Файл: Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 251

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ

При расчете таких систем на вибрацию пользуются методом сил или методом деформаций.

Сущность метода сил заключается в установлении зависимости смещения масс под действием сил инерции этих масс.

На рис. 6 показана невесомая балка с двумя сосредоточенными массами т 1 и т 2. При колебательном движении под действием сил инерции U1u U2 массы смещаются от равновесного положения

Рис. 6. Невесомая балка с двумя сосредоточенными массами т1 и т2

на величину.у 1 и у 2, причем деформации можно выразить через силы Ux и U2 и коэффициенты влияния 8п \

Уі

=

б ц і / ! ~Ь б 12U 2;

 

У2

=

б2іП 1 -f- б22t / 2.

 

В этих уравнениях:

 

 

 

и 1 —— тхах = — т1у1— сила инерции массы

т х (ах — ускорение

массы mj);

 

U2 = — т2а2 = — т2у2— сила инерции массы

т 2 (а2 — ускорение

массы т 2);

 

б„ — смещение массы т х от единичной силы, направленной по ходу смещения массы т 1

иприложенной в точке присоединения массы ту,

б12— смещение массы т х от единичной силы, направленной по ходу смещения массы т 2 и приложенной в точке присоединения массы т 2\

б21— смещение массы т 2 от единичной силы,

направленной по ходу смещения массы т х

и приложенной

в

точке

присоединения

массы т г (причем

б12 == б21);

б22 — смещение массы т 2

от единичной силы,

направленной по ходу смещения массы т 2

и приложенной

в

точке

присоединения

массы т 2.

Таким образом, уравнения движения масс примут вид:

Уі ^ т і&пУі т Фѵ2.У2 — 0;

(18)

Уа + т А ІУ і + Щ б22у2= 0.

23

Выше показано, что груз, закрепленный на невесомой балке, совершает гармонические колебания, поэтому решение системы уравнений (18) имеет вид

Уі — Уѵп cos pt; y2 = y20cospt,

где y 10 и у 20— амплитуды колебания массы

соответственно

т 1

 

и т 2.

 

 

Найдя ух =

—у 10р 2 cos pt, у 2 = —у 20р 2 cos pt и подставляя

эти выражения

в систему (18), получим после сокращения

на

cos pt

 

 

 

 

(1 — m AiP2) Уin — тА ф 2Уы =

 

 

 

— тА іР 2Ую + 0 — m2Ö22p2) Угп =

0.

 

Решая эти уравнения относительно у 10 и у 20 и помня, что ко­ лебательное движение системы имеет место только, когда ампли­ туды у 10 и у 20 не равны нулю, найдем уравнение частот. Условие неравенства нулю у 10 и у 20 выполняется, когда определитель последней системы уравнений равен нулю:

(1 — М и Р 2) — tn,ß12p2

(19)

- тАіР2 (1 — ma522p2)

Отсюда получим биквадратное уравнение с искомой частотой р:

т\т.2 (Ö11Ö22— 612) р4— (шібц -f- m2622) р2 -\- 1 = 0 .

Найдя корни этого уравнения,

Рі

öji + т2622—

(^iön — тф22)2 + 4OTj/n26[2

2тхт2(6U622 — б?г)

 

/

-f- т2б22 +

У т ф п — тФ>2'гУ + 4/n1m2ö

Рі

 

 

У

2/и 1т 2( б ц б 22 — б 12)

 

получим низшую /сі и высшую /с2 частоту собственных колебаний:

С

_. Рі . f __ Р2

/с і

2л ’ ' с2 ~ 2л •

24

Рассмотренный пример показывает, что число собственных частот системы равно числу ее степеней свободы. Числом степеней свободы упругой системы называют количество независимых координат, определяющих положение всех масс системы. Так, при определении частоты колебаний системы с учетом только сосре­ доточенных масс число степеней свободы равно числу сосредото­ ченных масс. Если же при расчете учитывают и распределенную массу, то такая система имеет бесконечное множество степеней свободы.

Колебательному движению двух масс в одном направлении соответствует низшая частота, в разных направлениях — высшая частота (рис. 7).

Рис. 7. Схемы прогиба балки при колебательном движении:

а — обе массы сместились вниз; б — масса т , сместилась вниз, а масса т 2 —

вверх

Уравнение (19), служащее для определения частоты собствен­ ных колебаний упругой системы, называется уравнением частоты или вековым уравнением.

Метод деформаций заключается в установлении зависимости

сил от деформаций (смещений):

 

 

 

У1 = ЯиУі 4~ Я12У2 ИЛИ

— тіу1 = qn iji +

q12y2\

 

 

— Яг\У\ 4~ Я22У2 ИЛИ

М-іУъ — <7гіі/і 4" Я22У2У

где qxx— усилие,

приложенное

к массе т х и вызывающее еди­

 

 

ничное смещение этой массы;

 

<722'— усилие,

приложенное

к массе т 2 и вызывающее еди­

 

 

ничное смещение этой массы;

 

qX2— усилие,

приложенное

к массе т г и вызывающее еди­

 

 

ничное

смещение массы т х,

 

q21 — усилие,

приложенное

к массе т х и вызывающее еди­

 

 

ничное смещение массы т2.

