Файл: Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 198
Скачиваний: 1
вий (322). Такая постановка задачи пригодна как для одиосвязных, так и для многосвязных тел.
При определении температурных напряжений охлаждаемых узлов газовой турбины большой интерес представляет постановка плоской задачи термоупругости в напряжениях. В этом плане является ин тересным рассмотреть односвязные и многосвязные тела.
|
Постановка |
задачи |
для |
односвязных |
тел. В этом случае |
систему |
|
уравнений (320) можно свести к неоднородному |
бигармоническому |
||||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ + • ^ « ^ = 0, |
|
( 3 2 7 ) |
||
а |
систему (323) к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vdcp + EaTV2T |
= 0 |
|
(328) |
|
с |
граничными |
условиями |
(при отсутствии поверхностных |
сил) |
|||
|
|
|
|
Ф = |f= |
0- |
|
(329) |
|
Постановка |
задачи |
для многосвязных |
областей. |
Для многосвязных |
тел к системе (327)—(329) добавляются граничные условия на вну
тренних контурах: |
akx |
+ $ky |
+ |
у, |
(330) |
|
Ф = |
||||||
дф |
|
дх |
і |
ft |
dy |
|
да |
~ |
к 'дп |
|
P l i |
dn |
- |
На контуре |
L/; при |
/г = |
1, |
2, . . ., N, |
||
где N — число внутренних отверстий. |
3N |
постоянных (aft; рА ; yk) |
определяются из удовлетворения 3N условий однозначности для
перемещений и углов |
поворота |
[30J |
|
|
|
|
||||
|
|
|
, д n , . . J O |
|
, _. f дТ |
|
|
(331) |
||
|
|
Е |
J ^ V v d S |
+ ccJ |
*LdS = 0; |
|
||||
_1_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(332) |
4 - J |
{y-W + xl)^dS |
|
+ ar$ |
^ |
+ xl)TdS |
= 0. (333) |
||||
Lk |
• |
|
|
|
|
Lk |
|
|
|
|
Условия (331) соответствуют плоскому напряженному состоянию. |
||||||||||
Если в этих условиях заменить Е и а т |
на Ег |
и сст 1 , получим |
условия |
|||||||
однозначности, |
соответствующие |
плоской деформации. |
|
|||||||
Физическое |
толкование |
неоднозначности |
перемещений |
и углов |
||||||
поворота |
в многосвязных |
телах. |
Неоднозначность |
перемещений и |
||||||
углов поворота |
в многосвязных |
телах |
обусловлена |
напряжениями, |
возникающими в них не от действия внешних сил, а вследствие обра зования особого рода деформаций, называемых дислокациями [30].
Образовать такую дислокацию можно, например, посредством со единения двух краев тела, получившихся в результате того, что после разреза из тела удалена пли в него вставлена узкая полоса.
После жесткого соединения краев и устранения внешних воздей ствий тело останется в напряженном состоянии, и по линии разреза будет иметь место скачкообразное изменение перемещений Аи, А~о И угла поворота Асо2. В результате такой деформации при обходе
замкнутого контура |
L z |
в точке |
р0 |
возникают (при отсутствии тем |
||||||||||
пературного |
поля) |
следующие Аи, |
До, Дш,: |
|
|
|
|
|||||||
Аи = и + - |
и |
= - |
уАи2 |
- |
- L } |
(х-^- |
- |
У |
~ ) |
V2cpdS; |
(334) |
|||
Av = v+-v~ |
|
|
= л-Асо2 --LJ |
{y-£f+ |
|
хж) |
V |
V S ; |
(335) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дсо2 |
= |
(о+ - |
соГ = |
-g- \ 4i |
^(pdS. |
|
(336) |
||||||
Учитывая |
(331) |
|
и |
(336), |
получаем |
равенства |
|
|
|
|||||
|
а т і |
|
(х ~д§ |
У'дії) T |
d S |
= A " — </AoV- |
|
|
||||||
|
аЛ |
{у |
Ж ~ х |
ш ) T d |
S |
= Л у |
_ |
х А с о |
- |
|
<337) |
|||
|
а т { |
|
| |
^ |
= |
- Дсо г |
|
|
k=\,2,...,N, |
|
устанавливающие те величины дислокаций Дм, А у, Дсог, которые должны быть приняты во внимание при решении плоской задачи изотермической теории упругости для многосвязного тела, чтобы получилось такое же распределение напряжений, как в соответствую щей плоской задаче термоупругости. Равенства (337) устанавливают аналогию между напряжениями от дислокаций и температурными напряжениями.
