Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 268

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Используя для введения безразмерных величин формулы, ана­ логичные (7.12), (7.13) и (7.16), можно записать уравнение движения в виде

 

 

д 2 и

' і + в - | ) 3

f R e 2 ^ 9 s

, „ e —

 

(Х.05)

где

параметр усиления

є определяется

так же, как в 6-й и 7-й лек­

циях, cps>„ = <pSi„ (х, у) — функция

распределения

составляющей

Ег

прямой

синхронной волны на n-й гармонике,

§ — безразмерная

сила пространственного заряда, которая теперь зависит от х , у и опре­

деляется формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ = - ( е ? ) 2

І

I d Z 0 ^ ( x , y ; ~ x , y ;

z-~z)dS.

(Х.06)

 

 

 

 

 

— оо

 

Sg

 

 

 

 

 

 

 

Будем теперь экстраполировать движение электронов по формуле

(7.28) и преобразуем выражение для силы пространственного

заряда

ІГ подобно тому, как это сделано в 7-й лекции; мы получим

 

 

 

 

 

 

2я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

= (^~

)

hi

\ dMo.f

[D(x,

у;х,

у; и — и)

+

 

 

 

+

гОг

(х,

у; х, у', и — и) ди

dS,

 

 

(Х.07)

где

функции D и D І представляются

в виде рядов.

 

 

 

Комплексные амплитуды Fn и соответствующие функции рас­

пределения

нормируем

так, чтобы коэффициент полезного действия

на

п-н гармонике

определялся

выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т1п = е

 

 

-„

 

 

 

(Х.08)

 

 

 

 

 

 

 

 

Чп

 

 

 

 

в согласии

с формулой

(VI.13). Тогда

уравнение

возбуждения

имеет

вид

 

dFn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(X.09)

 

 

 

 

 

 

S„ v.

 

 

 

 

 

 

dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

s„

 

 

 

 

 

где xі = 1 - Возможна

и другая

нормировка.

 

 

 

 

Конкретизируем выведенные

выше

соотношения

применительно

к аксиально симметричным системам и полям. Пренебрегая динами­ ческими поправками, возьмем выражение для функции Грина G, при­ веденное в задаче 13 к 6-й лекции. Тогда будем иметь

2я

Ь

f = [~] 2яЛ| \ du0

J D (г, г, и —и)

оо

- f - eDl (г, г, и— и) ди rdr,

(Х.10)

где

D (г, г, х) ••

 

п 2= 1

 

 

Ton sh уоп

(я — х)

 

 

 

4nhea

5

0 п

sh уо^ ^ - ^ o ( v o

n v )

- / o ( v „ n - ^ ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( X . l l )

 

 

(г, г, x) =

 

 

2

 

 

 

 

D i

лі.

мші

On .

X

 

 

 

 

 

 

 

Anhea

~ {

sh y o n

я

 

 

X xchy0n

(я — x)—

n

sh Yon x

Л

( ^Оп " о " ) Л

(Чп —

(Х.12)

 

 

 

 

sh Yon я

 

 

 

 

 

 

 

B,

 

 

2

 

Von

 

 

 

 

 

 

Von J\ (Von)

Yon:

 

 

 

 

 

 

 

ftp a

 

 

В 7-й лекции

функции D и D t определяли

силу

взаимодействия

поперечных сечений пучка, в формуле (Х.10) эти функции определяют силу взаимодействия двух бесконечно тонких колец радиусом г и г .

Для численного интегрирования выведенных нелинейных интегродифференциальных уравнений их нужно свести к системе обыкновен­ ных дифференциальных уравнений. Для этого интегралы по началь­ ной фазе и 0 = со<%ипо площади пучка Se заменяются суммами, что эквивалентно замене непрерывного электронного пучка совокуп­ ностью укрупненных частиц. В аксиально симметричной задаче ес­ тественно разбить пучок на NM колец, т. е. на vV частей по начальной

фазе и о и М частей по радиусу (причем в середине пучка

будут не

кольца, а диски). Силу, действующую на отдельную частицу

(кольцо),

можно вычислять по-разному. Можно, например, считать весь заряд частицы сосредоточенным в центре масс и определять силу по напря­ женности поля в центре масс (для колец — по напряженности поля на среднем радиусе кольца). Однако более целесообразно усреднять силу по укрупненной частице, особенно при вычислении сил прост­ ранственного заряда. Поскольку мы вычисляем продольную состав­

ляющую

напряженности

поля,

то достаточно провести усреднение

по поперечному сечению каждого кольца; подобное

усреднение (но

по всему

сечению пучка,

а не по его частям) производилось в 6-й и

7-й лекциях.

