Файл: Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие.pdf

отсюда

следует, что частота

собственных

колебаний

f

=

k°

‘

/с

2я

Для

определения

k 0 решаем уравнение (28).

Обозначив

-^г =

Р4,

т.

е.

k0 = kp2,

получим

общее решение уравнения (28):

Ф* = А cos рх +

В sin рх +

С ch рх + D sh рх.

(29)

Постоянные А, В, С и D находим для данной схемы закрепле

ния балки длиной I по начальным и граничным условиям.

Для

консольно

закрепленной

..у

балки

постоянного

сечения

при

X — I (рис.

10) УИизг = 0,

Q =

0

/

ог

и,

следовательно,

у" = у'" = 0;

если X

=

0,

то у = у' = 0.

I

Таким

образом,

продифферен­

цировав

уравнение

(29)

трижды

Рис.

ю .

Консольно закрепленная

по X и подставляя х

— 0 и х = I в

балка с

распределенной массой

соответствующую

производную,

найдем

ФX=

— Ар sin рх +

Bp cos рх +

Cp sh рх + Dp ch рх\

(30)

Ф*

• Ар2 cos рх — Bp

sin рх +

Ср2 ch рх -(- Dp2 sh рх\

(31)

Фх = Ар sin рх — Вр3 cos рх -f- Cpâsh рх -f- Dpлch рх,

(32)

где

,

tpx + é~px

,

epx — e~px

ch px =

-----^ ------ ;

sh px =

------ ^------ •

-

Из уравнений (29) и (30)

при х = 0

получим А = —С;

В ~

— D.

получим при х = I

Из выражений (31) и (32)

д _____ g sin pi +

sh pi _

g

cos pl - f ch p l.

cos pl -f- ch pl ~

sin pl — sh pl ’

отсюда

находим уравнение частот

cos pZ-ch pl

=

— 1,

(33)

Рі

_£

•

I

'

f . _

_К_ _

_ ^ L l/Z Z =

2л

~\/JLL

(34)

' с'

2л

2 л /2 V q

К

ml3

’

Рис.

11.

Балка

с

равномерно

распределенной массой, свобод­

но лежащая на концах

где I — порядок

частоты, которому

соответствуют следующие

значения

ар.

і ................

1

2

3

4

а ] .......................

3,32

22,04

61,6

120

цах, находим уравнение частот (рис.

11):

sin pi = 0.

(35)

изведения р(/,

равных:

я;

2я, Зя,

4я, . . .

Следовательно,

где I — длина

балки.

балки

Частота собственных колебаний

г

_

k0 _ л/2 -I Г El

(36)

Iсі ~

"2лГ — ~2~ У ІЫ3 '

Для балки,

заделанной на одном конце и опертой на другом

(рис. 12), уравнение частот

имеет вид

tg pi

= th pi.

(37)

Уравнение

(37) выполняется при p tl,

равном —

^

13я

Т - ’

откуда

Pt =

Сі_.

I ’

Частота собственных

колебаний

hi

А»

кр2і

=

Л Г

=

- іГЕІ

(38)

2я

2я

2я

Г q

2л У

ml3 ’

где / — длина

балки.

/

/

/

/

/

/

1

/

Рис. 12. Балка, заделанная

на

Рис.

13.

Балка

с заделанными

одном конце и опертая

на дру-

концами

гом

2

3

4

5

9я

13я

17я

21я

Т~

4

4

~г~

ch pi cos pi = 1.

(39)

Ниже указаны значения

bt при і

= 1, . .

5:

і .........................

1

2

3

4

5

bi . . . . . . .

1,5я

2,5я

3,5я

4,5я

5,5я

ведливы равенства (при х =

а): Фх = Ф 2

= 0; Ф[

= Ф£;

Ф'і =

= Фг; а поперечные силы отличаются на величину опорной

реак-

У S

ции R:

•R

X

Е І Ф І = Е І Ф ' і + R

(4 1 )

0

X

или

-

1 \A

---------- z \B

a

b

Ф ; = Ф Г + - ^ - .

(4 2 )

7

При общем начале отсчета л:

Рис. 14. Весомая балка постоян­

эти условия

выполняются,

если

ного сечения с равнбмерно распре­

деленной массой, лежащая сво­

ф 2 = Фі +

j ß m

(х — а) ~

бодно на двух опорах с выступаю­

щей консолью

Ь

--sin р(х — а)].

(43)

При X <^а уравнение смещения аналогично выражению (43),

а при і > а

имеет вид

Фх — А 1 cos рх + В х sin рх + С ch рх + D sh рх +

+ N [sh р (х — а) — sin р (х — а) ],

(44)

При л: — 0 имеем Ф* = Ф* = 0, следовательно,

А х = С = 0.

Для определения остальных постоянных В х, D

и N восполь­

зуемся

следующими граничными условиями: Ф* =

0 при

х = а

—В х sin pl +

D sh pi + N

[sh р (I — а) +

sin р (I — а) ] =

0;

—В х cos pi h

D ch pi А- N

[ch p (/ — a) A- cos p (l — a) ] =

0.

Приравнивая определитель этой системы нулю, получим урав­

нение частот:

sh ра

sin ра

0

sh pi

— sin р/

shpb-f-sinpö

= 0 .

(45)

ch pi

— cos pi

ch pb -f- cos pb

Развертывая определитель по элементам первой строки, получим

— sin pi

sh pb -(- sin pb

sh pi

sh pb 4- sin pb

sh,ра — cospi

ch pb -f cos pb

■sin pa ch pi

= 0.

ch pb -f cos pb

(46)