Файл: Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 204

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Знание хотя бы одного термодинамического потенциала позво­ ляет определить все термодинамические параметры. С учетом (303) и условий на поверхности

 

 

 

о</"•/ =

//

 

 

 

зависимость

(300)

принимает

вид

 

 

 

 

б '\FdV

— \ FiUi

dV — \

dQ]

0.

(305)

 

V

 

V

 

Q

 

 

 

При отсутствии

объемных

н поверхностных

сил

 

 

 

 

б =

\FdV

=

Q.

 

(306)

 

 

 

 

v

 

 

 

 

Уравнение (305) является обобщением начала возможных пере­

мещений Лагранжа для случая упругого равновесия.

 

Обобщение

принципа

минимума

потенциальной

энергии

деформа­

ции для случая задачи

термоупругости-

Если тело подвержено та­

кой произвольной вариации, при которой новые компоненты тензора

напряжения

ац

+ 5а,-у удовлетворяют

уравнениям равновесия, то

 

 

 

 

 

 

6ff,/ i /

= 0.

 

 

 

(307)

Для удовлетворения граничных условий необходимо вариации

поверхностных

 

сил

подчинить

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8fi = baunh

 

 

 

(308)

При этом должны быть удовлетворены все условия кинемати­

ческих связей. На

основании

зависимости

(304)

можно записать

 

 

 

 

J ( e / /

+

- ^ - ) 6 a i / d V = 0.

 

(309)

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражая компоненты тензора деформации е£/- через компоненты

вектора перемещения u-L

и

применяя

формулу

Остроградского —

Гаусса, из

(309)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

u^OijiijdQ

— f щдоц, ,-dV +

J 8G dV = 0.

(310)

 

Q

 

 

 

V

 

 

 

V

 

 

Принимая

во

внимание

зависимости (307) и (308), получаем

 

 

 

 

8(\GdV+

 

\ис1^а\=0.

 

 

(311)

Если поверхностные силы отсутствуют

или выполняется

условие

их неизменяемости

(б/,- = 0 ) ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&\GdV

=

0.

 

 

(312)

Эта формула обобщает принцип минимума потенциальной энер­ гии деформации. Сформулировать этот принцип можно следующим образом [10]: при перемещениях, удовлетворяющих одновременно

граничным условиям и условиям равновесия, потенциальная энергия достигает минимума.

Задачу определения этих перемещений можно решать при помощи вариационного исчисления, которое позволяет преобразовать эту задачу в эквивалентную ей задачу решения дифференциального урав­ нения с заданными граничными условиями. Если уравнение ре­ шить трудно, ищут приближенное решение, выбрав несколько функ­ ций из числа тех, которые удовлетворяют граничным условиям, и записав их таким образом, чтобы они включали ряд параметров. Затем эти параметры определяют так, чтобы потенциальная энергия

имела минимальное

значение.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

потенциальная

энергия

имеет

вид

 

 

Р = \Рг

(х, у,

z,

S,

Sx,

Sy,

Sz,

Sxx,

 

Sm,

 

Sxy, Sxi,

Syz)dV,

(313)

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

=

S{x,

y,

z);

 

Sx

=

- ^ ;

 

 

 

 

 

 

c,

_

_dS_ .

-

_

dS

 

 

 

 

 

 

v

~

ду

'

2

—

dz

'

 

 

Если заменить S

через 5 (x, у, z)

+

є„

(x, у,

z), где n

(x, y, z) —

функ­

ция, обращающаяся в нуль

на

границе;

є—произвольный

малый

параметр. Тогда потенциальная энергия Р имеет минимум при є = О

и

dp

„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- j - =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

as

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя

это условие,

 

можно прейти к выражению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\L(S)n(x,

у, z)dV

= 0,

 

 

 

(314)

где

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

'

 

dS

 

дх

'

dSx

ду '

dSy

dz

'

dSz

i "

 

 

 

 

 

 

JP_

 

дРг

 

 

дРг

і JP_

dPx

 

 

 

 

 

 

 

~^

dx2

'

dSxx +

 

ду2 '

dSyy

dz2 '

dSzz

+

 

 

 

 

,

9 (

J

P _

 

дР,

 

d2

_dPj_

 

 

_дР\_\

n

i 4 .

 

 

"г"

 

\

дхду

'

dSxy

r

dxdz

' dSxz

"г" dydz

'

dSyz

J '

v

;

Уравнение (315) — уравнение Эйлера вариационной задачи, определяемой выражением (313). Решив уравнение (315), можно найти функцию 5 (х, у, z). Приближенное решение этого уравнения можно получить, использовав метод Рейли—Рица, который заклю­ чается в следующем. Задаются перемещения

Чп

t chnRM,

(316)

где Rin удовлетворяют тем же граничным условиям, что и"«,-.

Подставив иіп в (313) и выразив Р как функцию aUl, получим выражение, удовлетворяющее принципу минимальной потенциаль­ ной энергии:

откуда можно определить и1п.

Более подробно о других

методах

изложено в соответствующих разделах математики.

 

Преимущество

вариационных

методов заключается прежде всего

в том, что они

позволяют найти приближенное решение

многих

задач термоупругости, точные решения которых получить не уда­ ется. К недостаткам следует отнести усложненное решение многих задач из-за большого числа параметров, входящих в вариационные уравнения. Кроме того, выбор этих параметров и функций, удовлет­ воряющих граничным условиям, также вызывает ряд затруднений.

