ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 5
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Формулы сокращенного умножения:
Квадрат суммы
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Квадрат разности
(a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
Разность квадратов
a
2
– b
2
= (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
Куб разности
(a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
Сумма кубов
a
3
+ b
3
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
)
Разность кубов
a
3
– b
3
= (a – b)( a
2
+ ab + b
2
)
Арифметическая прогрессия
Последовательность, у которой задан первый член a
1
, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:
a
n+ 1
= a
n
+ d, где d – разность прогрессии.
a
n
= a
1
+ d(n –
1)
a
n
= a
k
+ d(n – k)
2a
n
= a
n-1
+ a
n+1
a
n
+ a
m
= a
k
+ a
l
,
если
n + m = k + l
1 2
n
a
a
S
n
n
+
=
1 2
(
1)
2
a
d n
S
n
n
+
−
=
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b
1
≠ 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называется геометрической прогрессией:
b
n+ 1
= b
n
q
, где q – знаменатель прогрессии.
b
n
= b
1
q
n – 1
b
n
= b
k
q
n – k
b
n
2
= b
n-1
b
n+1
b
n
b
m
= b
k
b
l
,
если n + m = k
+ l
q
n
q
b
n
S
−
−
=
1
)
1
(
1
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
q
b
S
−
=
1 1
Степень
Определение a
a a
a a
n
⋅
⋅
⋅
=
, если n – натуральное число a – основание степени, n - показатель степени
1 0
=
a a
a
=
1
m n m
n a
a
=
n n
a a
1
=
−
Формулы m
n m
n a
a a
+
=
⋅
( )
n n
n b
a b
a
⋅
=
⋅
m n
m n
a a
a
−
=
n n
n b
a b
a
=
Арифметический квадратный корень
Определение
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - (
a
)
- называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
( )
a a
=
2
a
a
=
2
b
a
b
a
⋅
=
⋅
b a
b a =
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.
( )
a a
k k
=
a a
k k
=
k k
k b
a b
a
⋅
=
⋅
k k
k b
a b
a
=
( )
k m
m k
a a
=
k k
a a
1
=
Квадратное уравнение:
ax
2
+ bx + c = 0
Дискриминант:
D = b
2
– 4ac
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение: x
2
+ px + q = 0
x
1
+ x
2
= - p
x
1
⋅ x
2
= q
x
1
+x
2
= -b/a x
1
⋅ x
2
= c/a
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число
, обозначаемое b
a log
, что
b
a
b
a
=
log
a - основание логарифма (a > 0, a ≠ 1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
Десятичный логарифм: b
b
10
log lg
=
Натуральный логарифм: b
b e
log ln
=
где e = 2,71828
Формулы
0 1
log
=
a
1
log
=
a
a
( )
c
b
c
b
a
a
a
log log log
+
=
⋅
c
b
c
b
a
a
a
log log log
−
=
b
n
b
a
n
a
log log
⋅
=
b
m
b
a
a
m
log
1
log
=
a b
b c
c a
log log log
=
a b
b a
log
1
log
=
b
a
b
a
=
log
a
b
c
c
b
a
log log
=
Дроби
Сложение
Деление с остатком:
d
b
b
c
d
a
d
c
b
a
⋅
⋅
+
⋅
=
+
Вычитание
d
b
b
c
d
a
d
c
b
a
⋅
⋅
−
⋅
=
−
Умножение
d
b
c
a
d
c
b
a
⋅
⋅
=
⋅
Деление
c
b
d
a
c
d
b
a
d
c
b
a
⋅
⋅
=
⋅
=
:
Составная дробь
b
a
b
m
b
a
m
+
⋅
=
Делимость натуральных чисел:
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы.
Десятичные числа:
Стандартный вид: 317,3 = 3,173⋅ 10
2
; 0,00003173 = 3,173
⋅ 10
-5
Форма записи:
3173 = 3
⋅ 1000 + 1⋅ 100 + 7⋅ 10 + 3
Модуль
Формулы Определение
•
x ≥ 0
•
x - y ≥ x - y
<
−
≥
=
0
,
0
,
x
если
x
x
если
x
x
•
-x=x
•
x
⋅
y
= x ⋅ y
•
x ≥ x
•
x : y =x : y
•
x + y ≤ x + y
x
2
= x
2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a
≤
b), a > b (a
≥
b)
=
<
⇔
≤
b
a
b
a
b
a
Основные свойства:
a
b
b
a
>
⇔
<
c
a
c
b
и
b
a
<
⇔
<
<
c
b
c
a
b
a
+
<
+
⇔
<
bc
ac
с
и
b
a
<
⇔
>
<
0
bc
ac
с
и
b
a
>
⇔
<
<
0
d
b
c
a
d
с
и
b
a
+
<
+
⇔
<
<
Модуль: уравнения и неравенства
1.
