Файл: Лебедев Д.П. Тепло- и массообмен в процессах сублимации в вакууме.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 0
Формулу (1-4) с учетом того, что потенциальная энергия атома, находящегося в газообразной фазе, рав на Uо, перепишем в виде
E l p'
Ve- UolkT
(1-13)
oo
S jj e ~ u W /kTd x
|
—00 |
(интегрирование |
по x производится от —oo до + o o |
ввиду быстрого |
убывания U (х ) с возрастанием откло |
нения Ѣ= Х—Хо). |
|
В результате получим следующее значение для эффективной толщины поверхностного слоя:
8 = |
(1-14) |
Подставляя этот результат в |
(1-10), получаем: |
У = Л - |
(1-15) |
[2п V т
Обозначим:
(1-16)
Очевидно, ѵо представляет собой частоту малых ко лебаний, совершаемых поверхностными атомами около положения равновесия. Тогда
У = / і ' ѵ 0е - І Ѵ И ‘ . |
(1-17) |
Отсюда следует, что
3
(1-18)
п г
представляет собой вероятность испарения какого-либо атома в единицу времени. Величина т=1/сс представляет собой среднюю длительность пребывания поверхностно го атома в связанном состоянии до момента испарения
г = |
т0еUa!kT |
(1-19) |
|
(то= 1/ѵо — период колебаний |
поверхностного |
атома). |
|
Полученные формулы |
для |
плотности потока |
субли |
мирующего вещества представляют большой самостоя тельный интерес, однако непосредственные следствия, которые могут быть получены из этих результатов, так же являются фундаментальными для описания процесса
12
сублимации. Действительно, для вероятности испарения имеем:
а = ѵ0е- и°,кТ. |
(1-20) |
Очевидно, что скорость движения поверхности субли мации твердого тела будет пропорциональна вероятно сти испарения а,
ѵ(Т) — саоГ Ѵо,кт |
(1-21) |
где Со — некоторая характерная скорость, |
зависящая |
только от свойств рассматриваемого твердого тела. Отметим, что единственной такой скоростью являет
ся скорость звука. Таким образом, со по порядку вели чины должна совпадать со скоростью звука, что, кстати, хорошо согласуется с ее физическим смыслом в форму ле (1-21). Действительно, с увеличением температуры в формуле (1-21) скорость движения сублимационного фронта будет стремиться к со, а максимальная скорость распространения возмущений в твердом теле и должна быть порядка скорости звука.
Детальные вычисления дают точное значение для коэффициента в формуле (1-21), зависящее, разумеется, от принятой модели твердого тела. Например, вычисле ния, основанные на модели Эйнштейна [Л. 1-1, 1-3], со гласно которой все нормальные колебания кристалли ческой решетки имеют одну и ту же частоту, в пред положении, что частота ѵо равна дебаевской, дают:
с. = ( ѵ ) І,3г. |
(1-22) |
где с — средняя скорость звука.
Возможны и другие, более точные модели и расчеты, в частности, Со может быть выражено через продольную и поперечную скорости звука, но результат будет по су ществу один и тот же: предэкспоненциальный коэффи циент в формуле (1-21) оказывается с точностью до мно жителя порядка единицы равным скорости звука, а его температурная зависимость оказывается несуществен ной, так как основная, более сильная зависимость от температуры содержится в экспоненте.
С учетом сделанных замечаний получаем окончатель но для скорости движения фазового перехода выражение
v ( t) = c 0e-rAIRT, |
(1-23) |
13
где |
г — теплота сублимации |
(при |
0°К), |
рассчитанная |
на |
единицу массы. Закон |
(1-23) |
дает |
возможность |
по-новому и физически правильно сформулировать теп ловую задачу, описывающую процесс сублимации.
