Файл: Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 196

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вой задачи напряжения и перемещения можно представить в виде суммы двух слагаемых:

о\ =

а° -f- оу,

и = н° +

й;

 

аи =

а° + а/,

о =

и0 +

о,

(368)

 

о

, -

 

 

 

где а°, о°, т°х и ° , Vй — напряжения п перемещения, соответствую­ щие однородным решениям, под которыми понимается такое решение уравнении тео­ рии упругости, которое удовлетворяет условию отсутствия нормальных и каса­ тельных напряжений на двух параллель­ ных краях области и содержит произволь­ ные постоянные;

а х , а у , х х у , и , v — напряжения и перемещения,

соответству­

ющие исходным решениям, под которыми

понимаются такие решения,

которое удов­

летворяют заданным краевым условиям на

двух продольных краях полуполосы.

Получим однородные и исходные решения для напряжений и дефор­ маций в полуполосе.

Однородное решение можно получить в виде вещественных рядов по функциям, убывающим вдоль продольной оси полуполосы. Если напряжения и перемещения симметричны относительно осп коор­ динат л, напряжения и перемещения, соответствующие однородным решениям, можно записать так:

ft = I

0

00

 

-

_

(369)

^ху

—

 

где X, Y, T, U, V — функции безразмерных координат, для кото­ рых имеются достаточно подробные таблицы [38];

Е — модуль Юнга.

По проведенным расчетам при защемленном крае можно удовле­ твориться требованием отсутствия смещений в одиннадцати точках

поперечного края. Тогда постоянные С^ 1 ,

С[к),

Со находят

из си­

стемы уравнений, получающихся из выражений:

 

 

2

СРиР + СІкЩк)

+ Со +

-j- и =

0;

(370)

 

fc=i

5

Л = 1

после подстановки в них значений U и К в выбранных точках. При свободном крае достаточно удовлетворить условию отсут­

ствия

напряжений

ст.,

и т

в восьми точках края.

Постоянные Сг/ ( )

и С\

определяют

аналогично

первому

случаю

из

уравнений

 

 

S

Cik)Xik)

+

C4 f e ) X4 f c )

+ а, =

0;

(371)

При скользящей заделке, ограничиваясь удовлетворением краевых условий, произвольные постоянные вычисляют из выражений

5

2 Cik)lAk)Ulk) + Со + -j- и = 0; (372)

ft=l

Таким образом, решение краевой задачи сведено к отысканию решения, удовлетворяющего краевым условиям на двух параллель­ ных краях полосы. Постоянные С из уравнений (370)—(372) находят после подстановки в них значений функций безразмерных координат, выбранных в принятых точках.

В качестве исходного решения принимаем решение термоупругой задачи для бесконечной длинной полосы с постоянной температурой в одном сечении. Потерей тепла вдоль краев пренебрегаем. Если

принять, что температурное

поле, напряжения и перемещения сим­

метричны относительно сечения при \

— 0, то для положительных \

температура убывает вдоль

полосы

по экспоненциальному

закону

 

t = T0e~'"£.

(373)

Возникающие температурные напряжения, соответствующие та­

кому закону изменения температуры, имеют вид

 

ст, = -ЕаТ0

 

/1;

 

 

ЕаТп

^ Ч

т

А

;

( 3 7 4 )

ххи —

Е<хТ0

—

/3,

 

 

18*

275

 

 

со

 

 

 

 

/ 1

=

J [(X ch А, — sh X) ch Ц

— sh ХХц sh Ц ] X

 

 

о

 

 

 

 

 

 

X

cos Ц

dX

 

 

 

 

(m'~ -I- /г) (sh

X cos

X+

X) '

/ 2

=

[(A ch X -[ sh Я.) ch Хц — sh А.Л,чі sh Ц і x

 

 

о

 

 

 

 

 

 

л

(ш2 +»•-) (shXcosX-l- X) '

 

 

—

j (^ ch A, sh Хц — sh ХХц) x

 

 

 

о

 

 

 

 

 

X

sin Л,| rfA,

 

 

 

 

(m2 -j-л2 ) (shXcIU-|-

X)

Перемещения для плоского напряженного состояния можно записать

£„ = p - ( i _ v ) g - + a t f - M i ;