∅
∈
⇒
>
−
=
=
⇒
=
±
=
⇒
>
=
x
k
k
x
f
c
x
f
x
f
b
k
x
f
k
k
x
f
a
)
0
(
)
(
)
0
)
(
0
)
(
)
)
(
)
0
(
)
(
)
2.
0
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
≤
⇔
−
=
≥
⇔
=
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
3.
k
ay
y
x
f
y
Замена
k
x
f
a
x
f
k
x
af
x
f
=
+
⇒
=
=
+
⇒
=
+
2
)
(
:
2
)
(
)
(
)
(
2
)
(
4.
(
) (
)
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
=
+
⋅
−
⇒
=
⇒
=
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
5.
(
) (
)
0
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
<
+
⋅
−
⇒
<
⇒
<
k
x
f
k
x
f
k
x
f
k
x
f
Периодическая дробь
990 31 3173
)
73
(
1
,
3 1737373
,
3
−
=
=
Правило:
99000
)
(
,
abcde
abcdefg
fg
cde
ab
−
=
Признаки делимости чисел:
Процент
ы
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа.
1%A = 0,01A
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
%
100
⋅
=
⇒
B
A
x
B
-
100%
A
- x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на
25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1)
A
1
= (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2)
A
2
= (100% - 25%)A
1
=75%A
1
= 0,75A
1
= 0,75
⋅1,2A = 0,9A
= 90%A
3)
A
1
– A = 90%A – 100%A = -10%A
⇒
Ответ: уменьшилось на 10%. Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
t
v
S
v
S
v
S
v
S
t
v
S
t
%
80 8
,
0 25
,
1 1
25
,
1 1
1
=
=
=
=
=
⇒
=
⇒
Ответ: уменьшится на 20%
t
v
S
v
S
v
S
v
S
t
v
S
t
%
80 8
,
0 25
,
1 1
25
,
1 1
1
=
=
=
=
=
⇒
=
⇒
Ответ: уменьшится на 20%
Среднее арифметическое, геометрическое
Среднее арифметическое:
n
a
a
a
a
n
+
+
+
+
3 2
1
Среднее геометрическое
:
k
k
a
a
a
⋅
⋅
⋅
2 1
Уравнение движения
Пусть
)
(t
S
- уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения.
Тогда:
( ) ( )
( ) ( )
t
v
t
a
t
S
t
v
′
=
′
=
;
, где
v
– скорость,
a
- ускорение.
Определенный интеграл
( )
( ) ( )
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
−
=
∫
Первообразная элементарных функций
№ f(x)
F(x)
№ f(x)
F(x)
1
k
C
kx
+
6
x
2
cos
1
C
tgx
+
2
n
x
C
n
x
n
+
+
+
1 1
7
x
2
sin
1
C
ctgx
+
−
3
x
1
C
x
+
ln
4
x
sin
C
x
+
− cos
8
x
e
C
e
x
+
5 cos
C
x
+
sin
9
x
a
C
a
a
x
+
ln
Правила вычисления первообразной функции
Определение:
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если
( ) ( )
x
f
x
F
=
′
Функция
Первообразная
( )
x
f
k
⋅
( )
x
F
k
⋅
( )
( )
x
f
x
f
2 1
+
( )
( )
x
F
x
F
2 1
+
(
)
b
ax
f
+
(
)
b
ax
F
a
+
1
Правила вычисления производной функции
2
v
v
u
v
u
v
u
′
⋅
−
⋅′
=
′
(
)
u
C
u
C
′
⋅
=
′
⋅
(
)
'
'
'
v
u
v
u
+
=
+
Сложная функция:
( )
(
)
'
'
x
f
y
x
f
y
ϕ
ϕ
ϕ
⋅
=
′
⇒
=
( )
v
u
v
u
v
u
′
⋅
+
⋅
′
=
′
⋅
Производные элементарных функций
№
Функ ция
Произво дная
№
Функ ция
Произво дная
1 n
x
1
−
n nx
6 x
e x
e
2 x
sin x
cos
7 x
a a
a x
ln
3 x
cos x
sin
−
8 x
ln x
1 4 tgx x
2
cos
1 5 ctgx x
2
sin
1
−
9 x
a log a
x ln
1
⋅
Равносильные уравнения:
Исходное уравнение
Равносильное уравнение (система)
)
(
)
(
x
g
x
f
=
⇔
C
x
g
C
x
f
+
=
+
)
(
)
(
0
)
(
)
(
=
⋅ x
g
x
f
⇔
=
=
0
)
(
0
)
(
x
g
x
f
0
)
(
)
(
=
x
g
x
f
⇔
≠
=
0
)
(
0
)
(
x
g
x
f
0
)
(
)
(
2 2
=
+
x
g
x
f
⇔
=
=
0
)
(
0
)
(
x
g
x
f
Числовые множества:
Натуральные числа
N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа
Z = N
∪
{ 0; -1; -2; -3; …}
Рациональные числа
Q = Z
∪
−
−
;
3 1
;
3 1
;
2 1
;
2 1
Действительные числа
R = Q
∪
{
}
..;
14
,
3
.;
;
3
;
2
=
π
д
т
и
Признак
Пример
На 2
Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой
…….6
На 4
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4.
