Файл: Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие.pdf

так как удлинение стержня от силы Q = mg равно

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ

Если на упругую систему периодически воздействует внешняя сила, то система совершает колебательные движения с частотой, зависящей от частоты вынужденных воздействий внешней силы.

Предположим, что на массу т, закрепленную на конце кон­ сольной балки, действует возмущающая сила P(t), величина которой изменяется во времени по определенному закону. В этом случае в любой момент движения системы должно соблюдаться следующее условие равновесия:

ту + су — Р (і)

19

Аналогичное уравнение получим и для качательного движения

где М (t) — момент от возмущающей силы Р (t).

Допустим, что величина возмущающей внешней силы изме­

Отсюда следует, что перемещение колеблющейся системы со­ стоит из двух слагаемых. Одно из них изменяется по гармониче­ скому закону с частотой р собственных колебаний и амплитудой А; другое слагаемое, возникающее под влиянием импульса силы Р 0, также изменяется по гармоническому закону косинуса, но с ча­

стотой ю вынужденных колебаний и амплитудой ^2 ^ ю2 .

Выбрав начало отсчета времени t — 0, когда у — 0, получим

Таким образом, амплитуды этих колебаний отличаются только знаком. Колебательные движения будут совершаться по закону, характер которого зависит от соотношения р и со:

Выражая разность косинусов через произведение синусов, получим перемещение массы при воздействии на упругую систему возмущающей силы Р (t) = Р 0 cos соt:

20

Из этого выражения следует, что амплитуда Л х результиру­ ющего колебания — величина переменная:

Колебания с амплитудой, изменяющейся по гармоническому закону, называют биениями.

Из соотношения

т. е. амплитуда вынужденных колебаний при со —>0 равна де­ формации системы от статической нагрузки, равной Р й.

Если со = р, то амплитуда вынужденных колебаний теорети­ чески с течением времени стремится к бесконечности. Такое явле­ ние называется резонансом.

Частота вынужденных колебаний, равная частоте собственных колебаний системы, называется критической*

Для установления закона возрастания амплитуды при резо­ нансе исследуем уравнение (10) при р = со.

Раскрывая неопределенность, получим

21

Следовательно, для резонанса характерны гармонические коле­ бания с возрастающей амплитудой (при увеличении времени t):

Если частота со вынужденных колебаний больше частоты р собственных колебаний, то перемещение у имеет отрицательное значение. Таким образюм, при со > р деформация у и возбужда­ ющая сила Р (t) противоположно направлены. При дальнейшем увеличении частоты со вынужденных колебаний амплитуда умень­ шается и при со = оо А = 0. Отсюда следует важный вывод, что изменением со или р можно достичь заданной амплитуды колеба­ ния и заданного напряжения в материале, пропорционального деформации упругой системы.

Разделив числитель и знаменатель выражения для амплитуды А вынужденных колебаний на р2, получим

где ß = р2_ ю2-----динамический коэффициент амплитуды.

Таким образом, при изменении частот собственных р и выну­ жденных со колебаний меняется и деформация системы при ее колебании.

Определив коэффициент ß и статический прогиб уСТот силы Р 0, легко найти А, а следовательно, и динамическое напряжение

фцин ß ffcx -

Таким образом, при резонансе амплитуда вынужденных коле­ баний возрастает при отсутствии сил сопротивления пропорцио­ нально времени. В практике силы сопротивления всегда имеются, поэтому с течением времени, когда работа возмущающих сил равна работе всех сил сопротивления, увеличение амплитуды колебания прекращается.

Резонанс возникает и в случае, когда частота собственных колебаний кратна частоте вынужденных колебаний.

Наличие сил сопротивления всех видов (внешних и внутрен­ них) приводит обычно к быстрому уменьшению амплитуды соб­ ственных колебаний.

К внешним силам сопротивления относятся сопротивление окружающей упругую систему среды, масляного слоя в подшип­ никах и т. д. Внутренние силы сопротивления — это силы вну­ треннего трения в материале. Все эти силы изменяются во времени, а также при изменении деформации упругой системы.

22