ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 252
Скачиваний: 6
ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Интерес к физике плазмы сильно возрос за два последних деся тилетия из-за задач, связанных с программой использования энергии управляемого термоядерного синтеза и изучения магнит ного поля в околоземном пространстве. В обеих областях экспери менты сложны и дороги и, следовательно, весьма желательны результаты, полученные теоретически. Поскольку теоретическое изучение плазмы связано с решением очень сложной математиче ской задачи о коллективном поведении многих заряженных частиц, ЭВМ становится важным средством решения уравнений, хотя сами вычисления оказываются весьма сложными. Это спра ведливо по отношению к любой из двух моделей, которые разра батывались: к методу укрупненных частиц и к методу решения уравнений непрерывности.
Метод частиц является гибким, но требует много машинного времени. Одномерный вариант этого метода дается.» в главе Доусона, двумерные варианты описаны в главах Хокни, Морза
иБэрдсола с соавторами. Последовательное решение уравнений движения отдельных заряженных частиц при наличии магнитного
иэлектрического полей дает детальную информацию о поведении плазмы, включая неустойчивые случаи. С другой стороны, методы, использующие непрерывное описание, позволяют проводить вычис ления, результаты которых согласуются с экспериментами на плаз
менных установках, |
с меньшими затратами машинного времени |
и с использованием |
реалистических граничных условий. Это, |
в частности, справедливо в задачах, в которых определяющую роль играют столкновения, как показано в главах Робертса и Пот тера, а также Киллина и Маркса. В общем случае метод расчета, который используется в непрерывных моделях, представляет собой метод конечных разностей для уравнений типа гидродинамических,
10 |
Предисловие к английскому |
изданию |
усложненных |
наличием магнитного и |
электрического полей. |
В бесстолкновительном случае (случай Власова) в одномерных задачах были использованы также два специальных метода, опи санные в главах Армстронга с соавторами и Бэрка и Робертса.
Дальнейшее совершенствование численных методов и вычисли тельных машин должно привести к еще более правдоподобному моделированию плазмы, включая трехмерные расчеты. К сожале нию, применение описанных ниже численных*методов к близким по характеру задачам динамики звезд не могло быть включено из-за ограниченного объема книги.
Январь 1970
Берни Олдер Сидни Фернбах Мануэлъ Ротенберг
ГЛАВА 1
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКИХ ЛИСТОВ ДЛЯ ПЛАЗМЫ И ЕЕ МОДИФИКАЦИЯ ДЛЯ ЧАСТИЦ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА
Дж. Доусон*
§ 1. В ведение
Модель плоских листов — одна из наиболее старых и гибких одномерных моделей для численного исследования плазмы. Впер вые она была применена для исследования электростатических эффектов, плазменных колебаний, кинетики одномерной плазмы и двухпотоковой неустойчивости [1—5]. В этой главе мы обсудим электростатическую модель плоских листов. Основное внимание будет уделено методам решения этих проблем на ЭВМ и ряду трудностей, которые при этом встречаются (например, шуму). Однако реальные программы приводиться не будут.
Позднее модель плоских листов была модифицирована для того, чтобы допустить наряду с перпендикулярным движением движе ние в плоскости самих листов [6—8]. Эта модификация позволяет включить магнитные эффекты и эффект соударений в приближении Фоккера — Планка (используя метод Монте-Карло). На основе таких модификаций были изучены циклотронные волны [61, эффект излучения 18] и неустойчивости типа Харриса (см. [9]), связанные с моноэнергетическими распределениями по скоростям. Хотя эти последние модификации весьма интересны и разнообразны, мы не будем их здесь рассматривать, поскольку это увело бы нас слишком далеко.
§ 2. Э л е к т р о с т а т и ч ес к а я модель п л о с к и х л и с т о в
Имеются две электростатические модели плоских листов: однокомпонентная и двухкомпонентная. В однокомпонентной модели (Доусон [2]) рассматривается плазма, состоящая из боль шого числа тождественных заряженных плоских листов, поме щенных в неподвижный однородный нейтрализующий фон (фиг. 1). Предполагается, что все плоские листы всегда перпендикулярны какой-то оси X, но могут свободно двигаться вдоль нее. Считается, что они свободно проходят друг через друга.
Двухкомпонентная модель [4, 5] включает как положительно, так и отрицательно заряженные листы. Снова предполагается,
* John М . Dawson, Princeton University, Plasma Physics Laboratory, Princeton, New Jersey.