……1 2
На 8
Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8.
…..10 4
На 3
Числа, сумма цифр которых делится на 3.
57061 2
На 9
Числа, сумма цифр которых делится на 9.
35945 1
На 5
Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.
…….5
На 25
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25.
……7 5
На 10
Числа, оканчивающиеся нулём.
……0
Если
D < 0
D = 0
D > 0 то уравнение не имеет корней имеет один корень имеет два корня
x
∈∅
x
1
x
1
; x
2
Формула
деления с остатком:
n =
m
⋅
k + r, где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0
≤
r < m
Пример:
Любое число можно представить в виде:
n = 2k + r
, где r = {0; 1} или n = 4k + r, где r = {0; 1;
2; 3}
0
)'
(
=
C
Тригонометрия
Основные триг. формулы
1
cos sin
2 2
=
+
α
α
⇒
α
α
2 2
cos
1
sin
−
=
α
α
2 2
sin
1
cos
−
=
α
α
α
cos sin
=
tg
α
α
α
sin cos
=
ctg
⇒
1
=
⋅
α
α ctg
tg
α
α
2 2
cos
1 1
=
+ tg
α
α
2 2
sin
1 1
=
+ ctg
Формулы суммы функций
2
cos
2
sin
2
sin sin
β
α
β
α
β
α
−
+
=
+
2
sin
2
cos
2
sin sin
β
α
β
α
β
α
−
+
=
−
2
cos
2
cos
2
cos cos
β
α
β
α
β
α
−
+
=
+
2
sin
2
sin
2
cos cos
β
α
β
α
β
α
−
+
−
=
−
(
)
β
α
β
α
β
α
cos cos sin
+
=
+ tg
tg
(
)
β
α
β
α
β
α
cos cos sin
−
=
− tg
tg
Формулы суммы аргументов:
(
)
β
α
β
α
β
α
sin cos cos sin sin
+
=
+
(
)
β
α
β
α
β
α
sin cos cos sin sin
−
=
−
(
)
β
α
β
α
β
α
sin sin cos cos cos
−
=
+
(
)
β
α
β
α
β
α
sin sin cos cos cos
+
=
−
(
)
β
α
β
α
β
α
tg
tg
tg
tg
tg
−
+
=
+
1
(
)
β
α
β
α
β
α
tg
tg
tg
tg
tg
+
−
=
−
1
Формулы произведения функций
(
)
(
)
(
)
β
α
β
α
β
α
+
−
−
=
cos cos
2 1
sin sin
(
)
(
)
(
)
β
α
β
α
β
α
+
+
−
=
cos cos
2 1
cos cos
(
)
(
)
(
)
β
α
β
α
β
α
+
+
−
=
sin sin
2 1
cos sin
Формулы половинного аргумента
2
cos
1 2
sin
2
α
α
−
=
2
cos
1 2
cos
2
α
α
+
=
α
α
α
α
α
sin cos
1
cos
1
sin
2
−
=
+
=
tg
Формулы двойного аргумента
α
α
α
cos sin
2 2
sin
=
α
α
α
α
α
2 2
2 2
sin
2 1
1
cos
2
sin cos
2
cos
−
=
−
=
−
=
α
α
α
2 1
2 2
tg
tg
tg
−
=
Формула дополнительного угла
(
)
ϕ
α
α
α
+
+
=
+
sin cos sin
2 2
b
a
b
a
где
2 2
sin
b
a
b
+
=
ϕ
2 2
cos
b
a
a
+
=
ϕ
Определение тригонометрических функций
Универсальная подстановка
α
α
α
2 1
2 2
sin
tg
tg
+
=
α
α
α
2 2
1 1
2
cos
tg
tg
+
−
=
Свойства тригонометрических функций
Функ ция
Свойства
Область определения
Множес тво значени й
Четность- нечетность
Период
cosx
(
)
∞
∞
−
∈
;
x
[
]
1
;
1
−
cos(-x)= cosx
2π
sinx
(
)
∞
∞
−
∈
;
x
[
]
1
;
1
−
sin(-x)= -sinx
2π
tgx
Z
n
n
x
∈
+
≠
,
2
π
π
(
)
∞
∞
− ;
tg(-x)= -tgx
π
ctgx
Z
n
n
x
∈
≠
,
π
(
)
∞
∞
− ;
ctg(-x)= -ctgx
π
Тригонометрические уравнения
Косинус:
n
x
x
π
π
+
=
⇒
=
2 0
cos
n
x
x
π
2 1
cos
=
⇒
=
n
x
