ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 289
Скачиваний: 3
Соответствующие функции <р+ и tp_ имеют очевидный вид
?± (Г1. І2) = |
Рп ) ф0 = - J j [Ф'а (Гі) |
(Г2) ± |
|||
|
± Т в('2)^»(Гі)]. |
|
(2.25) |
||
Функции (2.25) являются частным видом функций |
|||||
(2.14); роль |
значков } |
и j ' играют (-)-) и |
(—), причем |
||
с± (/) =1 / Д |
а с± (Р13) = ± l/\ß . |
умножаться |
на |
антисим |
|
Функция |
tp+ (щ, г2) |
должна |
|||
метричную, |
а ср_ (гх, |
г2) на |
симметричную |
спиновую |
|
функцию, так что полные волновые функции имеют вид
ФВ = ¥ |
+ (Г], |
г 2) X - (аі 1 о2), |
= SP- ( r j , r 2) x + ( ° i . °o), \ |
X±(al. |
a2) = |
+ x ± ( a2. ° l) . |
J |
Симметричная спиновая функция соответствует сум марному спину S, равному единице, а антисимметрич ная — нулевому спину. Состояние со спином S =0 не вырожденное (синглетное), ему соответствует одна воз можная спиновая функция Хоо ($ =8г =0)
1
X- = Хоо = |
К (°і) а- Ы — а+ Ы а- (°і)1 • |
(2- 27) |
iS. — проекция суммарного спина на ось z; а±(а.) |
— спино |
|
вая волновая функция г-ой частицы в состоянии с про екцией спина s.s= + \l2.
Состояния с iS =1 трехкратно вырождены (триплет) в соответствии с тремя возможными значениями і5>г=0, + 1, чему отвечает возможность составления трех симметрич
ных комбинаций из функций а±(с.) |
|||
|
1 |
|
|
Х+ ‘ — Хі, о= |
^ |
[а+ (аі) а- (°и) + |
а+ (аг) а- (°і)]> |
Xt2) = Х і, і = |
а+ Ы а+(°2). |
(2. 28) |
|
|
|||
х4?’ = х і , - і = а- ( ° і) а- ( ° 2)- |
|
||
Подстановка х,- |
из |
(2.27) и |
из (2.28) дает явный |
вид полных функций синглетного и триплетныг (Ф(Я) со
стояний. Итак, симметричной координатной |
функции |
||
Ч>+ (гх, г2) отвечает |
S =0, а |
антисимметричной ср_ (гх, г2) |
|
соответствует S =1. |
Теперь |
можно вычислить |
энергии |
47
состояний с различными спинами и тем самым — энергию обменного расщепления
Я(5 = 0) = £+; |
= Ѵ = |
) |
(2. 29) |
||
Е ± = I <р± (г,, г2) Э Ц ± (гь г,) d 3 r Ld 3 r 2. j . |
|
||||
Отсюда, используя выражения (2. 24) и (2. 25), получим |
|||||
|
Е ± = Е« + ЕІР+ |
к аь + |
1 (lb• |
|
(2- 30) |
Здесь каЬ= |
j J I Ч''„ (г,) I2 |
I |
'і;і (г2)J2d ^ d 3?-., — сред |
||
няя энергия |
кулоновского |
взаимодействия, |
Jab — об |
||
менный интеграл (2.23). |
|
|
|
|
|
Таким образом, энергия обменного расщепления для |
|||||
двухэлектронной системы |
|
|
|
|
|
|
E ( S = \ ) - E ( S = 0 ) = |
- 2 1 |
ab . |
(2.31) |
|
Выражение (2.30) дает значения энергий симметрич ных и антисимметричных (относительно перестановки про странственных координат) состояний, являющихся, с дру гой стороны, состояниями со спином 0 и 1. Поэтому два значения энергии E+—E ( S —0) и E_—E (S = 1) можно рассматривать как два собственных значения эффектив ного «спинового» гамильтониана (т. е. гамильтониана, действующего только на спиновые переменные электронов). Поскольку двум разным значениям энергии соответствуют
два разных значения S2 = (j^-fS,)3 = 5 |
(*5-(-1) (при 5=0,1), |
то спиновый гамильтониан должен |
иметь вид |
^си — А + В (§і + ®г)2-
Постоянные А и В можно определить из того условия,
чтобы собственные значения Ж0„ для S =0 и S =1 были соответственно Е+ и Е_, т. е.