12 |
Гл. 1. Модель плоских листов и ее модификация |
что плоские |
листы всегда перпендикулярны какой-либо оси х |
и могут свободно двигаться только в ж-направлении. Допускается, что они свободно проходят друг через друга. Заряды на листах равны и противоположны по знаку, но их массы выбираются разными. Вообще говоря, отношение масс не берется таким боль
шим, |
как 2000 : 1, так как в |
последнем |
случае ЭВМ потратит |
||||
|
|
все свое время на вычисление |
|||||
|
|
того, что делают быстро движу |
|||||
|
|
щиеся электроны. Как правило, |
|||||
|
|
используют |
отношения |
масс в |
|||
|
|
интервале от 10 до 100, |
а затем |
||||
|
|
пытаются |
пересчитать |
резуль |
|||
|
|
таты для |
реального |
отношения |
|||
|
|
масс. |
|
|
|
|
|
|
|
Начнем с обсуждения одно |
|||||
|
|
компонентной модели. |
|
||||
|
|
1. |
Однокомпонентная |
модель |
|||
Ф иг. |
1. Модель плоских листов. |
В однокомпонентной модели |
|||||
|
а=-гг0еб, м = щтб, |
существует равновесное |
состоя- |
||||
|
У = - -Ге2п°X. |
ние, |
когда |
листы |
покоятся. |
||
|
|
В этом равновесном |
состоянии |
||||
|
|
листы равномерно распределены |
в пространстве и среднее электрическое поле, действующее на лист, равно нулю (см. фиг. 1). У каждого листа электрическое поле претерпевает скачок на —4ло (закон Гаусса), где —о — по верхностная плотность заряда. Между листами электрическое поле изменяется линейно с расстоянием из-за заряда фона. Рас стояние между листами в равновесии, б, равно щ 1, где п0 — плотность нейтрализующего фона.
Если один из листов (скажем, лист і) смещен из равновесного положения на расстояние х и то он пересекает положительный заряд оп0Хі на единицу площади. По закону Гаусса действующее на лист электрическое поле равно 4лп0охь а его движение описы вается уравнением
тхі — — оЕ = — 4лло02хг
или
Х і = — (х)ІХі , |
(1 ) |
2 _ 4яп0а2
т
§ 2. Электростатическая модель плоских листов |
13 |
Легко видеть, что (1) есть уравнение гармонического осцилля тора, так что
(2) (3)
Каждый лист осциллирует с плазменной частотой независимо от всех других.
Уравнение (1) и определяемое формулами (2) и (3) решение сохраняются только, если выбранный лист не пересекает другого. Если же произошло какое-то пересечение, то электрическое поле скачком изменяется на —4ясг и ускорение тоже испытывает внезап ный скачок. Ситуация такая же, как если бы листы поменялись положениями равновесия. Поэтому уравнение движения листа
принимает вид |
|
Хі — |
(4) |
где х і — координата листа, а X t — смещение |
его от мгновенного |
положения равновесия.
Теперь можно построить другую одномерную модель плазмы, которая полностью эквивалентна только что описанной. Предпо ложим, что вместо листов, свободно проходящих друг через друга, мы имеем идеально упругие листы. В одномерном случае при совершенно упругих столкновениях идентичные частицы просто обмениваются скоростями. Последнее приводит к той же ситуа ции, которая возникает для частиц, проходящих друг через друга. Единственное отличие между окончательными результатами заклю чается в именах, которые мы присваиваем частицам.
Можно построить механическую модель одномерной плазмы. Модель состоит из набора идентичных маятников, каждый из кото рых имеет упругий шарик на конце. Маятники выстроены в линию
имогут осциллировать только вдоль этой линии центров.
Спомощью этой модели можно продемонстрировать ряд свойств
одномерной плазмы. Например, если первый маятник отвести в сторону и освободить так, чтобы он смог ударить второй, то он передаст свою скорость второму, второй — третьему и т. д. Таким образом, импульс движется через маятники. Когда какой-то маят ник ударяет соседа, он теряет свою скорость, но не свое смещение. Таким образом, импульс оставляет маятник после себя в смещен ном состоянии, и маятники начинают колебаться. Это эквивалент но возбуждению колебаний плазмы при движении быстрого листа через плазму.
