Файл: Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf

Из этого следует, что для твердого тела с постоянными физи­ ческими свойствами и без внутренних источников тепла стационар­ ное температурное поле зависит только от формы рассматриваемого тела и распределения температуры на его границах. При определе­ нии температурного поля охлаждаемого узла газовой турбины необ­ ходимо знать не только вид уравнения теплопроводности, но и крае­ вые условия, так как любое дифференциальное уравнение имеет сколь угодно большое число частных решений. Краевые условия могут быть временными (начальные) и пространственными (гранич­ ные). Временные краевые условия определяют температурное поле в начальный момент времени. Пространственные краевые условия определяют значение температур и других величин на границах исследуемой области. Для стационарного процесса необходимость в начальных условиях отпадает, так как температурное поле не меняется во времени.

Временные краевые условия сводятся к заданию скалярной функ­ ции, которая определяет распределение температуры в теле в неко­ торый момент времени

t = f (х; у; г).

Пространственные (граничные) краевые условия могут быть за­ даны четырьмя способами:

— температурой поверхности тела в любой момент времени (гра­ ничные условия первого рода);

•— тепловыми потоками на поверхности тела в любой момент времени (граничные условия второго рода);

—температурой окружающей среды и закономерностью тепло­ обмена между средой и поверхностью тела (граничные условия тре­ тьего рода);

—температурой окружающей среды, теплообмен с которой про­ исходит по закону теплопроводности (граничные условия четвертого рода).

В практике определения температурных полей охлаждаемых узлов газовой турбины чаще всего используют граничные условия третьего рода, когда на границах узлов задаются температуры потока и коэффициенты теплоотдачи.

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с гра­ ничными и начальными условиями полностью обусловливают задачу отыскания температурного поля любого охлаждающего узла.

§45. Решение дифференциального уравнения теплопроводности классическими методами

Выведенное в § 44 уравнение теплопровод­ ности (137) является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с частными производными. Такое диф­ ференциальное уравнение имеет бесчисленное множество частных решений. Классический метод решения состоит в том, что находятся

его частные решения, которые удовлетворяют граничным условиям. Затем составляется ряд этих решений вида:

При этом используется принцип наложения, которым обладают решения дифференциального обыкновенного однородного уравнения. Приемлемость принципа наложения для данного уравнения доказы­ вается в математической физике.

Частное решение дифференциального уравнения теплопровод­ ности может быть найдено в виде произведения двух функций, одна

Левая часть равенства (141) зависит только от времени, а правая — только от положения точки в пространстве.

Поскольку равенство (141) имеет место при любых значениях координат и времени, то каждая из его частей равна какой-то по­ стоянной величине. Обозначим эту величину через А. Тогда запишем

При этом, если тело стремится к температурному равновесию, то величина А будет отрицательной. Если температура тела увеличи­ вается, то величина А будет положительной. Если температура тела есть периодическая функция времени, то величина А будет мнимой величиной. В практике чаще всего встречается первый случай: А «£і 0. Рассмотрим его. Так как А выбирают из физических соображений, то можно положить

где с и D — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий;

к — определяется из граничных условий.

Заметим, что даже в самом простом случае решение уравнения теплопроводности методом разделения переменных приводит к зна­ чительным трудностям. Поэтому им пользуются только в особых слу­ чаях. Существует и ряд других классических методов решения урав­ нения теплопроводности. Однако их применяют сравнительно редко. Из них заслуживает внимания метод источников, сущность которого состоит в том, что любой процесс распространения тепла в теле пред­

в пространстве, так и во времени. Задача в основном сводится к пра­

для сложных процессов, которые происходят в охлаждаемых узлах, классическими методами не всегда удобно для практики. В технике часто требуется иметь приближенные решения, в результате чего в настоящее время широко применяют методы интегрального пре­ образования.

При решении задач с внутренними стоками тепла операционные методы имеют большие преимущества по сравнению с методом разде­ ления переменных. Для охлаждаемых узлов газовой турбины, где происходит отвод тепла за счет внутреннего его стока, такие задачи являются основными. Разработка операционного метода и его обосно­ вание дано в работах [14, 37].

Операционный метод широко применяют в разных областях тех­ ники и рассматривают как самостоятельный для решения уравнения математической физики. По своей сущности он равнозначен инте­ гральному преобразованию Лапласа, который используют в теории функций комплексного переменного. В основу данного метода поло­ жено не изучение самой функции, а ее видоизменения. При этом рас­ сматриваемую функцию называют оригиналом, а ее видоизменение — изображением. Целесообразность перехода от исследуемой функции (оригинала) к ее видоизменению (изображению) заключается в том, что решается не дифференциальное уравнение для оригинала функ­ ции, а алгебраическое уравнение для ее изображения. При решении дифференциального уравнения преобразуют функцию в ее изобра­