где — тензор деформаций в лагранжевых переменных.
|
1 |
(dUj |
дик |
| ди./ |
ди{ \ |
Tl^'fc |
2 |
\дак |
ddj |
"И(hij |
дак } ' |
Разлагая далее выражение для энергии в ряд по сте-
пеням |
г)и.іг. ди..-», |
ди,. |
|
п — ■п ограничиваясь квадратичными |
членами, можно получить выражение для энергии иа еди ницу массы антиферромагнетика. Это выражение состоит из слагаемых, описывающих обменное взаимодействие, энергию анизотропии и взаимодействие с внешним магнит ным полем, которые имеют обычный вид (см. (4. 70)), и из слагаемых, связанных с упругим и магнитоупругим взаимодействиями. Последние слагаемые записываются таким же образом, как они записаны в § 3 для ферромаг нетика, только в соответствующих формулах следует
учесть наличие двух магнитных подрешеток в антиферро- |
д2р |
а0 a°t в соотно- |
магнетике. Так, например, член типа■ |
00.q03.jn |
г |
шении (4. 10) в случае антиферромагнетика следует запи сывать в виде
d°-FАН |
W AH |
dalqdalm“!'раі[ + 2 д*ічдагт |
1ра2/ + дагчдагт |
где * 1 * = ^ . а2* = ^ И аА. = |
а* + Ѵ |
Уравнения движения, уравнения магнитостатики и непрерывности для антиферромагнетика аналогичны со ответствующим уравнениям для ферромагнетика (см. § 3), но в них также необходимо учесть наличие двух магнит ных подрешеток в антиферромагнетике.
Используя полученные выражения, можно рассчитать магнитоупругие взаимодействия в антиферромагнетике в рамках строгой теории. Такие расчеты для случая произ вольного направления распространения магнитоупругих волн в одноосных антиферромагнетиках проведены в ра боте [45].
Наряду с качественно общими закономерностями связь упругих и спиновых волн в антиферромагнетиках по сравнению с ферромагнетиками характеризуется осо бенностями, обусловленными спектром спиновых волн. Спектр спиновых волн можно получить, используя выра
жение (4. 70) для магнитной энергии и уравнения движе ния (4. 72) для магнитных моментов [46]. Дисперсионные соотношения для спиновых волн в антиферромагнетике «легкая ось» (намагниченности подрешеток направлены по главной оси симметрии) и «легкая плоскость» (намагни ченности перпендикулярны главной оси) приближенно можно записать в следующем виде [40, 41, 46]. В анти ферромагнетике типа «легкая ось» в случае поля, парал лельного оси Z:
“і .2 = 7(Яс + НЪаЦ*)'І*±чН0, |
(4.73а) |
а в случае поля, перпендикулярного оси Z:
“і = ЦІіЬ + НІаЧ*)'І*, |
1 |
и2 = ЦНЪ + ІЦ+ |
(4. 736) |
I |
В антиферромагнетике типа «легкая плоскость» при поле, параллельном оси Z,
Ш1= ~іНЕаЯ,
(4. 74а)
“ 2 = 7(7/°с + Я2 + ff|a292)V.,
апри поле, перпендикулярном оси Z,
^= Т(НІ+И%а^Іч I
со2 = 7(7Г&+ Я |а2д2),/а_ J
В формулах (4.73), |
(4.74) H c =\J2HaHe, |
где П А и |
ИЕ — поле анизотропии |
и обменное поле, |
связанные |
с константами анизотропии и обмена в (4. 7U); а — вели чина, равная примерно параметру решетки. Типичные значения указанных характерных полей в интиферромагнетиках составляют НА =103—104 э, Н е ~ W6 э и 7/с^ Ю 5 э .
Дисперсионное соотношение (4. 7За) справедливо только при Н0 < Нд- Если же Н0 > Н с, то устойчивым является состояние, в котором вектор антиферромагне тизма направлен перпендикулярно внешнему полю (явле ние опрокидывания магнитных подрешеток). В этом случае дисперсионные соотношения для спиновых воли совпадают с соотношениями (4. 74а), если слагаемое НЬ взять с отри цательным знаком. Для аитиферромагиетиков; обладаю щих слабым ферромагнетизмом,- в дисперсионные ,соотно
шения войдет также поле Дзялошинского, представляющее собой поле анизотропии, которое вызывает появление слабого ферромагнетизма [40, 41].
Из выражений (4. 73) следует, что в отсутствие внеш него поля спектр спиновых волн в аитиферромагнетикѳ
Рис. 4.22. Спектр спиновых волн в одноосном антпферромагпетпко с намагниченностью подрешеток, направленной вдоль главной оси симметрии (тпп «легкая ось») и перпендикулярно главной осп (тип «легкая плоскость»).
Сплошные линии — дисперсионные характеристики в отсутствие внешнего магнитного поля, пункт ир — во внешнем магнитном поле.
типа «легкая |
ось» является |
вырожденным, |
а при |
q —0 |
в спектре существует щель |
2 (0) =у і7сВнешнее маг |
нитное поле |
снимает вырождение, причем |
при |
Н0 || z |
щель для одной из ветвей спектра уменьшается с ростом
поля, |
приближаясь к нулю, когда Іі0 -> Нс- |
В |
антиферромагнетике типа «легкая плоскость» и |
в отсутствие внешнего магнитного поля спектр спиновых
волн состоит из двух ветвей, |
для одной из |
которых при |
q =0 в спектре имеется щель |
ш2 (0) Н0, |
а для другой |
ветви щель отсутствует (безактивационная ветвь спектра).
Для обоих типов аытиферромагиетиков спектры спиновых волн схематически изображены на рис. 4.22.
Используя соотношения (4. 73) и (4. 74), можно выяс нить, при каких условиях будет происходить «пересече ние» дисперсионных характеристик упругих и спиновых волн, т. е. при каких условиях будет наблюдаться магиитоупругий резонанс (в действительности, как и в случае ферромагнетиков, ветви взаимодействующих упругих и спиновых воли не пересекаются, а расталкиваются).
Рис. 4.23. Спектр спиновых и упругих волн в аитпферромагнетике.
а — ѵ~ < і ~ н \ а ! > дисперсионные характеристики спиновых и
упругих волн не пересекаются; б — а2 > -(2н |;а 2, дисперсионные
характеристики пересекаются (лункпшр). При наличии взаимо действия происходит ((расталкивание» дисперсионных кривых
(сплошные линии).
Рассмотрим сначала те ветви спектра, для которых в отсутствие внешнего магнитного поля существует щель
при д=0. |
Для |
антиферромагнетика типа |
«легкая ось» |
это ветви |
u^, ш2, а для антиферромагнетика типа «легкая |
плоскость» |
это |
ветвь ш3 (рис. |
4. 22). |
ш=ѵд, где ѵ — |
Поскольку частота упругих |
волн равна |
скорость упругих волн, то из (4. 73) и (4. 74) следует, что частота, при которой будет происходить пересечение дис персионных характеристик невозмущенных волн в от сутствие внешнего магнитного поля, выражается форму
лой |
q2 \ —7з |
|
I |
(4.75) |
со0 = Т/ / Д і - ѵ2 / / 2 |
. |