 

 

 

 

Мы не будем выписывать здесь полной системы уравнений и огра­

ничимся лишь выражением для функции

 

 

 

(х)

j

§ D (г, г, х) rrdr

dr,

(Х.13)

 

 

 

 

 

rm-l

rm' — l

 

 

определяющей взаимодействие

m-ro кольца с т -м, где

 

 

 

 

 

 

nb2

М '

так что

гт— внешний,

a r m _ x —

внутренний

радиус m-го кольца

(г0 = 0). Функцию D m , т .

можно представить

в

виде

 

 

Dm,m' (х) '

 

2л

 

 

sh yoh

(n — x)^

(X.14)

 

he

S m a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

he

 

Л I v ofe —

]

rdr

=

 

 

m, fc '

Л

(Voft)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

he rm

Jl

-he

rm-xJ\

v o u

rm-l

 

 

 

a

(X.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yoh

h

(Voft)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

численном

интегрировании

получаемой

таким образом сис­

темы обыкновенных дифференциальных уравнений главную трудность

представляет

вычисление

сил пространственного

заряда, поскольку

 

 

 

 

 

 

 

функции

D m >

т -

имеют

сложный

вид.

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

обойти

 

эту

 

трудность, перед на­

 

 

 

 

 

 

 

чалом интегрирования системы

функции

 

 

 

 

 

 

 

Dm. т'

вычислялись

в N х

точках

на од­

 

 

 

 

 

 

 

ном периоде

по х,

 

а

затем

полученная

 

 

 

 

 

 

 

таблица

использовалась

в процессе

 

ин­

 

 

 

 

 

 

 

тегрирования. Контрольные расчеты по­

 

 

 

 

 

 

 

казали,

что Nx

 

= N

точек

достаточно:

 

 

 

 

 

 

 

при большем

 

числе

точек

результаты

 

 

 

 

 

 

 

практически

не

отличаются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Численные

результаты

показывают,

 

 

 

 

 

 

 

что расслоение

 

практически

не

влияет

 

 

 

 

 

 

 

на свойства лампы с бегущей волной

 

как

 

 

 

 

 

 

 

нелинейного

 

усилителя

 

(синхронная

 

 

 

 

 

 

 

волна

лишь

при

я

= 1),

по

крайней

 

 

 

 

 

 

 

мере

для

обычно

 

применяемых элек­

 

 

 

 

 

 

 

тронных

пучков, у

которых heb^l.

 

 

На

 

 

 

 

 

 

 

рис. Х.1. дано сравнение результатов,

 

 

 

 

 

 

 

полученных при М = 3

и М —- 1, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

при разбиении пучка на 3 слоя и при

ис­

 

 

 

 

 

 

 

пользовании

 

уравнений

7-й

лекции.

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае

(его

можно

считать

 

ти­

 

 

 

 

 

 

 

пичным) амплитуды и фазы токов в от­

 

 

 

 

 

 

 

дельных

слоях

 

мало

отличаются

друг

 

 

 

 

 

 

 

от друга и расслоение практически

не

 

 

 

 

 

 

 

сказывается. Через cpm на рис. Х.1 и

Рис. Х.1.

Расслоение

в

лампе

последующих

 

рисунках обозначена раз­

с

бегущей

волной

(три

слоя,

ность

фаз

между

 

током

в

яг-м

слое и

М = 3) при є =

0,072;

{^1

f =

полем

синхронной

 

волны.

 

 

 

 

 

=

2,25; І =

1,0;

heb

\Є(0/

Расслоение

начинает

проявляться

=

0,75;

только

при

значительном радиусе

пуч­

hea

= 1 , 5 ;

M

— 1 —

резуль­

ка. На рис. Х.2

и

 

Х.З

представлены

таты без

учета расслоения.