(376)

EV = Q~(\ . | - V ) ^ - Q , + А2 ,

 

где £ и v — модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно. Постоянные Q, Alt А.2 соответствуют жесткому смещению упругого тела. Р и Q — вещественная и мнимая части функции комплексной переменной z = х 4- і у:

Р = Re J (Р -J- ig) dz= \pdx — qdy;

(377)

Q = /mJ(P + ig)dz= J Pdy — qdx,

где

(7 — сопряженная с P гармоническая функция;

F — функция

напряжений, которая имеет

вид

F

— (A ch он/ + В coy sh coy)

(378)

[А и В выбираются в соответствии с краевыми условиями (48)]. Введем четыре гармонических функции:

Ф х

=

ch

ay cos

сох;

 

Ф 2 =

ch

coy sin сол:;

(379)

Фз =

sh

coy sin

сох;

 

ср4

=

sh

со г/ cos

сол:.

 

Для этих функций имеют место следующие соотношения:

 

 

 

д%

 

-соф2 ;

<5фі

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дф2

_

«Фіі

$

 

= «

 

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

дфз

_

 

дфз

_ ,

 

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

Л/

_

 

 

 

 

 

 

Зф,і

_

—соф3;

"Эф,,

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

ду

 

 

 

 

 

Использовав выражения

(380), функцию

F запишем в

виде

 

 

 

 

F

=

Лс Р і +

£со#ф4 .

 

(381)

Функцию Я представим в виде двух

слагаемых

 

 

 

 

 

 

 

Р = Рх

+

 

Р 2 ,

 

 

 

где

Р1 соответствует

первому слагаемому в

выражении

для F,

а

Р.г — второму. Тогда

для

Р2

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

р

_

д-

(сш/ф4)

,

д- (coj/tp,,)

 

, 3 8 2 -

 

 

 

2

 

 

дх2

*

 

д(/2

'

^

'

Используя

выражение

(380), после

преобразования находим

 

 

 

P2

=

2co2 9 l = 2 c o ^

= 2 ( o ^ .

(383)

Из

условий

Коши—Рнмана

имеем

 

 

 

 

 

 

4 £ = - | & ;

^ - = _ ^ . .

дх

ду

ду

дх

Используя выражение (383), получаем

дъ

=

дР^ _ 2 { | )

d2(p,i .

ду

 

дх

дх ду'

_ а *

=

З А

- 2 с о ^ + 2 ( | 2 - 4

+ ? f )

)

= - 2 « Й .

5Л:

 

дг/

dx2

1

V (5і/-

'

дх2

дх2

откуда, используя

выражение

(380), определяем

 

 

 

 

« 7 2 = : 2 с о ^ = - 2 с о ^ .

 

 

 

(384)

4

>

4 (385)у

(386)

Подставляя

в выражение (377)

Р = Р2

и

q — q2 из

(383)

и (386)

и зная, что

они вычислены с точностью

до

множителя

В,

находим

 

Р2 = 2£соф2

и Q = 25шф4 .

 

(387)

277

Подставляя в выражение (376) найденные значения Р и Q, выра­ жение для F (378) и опуская члены, соответствующие жесткому сме­ щению тела, получаем

Еи = со і [2В + (1 + v) А } Ф 3 + со;/ (1 + v) /ісрз};

 

Ev = со { 1/3 (1 + v) — Л ] (1 + v) <р4 — (1 — v) Всйі/сРі}.

(388)

Подставляя в (388) выражения А, В, ср1 ; ср2, ср3, фа после интегри­ рования по со и перехода к безразмерным координатам, оконча­ тельно имеем

u = aT0\ —

(l—v)b-

I 2b

т

(389)

 

 

v = — аТ0Ы5,

где

/ 4

= J {[2shЯ — (1 + v)(Л,chX-|- sh X)] +

 

 

о

 

+

(1 + v) % sh Хц 1 х ( / д 3 + x , ) ( s h ? l c h X , . , X ) ,

(390)

 

 

С к о л ь з я щ а я з а д е л к а ( и с х о д н о е р е ш е н и е )

 

Величина

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5

1,0

5,0

10,0

0,5

 

0

—0,07968

—0,09214

—0,1006

—0,0925

—0,00221

 