 

Уравнения (20) аналогичны уравнениям (18), поэтому и реше­

ния их одинаковы:

 

 

Рі

 

Л / т ІсІ22 4" m2<?ll — "j/""( m l^22 — т 2<Йі)2

 

 

'

 

2тхт2

'

 

 

/

 

 

 

р2

т 1<?22 “Ъ т 2^Ц 4 - " j/~ (m l<?22 — m 2<?ll)2 "Ь ^m lw 2^12

 

 

2тхтг

 

 

 

 

 

 

25

Сравнивая выражения (18) и (20), найдем связь между б и q:

Яп = ^11^22 — ^12

 

Я22 =

 

^12

 

 

 

 

 

^11^22 ~

 

 

 

 

Я12 — Я21

 

 

12

 

 

 

 

 

бц022— б2

 

 

 

Основную, низшую частоту колебаний балки с несколькими

сосредоточенными массами

можно определить по методу Дон-

 

 

керли.

 

 

 

 

 

 

Суть

метода

Донкерли заклю­

 

 

чается

в

следующем.

 

все

 

 

1.

Отбрасываем

поочередно

 

 

массы, кроме одной, и определяем

 

 

по выведенным выше

формулам ча­

Рис. 8.

 

стоту

колебаний балки с оставленной

Балка с несколькими

массой.

В результате

получим не­

сосредоточенными массами

сколько

критических

скоростей

по

2.

 

числу

сосредоточенных

масс.

 

Зная частоты колебаний отдельных масс,

находим основную

частоту /с собственных колебаний балки с несколькими сосредо­ точенными массами по формуле

На рис. 8 приведена схема с четырьмя сосредоточенными мас­ сами.

В этом случае

, _

 

1

т /

З Е ІІ

 

'1_~ 2л

у

т 1а2(1— а)2'>

, —

 

1

1Г

ЗЕІІ

 

'2

 

2л

У

т 2Ь2( 1—ft)2’

f —

 

1

I Г

ЪЕП

 

' 3 ~

2л

У

т 3с2(/ —с)2’

f = _ L

і /

3£//

 

4

 

2л У т^й2(1—d)2

„

Г

1

,

1 , 1

, 1

V

Т +7Г+1

+7І

26

Этот метод можно использовать и для приближенного опреде­ ления низшей частоты собственных колебаний балки с распределен­ ной массой. В этом случае весомую балку заменяют невесомой, нагруженной сосредоточенными массами, которые равномерно распределены по всей длине балки; сумма всех сосредоточенных масс должна быть равна массе весомой балки. Дальнейший расчет аналогичен рассмотренному выше. При этом следует помнить, что чем больше число сосредоточенных масс, тем точнее результат.

§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССЫ

Выделим участок балки элементарной длины и рассмотрим его равновесие при колебательном движении с использованием прин­ ципа д’Аламбера (рис. 9).

На элемент длиной dx и массой qdx (где q — масса единицы

длины балки) действуют: перерезывающие силы Q и Q -f- -|j- dx;

сила инерции q d x ^ §- и изгибающие моменты М и М -\-- ^ - d x .

Проектируя все силы на ось у, найдем

д2у

~W

Сумма моментов указанных сил относительно левого конца эле­ мента составляет

дМ п

dQ

„ д2у

дх п

V

дх^®^

^ <3/2

"~2~ —

М

а

« * Ѣ

л ,

dx

Q+ Ë dx

Рис. 9. Элемент балки с распределенной массой

Пренебрегая бесконечно малыми слагаемыми 2-го и высшего порядков, получим

■ W - Q -

или

дМ Q дх

Дифференцируя последнее выражение по х

dQ _ д2М

дх дх2

и подставляя полученное значение в исходное уравнение, найдем

При изгибе

Е Ѵ = Е І ^ = М.

После двойного дифференцирования этого выражения получим

д2М

— f f

д2 ( д2у \ — F Г

діу

дх2

~

дх2 \ д х 2 ) ~

дх* '

Следовательно,

Ё І

д*у

= 0

дх4

или

 

 

E ly ™

 

 

(22)

 

 

+ У — 0'.

 

 

 

 

Я

 

 

 

Представим интеграл уравнения (22) в виде произведения двух

функций:

 

 

 

 

 

 

У = Ф Л ,

 

 

(23)

где Ф*— функция,

зависящая только

от х

и

представляющая

 

собой амплитудное смещение;

 

 

4я, — функция, зависящая только от t.

 

 

Продифференцировав выражение (23) дважды по t и четырежды

по X,

найдем

 

 

 

 

 

 

У = Ф*Ъ;

 

 

(24)

 

 

уПѴ] ^ ф ПѴ1^

 

 

(25)

Подставляя полученные соотношения в формулу (22), получим

 

 

+ ~ Ф І І Ѵ ] ^

=

о .

26)

Это выражение состоит из двух уравнений:

 

 

 

Ъ + kl4ft = 0;

 

 

(27)

 

 

ФУ4 — | ф , = °,

 

(28)

где

k 0— круговая

частота свободных

колебаний;

я

Решение уравнения (27) имеет вид

4я, = сх sin k 01]

28

Смотрите также файлы