x
π
π
2 1
cos
+
=
⇒
−
=
Z
n
n
a
x
a
x
∈
+
±
=
⇒
=
,
2
arccos cos
π
Уравнения с синусом
Частные формулы:
n
x
x
π
=
⇒
= 0
sin
n
x
x
π
π
2 2
1
sin
+
=
⇒
=
n
x
x
π
π
2 2
1
sin
+
−
=
⇒
−
=
Общая формула:
( )
Z
n
n
a
x
a
x
n
∈
+
−
=
⇒
=
,
arcsin
1
sin
π
Уравнения с тангенсом и котангенсом
Z
n
n
arctga
x
a
tgx
∈
+
=
⇒
=
,
π
Z
n
n
arcctga
x
a
ctgx
∈
+
=
⇒
=
,
π
Формулы обратных триг функций
2
arccos arcsin
π
=
+
x
x
2
π
=
+arcctgx
arctgx
Если 0 < x ≤ 1, то
arccos(-x) =
π -
arccosx
arcsin(-x) = - arcsinx
Если x > 0 , то
arctg(-x) = - arctgx
arcctg(-x) =
π - arcctgx
Обратные триг функции
Функция
Свойства
Область определения
Множество значений
arccosx
[
]
1
;
1
−
[0;
π]
arcsinx
[
]
1
;
1
−
[-
π/2; π/2]
arctgx
(
)
∞
∞
− ;
(-
π/2; π/2)
arcctgx
(
)
∞
∞
− ;
(0;
π)
α
1 0
-
β
0
90
0
180
0
270
0
cos
α cos
β
0
-
1
0
0
90
0
180
0
270
0
α
β sin
β sin
α
0
-
1
90
0
180
0
270
0
α
β tg
β tg
α
0
-
1
0
0
180
0
270
0
α
β ctg
β ctg
α
α
α
α
cos sin
=
tg
α
α
α
sin cos
=
ctg
α
α
2α
вписанные углы
центральный
угол
Геометрия
Теорема косинусов, синусов
Теорема косинусов:
γ
cos
2 2
2 2
⋅
⋅
⋅
−
+
=
b
a
b
a
c
Теорема синусов:
R
c
b
a
2
sin sin sin
=
=
=
γ
β
α
Площадь треугольника
a
h
a
S
⋅
=
2 1
(
)(
)(
)
c
p
b
p
a
p
p
S
−
−
−
=
γ
sin
2 1
⋅
⋅
=
b
a
S
R
abc
S
4
=
r
p
S
⋅
=
Средняя линия
Средняя линия – отрезок, с
соединяющий середины двух с сторон треугольника.
Средняя линия параллельна т
третьей стороне и равна е её половине:
b
n
b
2 1
=
Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного
Равносторонний треугольник
треугольник, у которого все стороны равны.
Все углы равны 60
0
Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.
Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
Радиусы окружностей:
3 3
;
6 3
a
R
a
r
=
=
Площадь
4 3
2
a
S
=
Равнобедренный треугольник
треугольник, у которого две стороны равны.
1.
Углы, при основании треугольника, равны
2.
Высота, проведенная из вершины, является б
биссектрисой и медиан
Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора:
2 2
2
b
a
c
+
=
Площадь: b
a
S
⋅
=
2 1
Тригонометрические соотношения:
a b
tg c
b c
a
=
=
=
α
α
α
;
sin
;
cos
Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Радиусы окружностей:
2
;
2
c
R
c b
a r
=
−
+
=
Высота, опущенная на гипотенузу:
c
b
c
a
b
a
c
b
a
c
b
c
a
h
=
⋅
=
⋅
=
2
;
Катеты:
c
b
b
c
a
a
c
c
⋅
=
⋅
=
;
Основные соотношения в треугольнике
Неравенство треугольника:
a + b > c; a + c > b; b + c > a
Сумма углов:
α + β + γ = 180 0
Против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Против равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны.
