на выходе устройства обнаружения может быть значительно выше, чем на его входе. Для каждого сигнала определенной формы суще ствует некоторая оптимальная преобразующая система (оптимальный фильтр), обеспечивающая максимум отношения сигнал/шум.
Пусть на входе линейной преобразующей системы, имеющей амплитудно-фазовую ^характеристику
Я(/со) = Я(со)е''ф («», воздействует смесь сигнал плюс шум
Полезный сигнал и его спектр предполагаются известными
Энергетическая спектральная плотность шума WBX (со) также известна. Поскольку преобразующая система предполагается линей ной, на выходе имеется
|
y(t) |
= |
cBUX(t)+mBWi(t), |
|
г Д е |
Свых (0 -~ полезный |
сигнал |
на выходе; |
|
1ПВЫХ (t) — случайный шум на выходе. |
|
В |
соответствии с этим |
имеем: |
|
|
С в ь , х (О = - ~ J К |
(/со) SBX (/со) е/«< |
cfe; |
|
|
- ОО |
|
|
|
|
СО |
|
|
|
(0 = |
- ^ г J I ^ (/«>) I2 WBX |
(о) Jco, |
где Жвых (0 — среднеквадратичное значение шума на выходе. Определим отношение сигнал/шум по мощности на выходе си
стемы для некоторого момента времени t0
со
J К (/со) SBX (/со) е 1 ш dco
-оо
:(*о) °°
| X (/СО) |2 WBX (СО) dco
- оо
При заданных значениях SBX (/со) и WBX (со) существует, оче видно, некоторое значение Копт (/со), при котором отношение сиг нал/шум имеет максимум.
Это имеет место при
*опЛ/») = ^ ^ е - / » Ч |
(332) |
где 5 В Х |
(—/со) — комплексно-сопряженный спектр |
сигнала; |
|
|
а — постоянная. |
|
|
|
При |
этом |
со |
|
|
|
|
|
|
|
( С ) |
« Г |
|
(333) |
|
\Ш Ушах |
2Я J W B X ( w ) |
V |
' |
|
|
- оо |
|
|
Таким образом, амплитудно-фазовая характеристика оптималь ного фильтра полностью определяется спектром сигнала и энергети ческой спектральной плотностью шумов. Если шумы имеют нормаль ное распределение (белый шум), энергетическая спектральная плот ность шумов от частоты не зависит WBX (со) = const = а и получен ные выше выражения принимают вид:
# о п т (У») = aSwB(jJ^ |
е " / М ' ° = * в х ( - Н е - / и '°; |
|
оо |
|
- оо |
Поскольку
5 и ( - ^ ) = 4 ( и ) е - ' ' » с ( » )
и
где А (со)
Рк
где
При этом
оо
\Sm{j<o)\*<to = P„
-оо
—амплитудный спектр сигнала;
—мощность сигнала на входе,
Копт (/со) = А (со) е - 7 [ щ '° Ь ф с ( f t »l = |
Я о п т (со)еЛ> <«>, |
# о п т (А») = -4 (СО); ф (СО) = — |
[СО^о + ф с ( © ) ] . |
( ^ " ) m a x = i > C - |
|
Это говорит о том, что амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра и амплитудный спектр сигнала имеют один и тот же вид, т. е. они согласованы между собой. Поэтому оптималь ные фильтры, обеспечивающие максимум отношения сигнал/шум,
часто |
называют согласованными |
фильтрами. |
Полное |
соответствие |
А (со) |
= К (со) приводит к тому, |
что фильтр |
хорошо |
пропускает |
составляющие сигнала с высоким уровнем и ослабляет те составля ющие, уровень которых относительно мал. Максимальное отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра зависит от отношений полной мощности входного сигнала и энергетической плотности шума на входе.
Фазово-частотная характеристика оптимального фильтра опреде ляется как ф (со) = —[(£>t0 + ф с (со)], поэтому в момент времени t
на выходе оптимального фильтра составляющая сигнала на частоте со имеет мгновенную фазу
\|Э (t) = |
(Ot + |
фс (со) + |
|
ф(со) = |
a>t + срс (со) — фс (со) — at0 = со (t — 1 0 ) . |
При |
t = |
t0 |
if) (t) |
= |
0 |
независимо от частоты. Таким образом, |
в момент |
времени t |
= |
tQ |
все |
спектральные составляющие сигнала |
имеют одну и ту же нулевую фазу, в результате чего на выходе появляется пик. В то же время фазы спектральных составляющих случайного шума на выходе оптимального фильтра хотя и изменяются, но случайный характер их распределения не изменяется. Поэтому вероятность того, что на выходе составляющие шума сложатся в од ной фазе, образуя выброс шума, примерно та же, что и вероятность образования пика шумов на входе.
Сигнал па выходе оптимального |
фильтра |
со |
|
|
Свых (0 = 4Г J К |
5 |
« « W е''т d(° = |
-со |
|
|
со |
ш (t''o)s°* №>da> = |
= 2Н5 «( ~ е / |
-со
со
=2 ^ { |5B X (/co)|2 e^('-'»)dco.
