ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 254
Скачиваний: 6
16 Гл. 1. Модель плоских листов и ее модификация
где Ахцакс (t) — максимальное расстояние, на котором мы должны искать впереди пересечение с г-й частицей; —К— макс есть макси мальная отрицательная скорость частицы; ѵ (і) — скорость і-й частицы и Дt — временной шаг. Мы ищем столкновения только впереди (по х), так как столкновения сзади были выявлены ранее, по мере движения через таблицу. Максимальная отрицательная скорость обновляется каждый период сор1.
Для того чтобы этот метод был эффективным, частицы должны быть приведены в порядок в соответствии с их положением вдоль оси X. Это производится подсчетом числа случаев, когда лист пере секает другой справа от себя, и вычитанием из него числа случаев, когда он пересекается другим слева. Полученное количество дает число мест, на которое нужно передвинуть частицу вперед (или назад) в таблице. [Все таблицы данных (положения, скорости, характеристики частиц) также перестраиваются.) Каждое пересе чение одна частица испытывает справа, а другая — слева. Таким образом, сумма полного числа пересечений (считая правые поло жительными, а левые отрицательными) должна равняться нулю; последнее обстоятельство использовалось как проверка кодов. Далее эта процедура приводит к однозначному распределению для частиц, причем одно место в таблице не могут занимать две частицы. Это была вторая проверка кодов.
Граничные условия ставятся следующим образом. На каждом конце помещается набор мнимых зарядов. Выбирается достаточное число этих зарядов, с тем чтобы частица изнутри системы не смогла перескочить через последнюю мнимую частицу в течение одного временного шага. Если мы хотим иметь условие зеркального отражения на границе, то мнимые частицы должны быть зеркаль но симметричны (т. е. располагаться на равных расстояниях от границы, но иметь отрицательные скорости) частицам, непосред ственно примыкающим к границе. Если же мы хотим иметь перио дические граничные условия, то мнимые заряды должны быть тождественны частицам на другом конце системы, за исключением того, что они должны быть смещены на расстояние ± L , где L — длина системы; знак зависит от того, какой конец системы мы рас сматриваем. Движение последних мнимых частиц может быть неправильным, но это несущественно, так как они заменяются новыми мнимыми частицами в конце каждого временного шага.
Обычно код пробегает в среднем от 1,2 до 1 пересечения на частицу за временной шаг. Энергия сохраняется с точностью до ІО-5 на протяжении 40 временных шагов, когда на дебаевской длине находится 20 частиц. Код требует примерно 2 •ІО-1 с на частицу и на один временной шаг на IBM 360/65. Как правило, включаются такие диагностики, как вычисление функции распределения по скоростям, фурье-образа электрического поля и траекторий частиц в фазовом пространстве. Они могут потреблять заметное время.
§ 2, Электростатическая модель плоских листов |
17 |
3. Численные методы, используемые в двухкомпонентной модели плоских листов
Двухкомпонентная модель плоских листов [4] содержит два типа листов с равными, но противоположными по знаку зарядами и различными массами. Эти листы всегда перпендикулярны какой-либо оси х, но могут свободно проходить друг через друга.
Уравнение движения листа имеет вид
X - Е и (12)
У>. с '
где Еі — среднее электрическое поле у і-го листа (і — его поряд ковый номер на оси х). Между пересечениями поле Е постоянно и орбита і-го листа определяется формулой
|
|
Жі = Жіо+ М + -?^ - - • |
(13) |
|||
Аналогично |
для |
орбиты |
соседней |
частицы |
имеем |
|
|
|
x j ~ |
х іо |
2mj~ |
’ |
(14) |
где і = і ± |
1. Поскольку заряд на листе равен + о, |
то по закону |
||||
Гаусса поле |
Ej |
должно |
быть равно E t + |
4па, где |
выбор знака |
|
зависит от знака заряда на і-м листе. Время пересечения листов і и / получается в результате приравнивания x t и Xj и определяется уравнением
(хю xjo)Jc{Vio — Vjo) t-\- ( |
~~~2ml" ) t2 = 0. |
(15) |
||
Решая это уравнение относительно t, получаем |
|
|||
_ Ау±(Діг2'—4ЛаДа:)1/,г |
(16) |
|||
|
2Да |
|
||
где |
|
|
||
|
|
|
||
Ах = х і0 |
|
(17) |
||
Аѵ = ѵі0 |
|
|||
OjEj |
|
|||
Аа |
OiEi |
(18) |
||
2m I |
2mj |
|||
|
|
|||
Возможно, что частицы і и / никогда не пересекутся или время пересечения слишком велико, так что они пересекут раньше дру гие частицы. Однако всегда верно утверждение, что пересечение может иметь место только для соседних в данный момент частиц.