14 |
Гл. 1. Модель плоских листов и ее модификация |
2. Численный метод описания движений однокомпонентной одномерной плазмы
Будем искать решения уравнения (4) для листов, корректируя орбиту для пересечений с соседними листами. Когда лист пересе кает соседний, ускорение претерпевает скачок,
Д ± сорб, |
(5) |
где б — расстояние между частицами в исходном равновесии; знак плюс выбирается, если пересекаемый лист вначале находился справа, а минус, если слева.
Допустим, что частицы пронумерованы в соответствии с их положением вдоль оси х. Если не происходит пересечение, то реше
ние уравнения (4) имеет вид |
|
Хі it + At) = Xi (t) cos (üpAt — (üpXt (t) sin (OpAt, |
(6) |
xt (t -(- At) = xt (t) + Xi (t) sin сорАt — X t (t) (1 — cos copАt). |
(7) |
Код вычисляет эти непересекающиеся положения и проверяет, не произошло ли какое-либо пересечение, т. е. он разыскивает ситуации, когда
Хі it + At) > Xj it + At) для j > i. |
(8) |
(Напомним, что частицы пронумерованы вдоль оси х.) Если он находит, что такое пересечение произошло, он вычисляет время
Время |
Время |
Ф и г. 2. Схема пересечения.
пересечения, определяя сначала хорды двух орбитальных кривых в плоскости X, t, а затем вычисляя времена пересечений для них (фиг. 2). Первое приближение для времени пересечения £с1 запи сывается в виде
Д £ = Д £ ___________________ |
x i |
(t) — zj (t) |
|
|
|
|
||||
|
xi it -At) |
___________________ |
( |
9 |
) |
|||||
xj |
(f) |
xi |
(f) -j- |
|
— x j it |
-At) |
||||
|
|
|
|
-] |
|
|
§ 2. Электростатическая модель плоских листов |
15 |
Далее код вычисляет, исходя из непересекающихся орбит, положения этих двух частиц в предсказанный момент пересечения. Затем он вычисляет хорды, проведенные через эти точки в момен ты t и tc1 , и определяет их время пересечения tc2. Это время исполь зуется как правильное время пересечения. Вклад от более ранних пересечений (если таковые были) в течение Аt не включается. Если две частицы пересеклись до момента t из-за поправок к их орбитам от пересечений в предшествующий временной интервал, то tc2 будет отрицательным и метод найдет поправку. Орбиты частиц корректируются путем добавления постоянного ускорения + ©|б к их движению на протяжении остальной части временного шага, причем знак зависит от порядка пересечения.
В первоначальном варианте этого кода движения вычислялись без учета поправок для пересечений в течение At. И даже при вре менных шагах, настолько коротких, что вероятность пересечения одним листом другого мала, было обнаружено, что энергия убы вала с недопустимой скоростью, приблизительно как
( 10)
где Лt — временной шаг. Эта скорость довольно велика, кроме того, точность имеет только первый порядок относительно At. Благодаря включению первой поправки для пересечения закон сохранения энергии выполняется с большей точностью, ~ At2, и это примерно на три порядка лучше для <врДі = 0,05 и rikD~ 10. Введя вторую по правку для времени пересечения, мы получили дальнейшее улучше ние выполнения закона сохранения энергии на два порядка для (OpAt = 0,05 и rikD = 10. Увеличение рабочего времени из-за этой последней поправки оказалось незначительным (~1 %) и с избытком окупалось возможностью использовать большие временные шаги при заданной точности.
Наряду с проверкой сохранения энергии ранний вариант кода без второй поправки для времени пересечения проверялся на обратимость во времени. Движенйе системы из 9 листов было обращено, и мы обнаружили повторение траектории системы с точ ностью до ІО-3 (все орбиты имели эту точность) в течение 6 колеба ний (сdpt — 36). В этом случае на дебаевской длине находилось примерно 2,5 частицы.
Если частицы пронумерованы в том порядке, в котором они встречаются на оси х, то при проверке на пересечения нам нужно
проверять |
только соседние в таблице частицы (т. е. соседние |
на оси X |
частицы). Существует максимальное расстояние по х, |
при котором частицы еще могут сталкиваться на протяжении вре менного шага. Это расстояние определяется формулой
Д^макс ( 0 — — макс “I“ ^ (0 ^ ^ * (И)