Ограничимся для простоты случаем одномерной за дачи, когда на поверхность тела падает некоторый за данный поток тепла плотностью q (t). Тогда
сР <)Гdz_ =,4 К |
) £ ] : |
(1-24) |
||
дТ_ |
= |
<7(0 — рАhv\ |
(1-25) |
|
' дх |
||||
|
|
|
||
X — I v (i) dt |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
ц ( 0 = с оехр |
|
|
(1-26) |
Остальные — начальное и граничное — условия явля ются обычными, зависят от конкретного вида решаемой
тепловой задачи и |
поэтому |
здесь |
не выписываются. |
|
В уравнении |
(1-25) |
Аh — разность |
удельных энтальпий |
|
твердой и газообразной фаз. |
|
|
||
Следует |
подчеркнуть, что |
приведенная краевая за |
дача, описывающая процесс испарения или сублимации твердого тела, является нелинейной даже при тепло физических коэффициентах с, р, X, не зависящих от тем пературы, из-за связи скорости движения фронта фазо вого перехода с температурой на этом фронте, выражае
мой законом (1-26). |
|
можно перейти к движущей |
|||||
В задаче |
(1-24) — (1-26) |
||||||
ся системе координат |
t |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = x — ^v(t)dt. |
|
(1-27) |
||
Тогда получаем: |
|
о |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
дТ |
д |
Г |
/т^дТ |
I I |
дТ |
|
.. ооч |
Э Г = * |
И |
7 ) * |
|
|
|
С-28) |
|
|
- |
І ж \ =<7(0 — Р^АА; |
|
(1-29) |
|||
|
|
|
|z = 0 |
|
|
|
|
|
|
t>(t)=c0e-rAiRTV’il |
0 |
(1-ЭО) |
14
При постоянных внешних условиях (q = const и т. д.) скорость V(/), определяемая уравнением (1-30), дости гает через некоторое время своего стационарного значе ния, и фронт фазового перехода движется с постоянной скоростью, определяемой из решения задач.
Проблема сублимации имеет особенности, которые отличают ее от классических задач теплопроводности с фазовыми переходами, т. е. от так называемых задач Стефана.
Из-за резкого изменения свойств среды в результате фазового перехода классическая модель оказывается слишком упрощенной. Для адекватного описания про цесса сублимации приходится рассматривать более реальные и, следовательно, более сложные модели, ко торые, естественно, формулируются в виде более слож ных математических задач. Эти задачи сводятся, как было продемонстрировано выше, к рассмотрению нели нейных волновых процессов, описывающих волны фазо вых переходов, т. е. тепловые волны и волны испарения, которые возникают в конденсированной среде (напри мер, лед). В таком случае в твердом теле формируется «волна сублимации», на которой и происходит фазовый переход. Изучение структуры этой волны показывает,
что она |
не описывается обычной задачей |
Стефана, |
а требует |
рассмотрения кинетики фазового |
перехода *. |
Структура волны и ширина фронта определяются зако ном сохранения энергии и уравнениями кинетики и теп лопроводности.
Отметим, что для определения основных величин, определяющих сублимацию и испарение, таких как ко личество сублимированного вещества, температура газа и твердого тела, необходимо решить совместно задачи о теплопроводности в твердом теле, гидродинамическую задачу о движении пара и задачу, кинетики по опреде лению граничных условий на фронте сублимации. Таким образом, вопрос сводится к решению сопряженной за дачи [Л. 1-7].
В большинстве работ, посвященных рассматриваемой проблеме, решается лишь одна из указанных задач, а взамен решения двух других вводятся некоторые пред
положения, |
которые или недостаточно |
обоснованы или1 |
1 Заметим, |
что на основе задачи Стефана |
невозможно правиль |
ное описание объемного процесса испарения (см. гл. 4).
15
верны лишь в некоторых предельных случаях. Например, температурное распределение в твердом теле определя ется, как уже отмечалось, из решения задачи Стефана безотносительно к кинетике и процессам в газовой фазе. Очевидно, это законно лишь, если скорость процесса управляется теплопроводностью и внутренняя энергия пара мала по сравнению с теплотой сублимации В [Л. 1-16] такой подход к задаче обосновывается тем, что принимается во внимание полный скачок энтальпии на поверхности фазового перехода. Массовый поток из твердого тела в газовую фазу определяется при этом, как обычно:
J „ Ро (71о)______Р |
(І-ЗП |
V 2пткТ„ V 2-кткТ |
|
где ро{Т0) — давление насыщенного пара |
при темпера |
туре Г0; р, Т — давление и температура пара вблизи по верхности твердого тела. Однако в (1-31) не ясно, к ка кой точке в газе следует относить значения р и Т.