É m = Е + + |
Y |
(£_ - |
Е + ) (§1 + ё 2р . |
|
Так как sj= s2= |- , |
то |
|
|
|
с7Іс„ = ^ - Е + |
-{- |
Е _ + |
( Е _ — Е + ) §і§2. |
(2. 32) |
4S
Если рассматриваются только различные спиновые состояния фиксированной конфигурации (без учета пере ходов между состояниями различных конфигураций), то ие зависящую от операторов спина часть спинового гамильтониана (2.32) можно опустить и считать
= (Е_ — Е+) §і§.2 = |
—27,i()S]S.2. |
(2. 33) |
Эта формула — общепринятое |
выражение для |
так |
называемого спинового гамильтониана обменного взаимо
действия двух электронов в конфигурации, |
когда один |
||||
из них находится |
в |
состоянии гЕа, а |
другой — в ЧД. |
||
Выражение |
для |
обменного интеграла |
(2. 23) |
позволяет |
|
заключить, |
что |
Jal) > 0 положительно (вещественность |
|||
J ь очевидна). Действительно, |
|
|
|||
|
hb = |
j f |
d ^ \ d ^ f (iq) V (гх — г2) p (г2), |
|
|
где |
|
|
|
|
|
р(г) = Ч^(г)1П(г); Ѵ {ѵ )= * .
Разложив р (г) и V (г) в интеграл Фурье и обозначив Фурье-компоненты функций р (г) и V (г) соответственно через р (q) и V (q), получим
е2 |
Г |
|
|
} аЬ = ~(2тс)0" J d ^ r ^ r .ß - iq ^ q .^ q ^ (qL) 5 (q2) V (q3) exp i X |
|||
X t(q3 — Чі) В + (Чг - |
e2 |
Г |
|
Чз) г21 = -Щ з- |
] Р* (Чі) р (q2) V (Чз) X |
||
S (Чз — Чі) 3 (Чз — Ча) d^dZqzdSq.j = |
j d3q | р (q) |2 V (q) = |
||
__ fL f |
IP(4)I2 4 n / j7, . |
||
~ |
2k* \ d q |
q-2 > ° \ V (q) — q-i ]• |
|
Но отсюда следует, что внутриатомный обмен между двумя электронами таков, что меньшему значению энер гии (Е_) соответствует наибольшее значение спина пары электронов (S =1). На «классическом» языке поэтому говорят, что внутриатомный обмен стремится установить спины электронов параллельно друг другу. Такой харак тер обменного взаимодействия называют ферромагнитным, он связан с тем, что обменный интеграл JаЪ в формуле (2.33) положителен.
На ферромагнитном характере внутриатомного об мена основано известное правило Хунда, согласно кото-
4 Физика магнитных диэлектриков |
49 |
рому из всех состояний атома с одной и той же конфигу рацией наименьшее значение энергии имеет состояние с максимальным (из возможных для данной конфигура ции) спииом.
Межатомное обменное взаимодействие
Внутриатомный обмен, рассмотренный в пре дыдущем разделе, определяет энергетическое расщепле ние уровней одного атома (или иона) с одинаковой элек тронной конфигурацией, но с разным значением полного спина. Для явлений, связанных с упорядочением взаим ной ориентации спинов различных атомов в кристалле (или в молекуле), существенным является так называе мый межатомный обмен. Суть его состоит в следующем. Пусть имеются два атома, ядра которых находятся в точ ках R0 и Rj и которые содержат соответственно Na и N b электронов (Na-\-Nb=N). Точнее, следовало бы говорить, что эти атомы содержат Na и N b электронов, если ядра разведены на бесконечно большое расстояние друг от друга (|Ra—R4| —> оо). Однако, если расстояние между ядрами больше суммы атомных радиусов (т. е. радиусов электрон ных облаков), то можно надеяться получить хорошее приближение для волиовых функций состояний системы двух атомов а и b в виде произведения волновых функций атомов а и Ь. Например, обозначая через £. совокуп ность (ю, с.) спиновых и пространственных координат і-го электрона, можем представить «исходную»* функ цию, описывающую «состояние» атома а со спииом Sa и проекцией та спина на ось z и атома Ь со спином S ь и про екцией ть спина на ось z в виде
5а, .... е,в; е,в + і, |
Е |
• ' >Ejv)— |
= ф(®‘”«| (£1) е2........Е* ) Ф№ "4) (5. N n + l ' |
»а+2 ’ |
• •’ Едг), (2> 34) |
s»ra+2> |
где Фsama и Ф'5'4”1* —антисимметризованные волновые функ ции атомов а и Ъ в состояниях со спинами Sa и S b и = = т а, mb. Эти функции в соответствии с (2.11) имеют вид
* В смысле, аналогичном тому, в каком исходной при изучении внутриатомного обмена была функция Ф0 (2.10).
50