Теперь мы можем двигать вперед систему, пересечение за пере сечением, регистрируя положение и скорость частицы в момент ее последнего пересечения. Мы составляем список времен пересе чений для частиц, пересекающих своих ближайших соседей. Две
2-01236
— БИр ЛИОі £КА СССР I
18 |
Гл. 1. Модель плоских листов и ее модификация |
частицы с самыми короткими временами пересечений пересе каются. После пересечения этих частиц для них вычисляются новые времена пересечений по отношению к их новым соседям. Старые времена пересечений, соответствующие этим частицам, вычеркиваются, а новые времена пересечений вносятся в таблицу пересечений на соответствующие места.
Чтобы изложенный выше метод был эффективным и не требовал очень большого машинного времени, используется ряд приемов. Во-первых, времена пересечения заносятся в таблицу пересечений в том порядке, в котором они происходят, так что следующим пере сечением является то, которое приводится в начале таблицы. Чтобы упростить ввод времен пересечения в таблицу, первые несколько значащих цифр времени пересечения используются для определе ния его положения в таблице. Чтобы не возникало необходимости перестраивать всю таблицу пересечений или передвигать большое число времен пересечений в таблице, когда туда вставляется новое, таблица делается гораздо больше (примерно в 10 раз), чем полное число времен пересечения, с тем чтобы она содержала глав ным образом пустые места. Таким образом, когда вставляется новое время пересечения, оно обычно попадает на свободное место. Если же на этом месте имеется какое-то время пересечения, то последнее сравнивается с тем, которое нужно поместить, и они размещаются в таблице в надлежащем порядке. Если занесенное в список значение нужно подвинуть, то оно обычно перемещается только на одно место из-за большого числа пустых мест.
Поскольку мы не можем заполнять бесконечно длинную таб лицу пересечений, мы должны определить наиболее вероятное время пересечения для соседей. Если время больше чем это, то одна или другая из этих частиц будет пересечена третьей частицей прежде, чем предсказанное пересечение произойдет. Наиболее вероятное время пересечения определяется из следующих сообра жений. Скорость пересечений, которые испытывает частица со ско ростью и, приблизительно равна
п (ѵ2+ i4)1/z = - j f - — N c, |
(19) |
где N c — число пересечений, которые испытала частица, п — плотность, ѵг — среднеквадратичная хаотическая скорость (в этом выражении мы использовали среднеквадратичную скорость отно сительно других частиц, но можно было бы использовать и сред нюю относительную скорость). Вероятность того, что частица не испытает пересечения за интервал времени т, равна
Р (нет пересечения) = е х р [ ІѴСТ ]. |
(2 0 ) |
Максимальное время пересечения, удерживаемое в таблице, выби рается таким, чтобы величина Р была крайне малой, обычно
§ 2. Электростатическая модель плоских листов |
19 |
порядка ІО-8—ІО'9. (Минимальное значение N c можно |
исполь |
зовать для вычисления т, причем т должно быть порядка 20 сред них времен пересечения.) Такая малая величина Р действительно требуется, поскольку нужно быть уверенным, что фактическое пересечение не пропущено в системе, состоящей из нескольких тысяч листов, каждый из которых испытывает несколько тысяч пересечений за время счета. Ввиду этого обстоятельства большая часть времен пересечения сконцентрирована вблизи начала табли цы. Это нужно учитывать для того, чтобы в начале таблицы име лось место для размещения новых значений пересечений. Данную ситуацию можно было бы улучшить, оставляя блок из небольшого числа мест в конце таблицы, чтобы размещать времена пересече ний, в 6—7 раз превосходящие среднее время пересечения, но это могло бы усложнить логическую схему использования и обнов ления таблицы и потому не было осуществлено нами.
Как уже упоминалось, для ускорения ввода поступлений в таб лицу пересечений первые несколько цифр времени пересечения используются в качестве адреса. С течением времени размер вре мен пересечения становится все больше и больше, и, следователь но, адреса поступлений становятся все длиннее и длиннее. Чтобы таблица пересечений не была слишком большой, мы должны ском пенсировать это. Последнее осуществляется путем использования круговой таблицы, причем расстояние по окружности равно мак симальному интервалу, на протяжении которого нужно рассма тривать пересечение. У последнего рассмотренного времени пере сечения помещается флажок. Это время вычитается из новых вре мен пересечения, и первые несколько значащих цифр тогда опре деляют их положение в таблице относительно последнего пересе чения.
Граничные условия задаются путем помещения мнимых частиц на концах системы. Для получения граничных условий идеаль ного отражения зеркальные изображения крайних частиц поме щаются с обоих концов в зеркальных точках. Для получения периодических граничных условий в соответствующие места помещаются зеркальные отражения противоположных концов.
Вышеописанный метод развития системы — пересечение за пе ресечением — имеет ту же точность, что и машина, и очень быстр. На использованной машине энергия сохранялась с точностью до десяти значащих цифр в течение длительного времени (сорг да « 100; машина имела 12 значащих цифр). Вычисления занимали около 1 мин на период Юр1 для 1000 электронов и 1000 ионов на машине CDC 1604, которая считает на несколько порядков мед леннее, чем современные быстродействующие ЭВМ. Время вычис лений пропорционально числу частиц, умноженному на число частиц на дебаевской длине. Единственным недостатком кода является то, что для таблицы пересечений требуется большая
2*