0,1

—0,07783

—0,09004

—0,09899

—0,0915

0

ax/EaT0

0,3

—0,06626

—0,07778

—0,08925

—0,0842

0,006503

0,5

—0,037173

—0,04556

—0,05972

—0,0587

0

 

 

0,7

0,02238

0,02336

0,01536

0,00872

0,00656

 

0,9

0,1483

0,19018

0,2176

0,215

0

 

0

—0,19315

—0,2529

—0,4593

—0,560

—0,073113

 

0,1

—0,18541

—0,2516

—0,4567

—0,558

—0,064639

ay/EaT0

0,3

—0,17344

—0,2354

—0,4335

—0,533

—0,051071

0,5

—0,14976

—0,02045

—0,3868

—0,483

—0,03717

 

 

0,7

—0,11546

—0,1593

—0,3163

—0,409

—0,045227

 

0,9

—0,08259

—0,1155

—0,2443

—0,328

—0,072265

 

0

0

0

0

0

0

 

0,1

0

0

0

0

0

аху/ЕаТа

0,3

0

0

0

0

0,006575

0,5

0

0

0

0

0

 

0,7

0

0

0

0

—0,001371

 

0,9

0

0

0

0

0

/ 5 = J { [ ( l - v ) s h A . 4- (1 + v) {XchX 4- shX)] sh Хц •

о

• (1 — v)Xr\ ch Xr\]

cos Я | dX

XOifi + X-) (sh X cos X 4 X)

По расчетам, подтвержденным экспериментальными данными, распределение температуры вдоль пера рабочей лопатки, охлаждае­ мой теплоотводом в диск, может быть описано уравнением

 

 

 

t =

[-

(П-т^е-»*

 

4- тъ],

(391)

где

Тх

— температура

корневого сечения

лопатки;

 

 

Т2

— температура

периферийной

части

лопатки;

температуры

 

m — параметр, определяющий быстроту изменения

 

 

вдоль

пера лопатки.

 

 

 

 

 

С учетом температуры на периферии лопатки, отбрасывая сла­

гаемые,

не влияющие

на

напряжения,

окончательные

выражения

для

перемещений

будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(392)

 

 

 

v=aT0b(-

 

 

 

 

где

Т0

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Безразмерные напряжения в охлаждаемой лопатке

С в о б о д н ы !! край

 

 

 

З а щ е м л е н н ы й к р а й

 

З н а ч е н и я

m

 

 

 

 

 

 

 

1,0

 

5,0

10,0

 

0.5

1,0

5,0

10,0

-0,004965

-0,004698

-0,1151

-0,1410

-0,1410

-0,1934

-0,2079

0

 

0

0

 

-0,1412

-0,1412

-0,1962

-0,21214

0,01301

0,014755

0,0167

-0,1118

-0,1118

-0,1560

-0,16729

о

 

0

0

 

-0,07190

-0,09684

-0,1586

-0,17986

-0,011285

-0,02416

-0,00818

0,02416

0,02747

0,02609

0,01301

0

 

0

0

 

0,2347

0,3090

0,4426

0,50696

-0,106282

-0,297972

-0,4063

-0,04285

—0,0458

-0,0657

-0,07134

-0,10403

-0,292858

-0,402

-0,02781

—0,0356

-0,04406

-0,04807

-0,07436

-0,253360

-0,354

-0,04614

—0,05990

-0,0898

-0,10814

-0,025263

-0,198350

-0,281

0,00694

0,02300

0,08774

0,06094

-0,03849

-0,191258

-0,271

-0,00486

—0,0035

-0,01538

-0,02348

-0,100004

-0,226754

-0,310

-0,00359

0,0030

-0,02024

-0,05235

0

 

0

0

 

0

0

 

0

0

0

 

0

0

 

—0,01194

—0,01572

—0,02765

—0,035162

0,006575

0,012351

0,0096

—0,03061

—0,03967

—0,07518

—0,092057

0

 

0

0

 

—0,06425

—0,08477

—0,1785

—0,21094

—0,001371

—0,024781

0,0328

—0,05508

—0,07256

—0,1401

—0,18383

0

 

0

0

 

—0,06912

0,09715

—0,1884

—0,26671

278

279

Смотрите также файлы