-co
Это выражение представляет собой автокорреляционную функ цию входного сигнала, смещенного на время tQ. Оптимальный фильтр считается физически осуществимым, если его импульсная реакция g (t) — отклик на единичный импульс б (t) — удовлетворяет условию
Кроме того, сигнал CD X (t) при t = t0, при котором должен наблю даться максимум выходного сигнала С в ы х (I), должен быть равен нулю. Если эти условия не соблюдаются, например момент времени t0, в который сигнал достигает максимума, задается таким образом, что Свк (t) Ф О, то такой согласованный фильтр физически неосуще ствим.
То, что согласованный фильтр выдает выходной сигнал в виде автокорреляционной функции входного сигнала, не случайно, по скольку автокорреляционная функция является отображением сте пени подобия и взаимозависимости отдельных составляющих некото рого процесса. Если процесс случаен, то степень подобия отдельных участков мала и автокорреляционная функция сравнительно быстро затухает. Функция автокорреляции непериодического сигнала конечной длительности отображает взаимосвязь отдельных участков сигнала и проявляется в большей или меньшей степени ярко. В слу-
чае периодических сигналов автокорреляционная функция носит периодический характер. Это замечательное свойство автокорреля ционной функции используется для обнаружения периодических сигналов, спектр которых неизвестен.
Автокорреляционная функция стационарного случайного про цесса определяется в виде
Ф ц ( т ) |
= Н т - ^ г |
г |
|
\x{t)x(t |
+ x)dt |
или |
Т |
|
|
|
|
|
Ф и ( т ) = |
Н т - ^ г |
\x{t)x(t-%)dt, |
|
Т+оо 1 1 _J T |
|
|
Оба выражения равнозначны в силу четности автокорреляцион ной функции
Фи (т) = Ф ц ( - т ) .
Автокорреляционная функция любого случайного процесса при достаточно больших временных сдвигах стремится к квадрату его среднего значения. Для большинства случайных шумов квадрат среднего значения равен нулю и, следовательно, при
Тоо и т -У оо Ф11(х) -У 0.
Автокорреляционная функция |
периодического |
процесса |
|
|
|
|
оо |
|
|
x(t+nTt) |
= |
2 С*е'*<м, |
|
где Т1 — период; |
|
|
Л—оо |
|
|
|
|
гармоники, может быть предста |
со! — круговая частота первой |
влена в |
виде |
Т |
оо |
оо |
|
|
|
|
Фи (т) = |
H m J L |
J |
^ С*е/*<м ^ С ^ |
{t~x)dt = |
|
T " > c o |
-Tft=-oo |
ft=-oo |
|
|
= |
|
oo |
|
(334) |
|
2^i\Ck\icosk(M1x. |
|
|
|
fc-i |
|
|
Таким образом, автокорреляционная функция периодического процесса сама является периодической функцией и каждая ее гармо ника имеет амплитуду, равную квадрату удвоенной амплитуды соот ветствующей гармоники входного сигнала. Однако автокорреляцион ная функция не содержит никаких сведений о фазовых углах гармо ник и воспроизводится в измененном масштабе времени, так как зависит не от времени t, а является функцией временного сдвига т. Поэтому при автокорреляционном способе обнаружения происходит искажение формы сигнала.
Пусть на вход коррелятора воздействует смесь периодического сигнала и случайного шума
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
= C{t) + m(t). |
|
|
(335) |
Найдем функцию |
автокорреляции |
воздействия |
х |
(t) при |
Т-> ° о |
|
|
W |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
Фп |
= I F |
[С (0 + |
Ж (01 [С (t - т) + Ш |
|
т)1 dt = |
|
|
|
|
г т |
с - гJ |
|
|
т |
(t - |
+ |
|
|
|
= |
- й |
1 |
( 0 С ( « - т ) Л - т - 1 г [ c(t)m(t~x)dt |
|
|
|
|
|
|
-т |
|
|
|
-т |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
jrJf\m(t)iii(t-T)dt |
|
+ -±\iii{t)C{t-T)dt |
|
= |
|
|
|
|
|
|
-т |
|
|
|
-т |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Ф с с |
(т) + Ф с ш (т) + |
Ф ш ш (т) + Ф ш с |
(т). |
(336) |
Поскольку сигнал и шум статистически независимы, функции |
взаимной корреляции шум/сигнал и сигнал/шум |
равны |
нулю: |
Фшс = |
О, Ф с ш |
= |
0. |
Поэтому |
автокорреляционная |
функция |
воздей |
ствия |
определится |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф„(т) = |
Фс с (т) + Ф ш ш ( т ) . |
|
|
|
Автокорреляционная функция случайного шума является моно тонно затухающей и убывает практически до нуля, когда значение т достаточно велико. При этом, однако, автокорреляционная функция периодического сигнала отлична от нуля, что позволяет обнаружи вать периодические сигналы.
Взаимно-корреляционная функция двух процессов определяется
как |
т |
|
|
|
Ф 1 2 ( т ) = l i m - L |
f x1(t)x2(t-x)dt |
(337) |
Т-оо |
J T |
|
и является мерой их взаимосвязи.
Для двух совершенно независимых случайных процессов взаимнокорреляционная функция постоянна и равна произведению их сред них значений. Если одно из средних значений равно нулю, то и функ ция взаимной корреляции также равна нулю. Взаимно-корреляцион ные способы обнаружения обычно применяются в тех случаях, когда точно известна основная частота периодического сигнала или пере датчик и приемник сигналов расположены в одном и том же месте, так что имеется чистый сигнал. Это имеет место во многих геофизи ческих методах, применяющих периодические искусственные поля (электроразведка на переменном токе, акустический и индукционный