В случае плоской деформации в уравнениях (334)—(336) и ра венствах (337) величины Е и ат следует заменить на Ех и а т 1 . За метим также, что с помощью дислокаций решается важный для оптического метода (экспериментального метода определения тем пературных напряжений) вопрос — о переходе от напряжений в мо делях к напряжениям в действительной конструкции [39].
§64. Методы решения плоской задачи термоупругости
Методы, использующие функции комплексного переменного. В настоящее время методы, использующие функции комплексного переменного, являются наиболее общими в применении
•к плоской задаче теории термоупругости. Если представить функцию напряжения как разность двух функций
Ф = U — V, |
(338) |
то решение двумерной задачи можно свести к решению следующей
системы уравнений |
|
[10, |
39]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
У*и = |
0, |
WV = |
k(T |
— T0), |
|
|
(339) |
|||||
где |
/г = |
Еат |
— для |
плоского |
напряженного |
состояния; |
|
|||||||||||
k — |
_ т ^ |
— для |
плоской |
деформации. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Функция U может быть выражена |
через аналитические |
функции |
||||||||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
2U = |
2 Ф і |
(г) + г Ф і (z) + |
^ 2 |
(2) |
+ |
аР 2 |
(2). |
|
(340) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cxx |
+ oyy |
= |
Va(U-V)= |
|
4 a |
' f |
r v |
) |
, |
(341) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dzdz |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
z |
= x |
+ |
іу; |
z = |
х |
— |
і у; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д2 |
, |
_д*_ |
_ |
. |
д2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх2 |
' |
ду» |
|
d z d z |
|
|
|
|
|
|
или, |
имея |
в |
виду |
(340), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а |
|
|
охх |
+ ови |
= |
2 [фі (2) + |
фі (і)] — £ (Т — Т0), |
(342) |
||||||||||
|
|
|
, |
|
|
. „. |
|
d2U |
d2U |
|
0 . |
d2U |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
І |
"хх |
|
І |
— |
— |
А Л ; |
2 |
Д У |
І |
|
|
Д Х Д |
У |
|
Принимая |
во |
внимание, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д2 |
2/ |
д2 |
|
, |
д2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх2 |
|
ду2 |
|
\dz2 |
1 |
QZ* |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2i |
9 2 |
|
|
- |
/ д2 |
|
|
д2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дхду |
|
|
у dz2 |
|
|
dz2 |
|
|
|
|
|
уравнение (343) |
можно |
преобразовать: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Оуу — ахх |
+ 2 ю ^ = 2 [гфГ (г) + |
г|н (г)] — |
|
где
Уравнения (342) и (344) определяют напряженное состояние тела,
при этом на функцию Ф і (z) |
можно наложить |
условия |
[10] |
Ф І (0) = |
Re [-L Ф І (0)] = |
0. |
(345) |
267
Обычно функции фі (z) и і)?! (г) представляют в виде полиномов
|
СО |
д„2<<; |
СО |
/ г - |
cPl |
(г) = £ |
^ (г) =; £ 6„z», |
(346) |
|
где cn и Ь п — комплексные |
числа. |
образом, |
||
Отображающая |
функция |
г = |
со (S) выбирается таким |
чтобы исследуемая область приняла в комплексной плоскости на перед заданный вид. Преимущество этого метода заключается в том, что путем использования функции комплексного переменного можно решать сложные в смысле нагрузки и в смысле контуров задачи для односвязных и многосвязных тел. Недостатком метода следует счи тать сложность выбора отображающей функции. Кроме того, функ ции ф х (г) и -фз_ (г) значительно усложняются для многосвязных тел.