Все рассмотренные методы могут быть названы общими в том смысле, что они в принципе всегда применимы. Однако с практи­ ческой точки зрения они полезны только в отдельных случаях.

Точные решения двумерных задач удается получить чаще, чем трехмерных, так как для решения двумерных задач можно приме­ нять специальные методы, использующие функцию напряжения и метод комплексных переменных. Хотя трехмерное напряженное состояние тела в большей степени отвечает практике, однако в зада­ чах расчета температурных напряжений охлаждаемых узлов газовой

турбины часто можно ограничиться

решением

двумерной задачи.

Прежде чем перейти к анализу

методов

решения двумерных

задач напряженного состояния тел,

рассмотрим

в квазистатической

постановке две типовые плоские задачи термоупругости: о плоской деформации тела и о плоском напряженном состоянии тела.

§ 63. Плоская задача термоупругости

Задача о плоской деформации. Плоская дефор­ мация возникает в длинном цилиндрическом или призматическом теле (лопатке, роторе) при плоском температурном поле Т(х,у,%).

Для плоской деформации характерными являются перемещения

и = и(х, у); v — v(x, у); w = 0,

(318)

при которых

О",хг

Приняв в уравнении (291) ги = ггг = О, получим

v(o^ + o ^ ) - a x £ C T - 7 0 ) .

(319)

Тогда решение задачи о плоской деформации можно свести К решению следующей системы уравнений (объемные и поверхностные силы отсутствуют):

 

 

дохх

+і

даХу = 0 ;

 

 

 

 

дх

'

ду

 

 

 

 

 

дахУ

і

даии

 

 

 

 

дх

1

ду

 

 

 

& х

х =

1ЁТ ( ° Х Х ~

^ У

У >

~'~а т ' ^

~~ Т ° ) '

(320)

НУ

— -щ- ІРуу

— v\csxx)

+ а Т і (Т — То);

 

 

 

р

1 Н- vx

,

 

 

 

 

1

l

и ГТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^Ху

£

 

I ^ХУ

 

 

 

дии,

диw

 

__ 1 / ди .

dv \

~дх~''

гУУ-~ду~'

£ху-~2

\~dy~-r

-fa)

є,-,-- —

; е „ „ _ — ;

при граничных условиях на наружном контуре, которые можно задать либо в напряжениях:

<УххПх + ох^ги = !х(х, у);

«V і * + °УУПУ

=

U (х> У)>

(321)

либо в перемещениях:

 

 

 

и = 8i

(*> У);

 

" -

ёг

(*. у),

 

где

 

 

 

Задача о плоском напряженном состоянии. Плоское напряженное состояние возникает в тонкой пластине (оболочковые лопатки), поверхности которой свободны от внешних усилий. При этом

°ы = ахг = в иг — °-

Решение задачи в этом случае сводится к решению следующей системы:

двхх

 

і

дахУ

_ и-

 

 

~дГ

+

 

~ d y - - U '

 

 

доху

_|_ дауу

_ Q .

 

 

дх

 

'

ду

 

 

 

*хх = 4 " ( f f * * —

™ У Н ) +

а т ( г

~ ^о) ;

 

єда = 4 " (°w —

w

«

) +

а т ( J '

— Т'о);

(323)

263

 

 

 

 

*zz

= —

 

(0-.v.v + Vyy)

+

« г

(T

—

To)\

 

 

 

 

 

 

 

ди

 

_

 

dv

 

 

_

 

1

/

ди .

dv

\

 

 

 

Є х х ~

IF'

 

гш

~

~ду~ ' &

x b

~

~~2~ \ду

 

/

 

при граничных

условиях

на

наружном

контуре

в напряжениях

и в перемещениях (322).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи в перемещениях. Решение задачи в этом случае

сводится к

решению

системы

(320),

которую можно

представить

в

следующем

 

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рФи +

(Л +

^ ) . | _ ( * L +

- * L ) _

{ З Х

 

+

2ц.) « т - g -

=

0; (324)

 

№

+

(Я. +

, ) ^

(-g- +

 

-

(3* +

2ц) а т

- f -

=

0

с

граничными

условиями

(322). Если

в

(324)

подставить

величины

 

 

 

 

 

к =

~

 

> Ц

 

2(1

-l-v,)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

V j

 

 

а, Е,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ЗХ +

2р.) а т

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- V,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и заменить

£ х ,

 

v b

а т 1

на

Е,

v,

ост,

то

получим систему уравнений

в перемещениях для плоского напряженного состояния, к которой сводится система (323).

Пользуясь классическим методом, решение системы (324) можно искать как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Частное решение соответственно зависимости (286) имеет вид

" т — дх ' ° г ~ ду '

где термоупругий потенциал перемещений определяется из урав­ нений:

— для плоской деформации

 

^

= \ ~ ^ ( Т - Т 0 ) ;

(325)

— для плоского напряженного состояния

 

V2 O = ( l + v ) a T ( 7 , - 7 , 0 ) .

(326)

К частному решению необходимо присоединить общее решение однородной системы уравнений, содержащее необходимое число постоянных интегрирования для удовлетворения граничных усло-

Смотрите также файлы