Файл: Физика магнитных диэлектриков..pdf

Итак, пусть V координатных волновых функций (соот­

где DjVj (Р) — коэффициенты матрицы, соответствующей

элементу Р в неприводимом представлепип q. И пусть далее ѵг спиновых волновых функций уг(ап (оѵ о2, . . оіѴ) (а =1,2, . . ., преобразуются по неприводимому пред­ ставлению (той же группы перестановок) номера t с раз­ мерностью ѵл т. е.

а=1, 2, . . ., ѵ,), так же как и любая их линейная ком­ бинация, удовлетворяет уравнению Шредингера с энергией Е (2.3). В соответствии с принципом Паули полная вол­

причем коэффициенты с .а этой линейной суперпозиции

должны быть выбраны таким образом, чтобы функция (2.9) меняла знак при перестановке любой пары номеров электронов. При этом сразу возникают следующие во­ просы.

1.Для любой ли пары представлений q я t можно осуществить такой выбор коэффициентов с .я?

2.В том случае, когда это возможно, сколько суще­ ствует таких возможностей? Т. е. однозначно ли соот­ ветствие симметрии пространственной и спиновых частей волновой функции?

38

Ответ на эти вопросы дает теория групп. Для каж­ дого представления q существует лишь одно представле­ ние д, при котором выбор антисимметричной линейной комбинации вида (2.9) возможен, причем для этих двух представлений такая антисимметричная функция строится единственным образом.*

Таким образом, каждому из допустимых значений энергии соответствует набор, вообще говоря, вырожден­ ных орбитальных функций tp. определенного типа сим­

метрии по отношению к перестановкам электронов (непри­ водимое представление q). Этим функциям соответствуют спиновые функции, чей тип перестановочной симметрии (представление q) однозначно связан с перестановочной симметрией орбитальных функций.

Итак, каждой допустимой энергии соответствует единственный тип перестановочной симметрии спиновой части волновой функции, принадлежащий к некоторому неприводимому представлению группы перестановок.

Этот результат приводит к ряду дальнейших важных выводов в случае, когда спин равен 1/2 (т. е., в частности, для электронов).

Пока же отметим следующее. Если бы у частиц вообще не было спина, то допустимы были бы лишь те из «воз­ можных» (т. е. возможных без учета принципа Паули) значений энергии, для которых волновая функция, яв­ ляющаяся решением уравнения Шредингера (2.2), анти­ симметрична. Остальные «возможные» энергетические со­ стояния, т. е. все те невырожденные состояния, у кото­ рых функции симметрии и все вырожденные состояния для бесспиновых частиц запрещены.** Ріаличие же у частиц

* На языке теории групп функции ЧИ**5 осуществляют представ­

ление размерности vqvt группы перестановок, являющееся прямым произведением представлении q и t. Это представление, однако, при­ водимо и может быть выбором линейных суперпозиций вида (2.9) разбито на неприводимые представления. Сформулированные здесь вопросы сводятся на теоретико-групповом языке к тому, содер­ жит ли прямое произведение представлений q и t антисимметричное представление (1), и если да, то сколько раз оно его содержит (2). Ответ означает, что такое представление содержится в прямом произведении вполне определенных пар представлений q и q, причем в этом прямом произведении антисимметричное представление со­ держится один раз.

** Здесь имеется в виду вырождение, связанное лишь с пере­ становками частиц.

39

спина, как следует из изложенного выше, приводит к тому, что класс допустимых (из числа «возможных») значений энергии расширяется.*

Могло бы показаться сначала, что для частиц со спи­ нами допустимыми являются уже все собственные значе­ ния энергии Е уравнения Шредингера (2.2), ибо, как утвер­ ждалось выше, каждому типу перестановочной симметрии координатной волновой функции можно поставить в со­ ответствие тип перестановочной симметрии спиновой вол­ новой функции, обеспечивающей возможность построе­ ния антисимметричной полной функции. Однако это оказывается не так из-за того, что спиновая переменная носит дискретный характер и принимает (у электронов) всего два значения (+ 1/2). Это означает, в частности, что среди любых трех спиновых переменных есть хотя бы две совпадающие между собой, и потому функция спиновых переменных не может быть антисимметричной более, чем по двум переменным.**

Из-за этого запрещены те значения энергии, у кото­ рых перестановочная симметрия пространственной вол­ новой функции такова, что ей соответствует (при об­ разовании антисимметричной полной функции) спино­ вая функция, антисимметричная относительно пере­ становок трех или более электронов между собой.***

Так, например, для трех и большего числа электронов не допускается полностью симметричная координатная волновая функция, ибо ей соответствует полностью анти­ симметричная спиновая функция, которая в этом случае — тождественный ноль.

Наконец, для частиц со спином 1/2 (и только для них) в теории групп перестановок доказывается исключительно

как говорилось выше, из каждого набора вырожденных состояний ? • (гі> г2,. . ., гд.) может быть составлена лишь одна антисимметрич­

функций такова, что из них можно образовать функции, антисим­ метричные относительно трех пли более электронов.

40

новые волновые функции, относящиеся к определенному неприводимому представлению группы перестановок (т. е. определенному типу перестановочной симметрии), яв­ ляются собственными функциями определенного значения полного спина системы N частиц.

Если объединить это со сказанным ранее (см. стр. 39), то этот вывод можно сформулировать и так:

Каждому (не запрещенному правилом на стр. 40) зна­ чению энергии системы N электронов соответствует определенное значение суммарного спина S .*

Обменная энергия

Пусть в некотором приближении координат­ ная пасть волновой функции может быть записана в виде произведения одноэлектроииых функций

Однако с таким же успехом в качестве волновых функций можно было бы взять и функции .РФ0, получающиеся

из (2.10) действием любой из перестановок Р координат электронов.

В предыдущем разделе уже говорилось, что простран­ ственные волновые функции с одинаковым значением энергии относятся к определенному неприводимому пред­ ставлению q, а полная волновая функция комбинируется из координатных и спиновых функций (2.8), причем функции сOj и уа можно выбрать так [2], что cJa будет отлично от пуля лишь при і =а:

*Как известно [1 ], суммарный спин S может пробегать значе­ ния 1/2 N, 1/2 N —1 , . . . до 1/2 или 0 в зависимости от того, нечетное или четное N.

**Множитель ѵ~‘4 добавлен, чтобы Ф была нормирована на еди­ ницу при условии, что функции сру и 'ij нормированы на едипицу.

Функции <?j (и Ху) с разными / ортогональны (ср. с формулой

(П. 2.2) Приложения 2 при W = 1 и /^ = у ^ ) .

41