определения температур во втором ряду и т. д. Так можно получить все необходимое поле температур любого узла газовой турбины. Выбор шага при таких расчетах имеет существен ное значение. При малом шаге получается более точное решение, при большем шаге точность снижается, но зато сокращается рас четное время.
В случае решения нестационарных уравнений в частных произ водных параболического типа соотношение шагов, а также ошибка округления в численном решении определяет сходимость и устой чивость получаемых решений. Для некоторых соотношений шагов можно получить ряд упрощенных частных решений:
При |
п = 1г213а |
|
|
|
|
|
|
|
|
H.fc+i- |
|
з |
• |
|
|
При /і = |
h2/Qa |
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
k+i — |
ti-vk + 4tj,k |
+ U+i.k |
• |
|
|
|
4. |
|
5 |
|
||
При n = |
h2/\2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
_ |
h-i,k + |
10^. k + fi+i, k |
• |
|
|
|
h, ft+i — |
|
12 |
|
||
При |
n = |
h2/pa |
|
|
|
|
|
|
|
j. |
_ tj-v |
k + (p — 2) ti, к + ti+i, к |
|||
|
|
h, k+i - |
|
- |
|
• |
|
Формула |
значительно |
упрощается |
при р = 2 |
|
Рассмотренный метод применяют при решении двух- и трехмер
ных |
задач. Однако при этом требуется значительное время (даже |
на |
ЭВМ). Например, для получения плоскостного стационарного |
температурного поля охлаждаемой натрием по шести каналам ло патки требуется 3,5 ч рабочего времени ЭЦВМ М-220. Поэтому в на стоящее время разрабатываются новые разновидности метода конеч ных разностей, которые позволяют значительно сократить время расчета. К таким методам прежде всего следует отнести локальноодномерный метод переменных направлений.
Метод конечных разностей сложнее применить при рассмотрении тел более сложной формы, так как значительно усложняется про грамма расчета. В этом отношении наиболее целесообразен метод элементарных балансов [5], основанный на разбивке всего рассматри ваемого тела на ряд элементарных объемов, в пределах которых закон изменения температуры принимается линейным. Метод позволяет определить температуру в любых телах при любых граничных усло-