Иногда при изучении испарения и сублимации под действием потока энергии пренебрегают температурным
скачком на поверхности, хотя ясно, что |
в |
этом случае |
|
не было бы потока энергии из одной фазы в другую. |
|||
Учитывая сказанное, перейдем к рассмотрению газо |
|||
динамической проблемы |
сублимации |
и |
граничных |
условий. |
пара можно |
считать, что |
|
При описании движения |
газ является идеальным с постоянным показателем адиабаты у. При расширении газа в вакуум возникает, волна разрежения. Такие течения хорошо изучены, и их свойства подробно описаны в литературе [Л. 1-2, 1-4].
Если условия на поверхности твердого тела стацио нарны или изменяются достаточно медленно, то вблизи поверхности твердой фазы скорость газа должна быть равна локальной скорости звука. Атомы, вылетающие из твердого тела, будут иметь масквелловское распреде ление по скоростям с температурой, равной температуре поверхности. Следует отметить также, что вблизи по верхности твердой фазы распределение атомов по ско ростям (существенно отличается от однородного, поэтому, для точек вблизи поверхности не имеет смысла говорить
■^-гидродинамических граничных условиях, предполагаю щих локальное равновесие. Равновесное распределение устанавливается на расстоянии нескольких длин свобод ного пробега атома от прверхности, однако, как будет
Ш
показано ниже, параметры этого распределения сущест венно отличаются от значений, соответствующих поверх ности. Чтобы определить эти значения, необходимо ре шить кинетическое уравнение для «негидродинамиче ского слоя» вблизи границы фаз.
Толщина негидродинамического слоя составляет не сколько длин свободного пробега, однако в этой области состояние газа меняется резко. Поэтому обычные методы решения кинетического уравнения Больцмана в этом случае неприменимы. Положение аналогично ситуации в теории сильных ударных волн, и развитые для их изу чения методы [Л. 1-8, 1-10] следует использовать для рассмотрения сильной волны разрежения. Прежде чем переходить к описанию этого метода, напомним некото рые элементарные сведения об уравнении Больцмана.
Состояние атома (молекулы) в классической меха нике задается в любой момент времени его положением и скоростью (или импульсом).
Методы кинетической теории дают возможность пе рейти от движения отдельных атомов в фазовом про
странстве (р, г) к средним движениям множества ато мов. Переход совершается с помощью функции распре-
деления f (г, р, t).
Макроскопические свойства системы атомов можно получить с помощью функции распределения в виде ин тегралов от нее. Очевидно, что интеграл от функции распределения / по всему фазовому пространству систе- 'мы равен числу атомов (молекул):
N = 5 f(p, г) dp dr. |
(1-32) |
Среднее число частиц на единицу объема обычного пространства после умножения на массу отдельной частицы будет равно плотности
(1-33)
Полный средний, импульс, отнесенный к единице
объема, |
■ |
|
(1-34) |
является одновременно вектором потока массы.
2—175 |
Г..... Г*«-публична* |
17 |
Полная кинетическая Энергия равна:
(1-35)
и т. д.
Итак, макроскопические величины, описывающие со
стояние системы, выражаются через одночасгичную
*+ —^
функцию распределения f(r, р, і).
Для ее определения служит кинетическое уравнение Больцмана [Л. 1-18]:
(1-36)
Конкретный вид столкновительного члена (df/dt)CT зависит от принятой модели газа и учета различных взаимодействий.
Перейдем к описанию метода решения кинетического уравнения для сильной ударной волны (и его модифи кации для сильной волны разрежения).
Функция распределения представляется в виде су перпозиции равновесных распределений перед ударной волной и за ней с коэффициентами, зависящими от коор динат. В качестве физического основания для такого выбора вида функции распределения можно указать на малую ширину неравновесной зоны, благодаря чему внутри этой зоны имеется много молекул, которые отно сятся к равновесным распределениям впереди и сзади этой области. Уравнение Больцмана приводится к диф ференциальному уравнению вариационным методом или методом моментов [Л. 1-8, 1-10].
В соответствии с изложенным запишем следующее выражение для функции распределения:
где
(1-38)
Р/- Й у* < 0 ;
(У* —«i)2|+ v2y + Ѵ2 1
• т у
(1-39)
18