 

результаты решения нелинейных уравнений при heb = 2. Они пока­ зывают, что при слабом пространственном заряде расслоение элек­

тронного пучка уменьшает к. п. д., а при

большом пространствен­

ном заряде этого нет — максимальный к.

п. д. даже несколько

Рис. Х.2. То же, что на рис.

Х . 1,

при

е = 0,1; \— J —0

I = 1,87; heb =

2;

hea =

-2,5.

увеличивается по сравнению с тем значением, которое получается согласно теории, не учитывающей расслоения. Этим результатам можно дать следующее физическое объяснение.

При слабом пространственном заряде распределение плотности тока в поперечном сечении электронного пучка в линейном режиме повторяет распределение поля синхронной волны — плотность тока больше там, где сильнее поле Ez синхронной волны, т. е. ближе к краю электронного пучка (рис. Х.2, 3-й слой). При сильном пространственном заряде распределение переменного тока в поперечном сечении пучка

подобно распределению поля синхронной волны только при малых £, когда пучок еще не модулирован по плотности. После того, как пучок сгруппировался и нарастающая волна стала преобладать, распределение тока в поперечном сечении становится таким, как в вол­

не

пространственного заряда,

—

плотность тока в центре больше,

чем

у края пучка (рис. Х.З,

£ =

5-^-7).

Этот эффект

следует из линейной теории — мы о

нем говорили

в 6-й лекции при анализе электронных волн.

 

Уменьшение

к. п. д. из-за расслоения при слабом

пространствен­

ном заряде связано с тем, что фазы токов в разных слоях становятся существенно различными: внутренние слои еще отдают энергию полю,

а

внешние, сгруппировавшиеся раньше, уже начинают ее забирать.

В

то же время при сильном пространственном заряде (рис. Х.З.) фазы

токов в отдельных слоях хотя и различны, но длительное время лежат

в пределах, соответствующих отбору энергии у пучка .Такое поведение фаз в разных слоях обусловлено взаимным влиянием слоев при силь­ ном пространственном заряде, который способствует выравниванию скоростей отдельных слоев.

С подобным выравниванием мы уже встречались (приложения I I , I I I и особенно IV); например, неустойчивость, возникающая в двух­ лучевой лампе, развивается так, чтобы выровнять — хотя бы в сред­ нем — скорости электронных потоков. Наряду с выравниванием про­ исходит развитие осцилляции.

Аналогичные явления возникают и при расслаивании электрон­ ного пучка в лампе с бегущей волной. Возможность выравнивания скоростей и фаз сгустков, образующихся в различных слоях, под­ готавливается еще в линейном режиме, где сильное электрическое поле синхронной волны действует на слои с малой плотностью пере­ менного тока, а слабое поле — на слои с большей плотностью пере­ менного тока. В нелинейном режиме выравнивание осуществляется благодаря взаимодействию электронов, находящихся в различных слоях и различных пространственных периодах поля. Это взаимодей­ ствие описывается функциями Dm _ т- (х), которые определяют ха­ рактер нелинейных процессов при сильном пространственном заряде. Заметим, что ошибки, допущенные при вычислении функций Dm, т> (х) в ряде ранее опубликованных работ, привели к неверной оценке эф­ фекта расслоения — получилось, что расслоение пучка снижает к. п. д. лампы тем больше, чем сильнее пространственный заряд. Однако если устранить эти ошибки, то выводы получаются противоположными — такими, как в настоящем приложении.

Содержание этого приложения показывает еще раз, что проблемы, связанные с пространственным зарядом в электронных приборах, являются достаточно сложными и вместе с тем достаточно важными. Без решения этих проблем невозможен расчет приборов, нельзя даже понять, как они работают при сильном пространственном заряде.

 

С П И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ К П Р И Л О Ж Е Н И Ю X

1. К. А.

В е д я ш к и н а, В. А. С о л н ц е в . Расслоение электронного

потока в лампе с бегущей волной. «Электронная техника», сер. I, Электроника

СВЧ,

1972, № 9, стр. 3—15.

Смотрите также файлы