Метод конечных разностей |
(метод сеток). Выражения (327) и |
(328) можно преобразовать в |
конечно-разностные уравнения вида |
|
|
Р " { [б (7 + ~ |
) + |
8] ер,?1 - |
4 [(1 + у) X |
|
|
|||
|
|
Л?* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (cpffi. , + Ф Ш , /) + |
( 1 + |
- f ) ( ф ^ - і |
+ Ф/'+ж)] |
+ |
|
||||
|
|
+ 2 (Ф £1. у _ ! + ф ^ } , |
-f- Ф # і. / - і + Ф Ш , Л И ) + |
|
||||||
|
|
+ Y ( Ф Й . ; + Ф Ф . /) + Y |
< Ф ? Ж + Ф / ' + Ц + |
|
|
|||||
' к,^ |
[7 (Я[±1, ,•+#{#./ + Hit}-i |
+ |
tfft+r- |
2(1-|- 7) H[f\ |
= 0, |
(347) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Граничные |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/4-і |
Ф ^ Ч 2 А ( ^ . ) 4 = |
Ф а - Ч Л , |
|
(348) |
||||
|
|
фз/г |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ф Ж |
— значение функции |
напряжений |
в законтурной |
точке |
|||||
|
|
по определенному |
направлению |
(х или у); |
|
|
Ф ^ 1 — то же в предконтурной точке;
h — расстояние от предконтурной точки до контура в рас сматриваемом направлении;
значение на контуре производной по тому же на-
правлению.
Уравнения (347) с граничными условиями (348) решаются ме тодом итераций. Обычно две-три итерации обеспечивают необходимую точность.
Вычислив функцию напряжений Ф-+1, можно определить на пряжения по следующим соотношениям:
eV^'-'ff+'W", (349)
« , |
= |
' - l ' < |
"2 |
|
; |
(350) |
+ |
W |
|||||
' і — і, |
/—1 |
' і — і, |
і 't + i . |
У—1 |
1 ' ' + ' . /+1 |
(351) |
а затем по (319) найти огг для задачи о плоской деформации. Преимущество метода конечных разностей состоит в том, что
с его помощью решают любые задачи термоупругости, описываемые дифференциальными уравнениями любого порядка в частных произ водных при любом значении граничных условий. Основной недо статок этого метода — значительное увеличение объема вычислитель ной работы при необходимости получения высокой точности. Если рассматривать термоупругую задачу как задачу изотермической теории упругости с фиктивными объемами и поверхностными силами, то для решения частных задач появляется возможность применять специальные методы теории упругости. К ним можно отнести методы потенциала, использующие бесселевы функции, методы, использую щие интегральные преобразования, методы электроаналогии, метод прямых для определения перемещений и др. Практическую ценность эти методы имеют только для определения напряжений в простых телах (цилиндры, кольца, тела вращения).
§65. Температурные напряжения
вохлаждаемых лопатках турбин
Рабочие лопатки без каналов и с каналами охлаждения. Расчеты температурных напряжений в рабочих лопат ках можно выполнять двумя способами:
— определяют только продольные составляющие температурных
напряжений, которые складываются |
с |
напряжениями растяжения |
от центробежных сил и напряжениями |
от газодинамического изгиба |
|
и поэтому представляют наибольшую |
опасность; |
— определяют общее напряженное состояние лопатки, вызванное неравномерным температурным полем.
I . Если предположить, что изменения температуры по высоте лопатки не происходит, то для балки с несимметричным поперечным сечением справедливы формулы для определения напряжений при косом срезе [22]:
o'z!=:aTE(Tcp |
— kyX — k 2 y ) — a?ET; |
(352) |
Tcp |
= ±\TdS; |
(353) |
|
б" |
|