Биссектриса
Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.
•
Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: a
b
: a
c
= b : c
•
Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.
•
c
b
a
a
c
b
w
⋅
−
⋅
=
Конус
H
R
V
2 3
1
π
=
L
R
бок
S
π
=
S
бок.
=
πR(R+L)
Усеченный конус
)
2 2
2 1
2 1
(
3 1
R
R
R
R
H
V
+
+
=
π
L
R
R
бок
S
)
(
2 1
+
=
π
Вписанная окружность
•
Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.
•
Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой:
a + b = c + d
Описанная окружность
Касательная, секущая
•
•
Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.
•
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
•
Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная.
•
Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой:
γ
φ
β
α
+
=
+
Длина окружности, площадь
Хорда
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
•
Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
•
В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.
•
Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:
MD
CM
MB
AM
⋅
=
⋅
Шар
3 3
4
R
V
π
=
2 4 R
бок
S
π
=
Шаровой сектор
H
R
V
2 3
2
π
=
2 2
H
RH
R
бок
S
−
=
π
Шаровой сегмент
RH
S
π
2
=
)
3
(
3 1
2
H
R
H
V
−
=
π
Центральный, вписанный угол
Сектор
Касательная, секущая
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.
( ) ( ) ( ) ( )
OC
AC
OB
AB
⊥
⊥
AC
AB
=
2
AB
AK
AP
AN
AM
=
⋅
=
⋅
Призма
H
осн
S
V
⋅
=
прямая
призма
Цилиндр
RH
бок
S
π
2
=
H
R
V
2
π
=
Медиана
Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
•
Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).
•
Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.
(
)
2 2
2 2
2 2
2 3
2 2
2 2
1
a
c
b
a
m
m
m
a
a
c
b
m
−
+
=
−
+
=
Правильная пирамида
Правильная пирамида
пирамида, у которой в основании и
правильный многоугольник, а вершина с м проецируется в центр основания.
М
Все боковые рёбра равны между м
м собой и все боковые грани – равные м равнобедренные треугольники.
,
2 1
;
3 1
h
P
бок
S
H
осн
S
V
⋅
=
⋅
=
Усеченная пирамида
H
P
P
S
)
(
2 1
2 1
бок
+
=
)
(
3 1
2 1
2 1
S
S
S
S
V
⋅
+
+
=
A
B
C
a b c
α
β
γ
a
h
a
a
b
c
a
b
γ
A
B
C
a
b
c
n
b
a
b
b
a
b
a
c
–
проекция катета
α
b
c
h
A
B
C
a
b
c
w
a
c
a
b
H
R
R
R
H
куб
3
a
V
=
O
a
b
c
d
O
O
O
O
α
β
φ
γ
R d хорда дуга диаметр радиус
O
Длина окружности:
R
d
l
⋅
=
⋅
=
π
π
2
Площадь круга:
2
R
S
⋅
=
π
A
B
C
D
M
H
R
H
R
O
A
B
α
Сектор – часть круга, ограниченная двумя его радиусами.
Длина дуги сектора:
0 180
α
πR
l
=
Площадь сектора:
0 2
360
α
π
R
S
=
O
K
A
B
C
N
M
P
A
B
C
a
b
c
m
Скалярное произведение
b
a
b
a
b
a
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
+
+
=
⋅
⋅
=
⋅
α
cos
a
b
b
a
−
Скалярное произведение
Сумма, разность векторов
)
;
;
(
)
;
;
(
)
;
;
(
)
;
;
(
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
a
a
a
z
z
y
y
x
x
b
a
z
z
y
y
x
x
b
a
z
y
x
b
и
z
y
x
a
−
−
−
=
−
+
+
+
=
+
Углы на плоскости
Перпендикулярность, коллинеарность
Перпендикулярные вектора:
0
=
⋅
⇔
⊥
b
a
b
a
Коллинеарные вектора:
b
a
b
a
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
λ
λ
=
⇔
=
=
=
⇔
Координаты вектора
Координаты вектора:
k
z
j
y
i
x
a
z
y
x
a
a
a
a
a
a
a
+
+
=
⇔
)
;
;
(
Длина вектора:
2 2
2
a
a
a
z
y
x
a
+
+
=
Умножение вектора на число:
)
;
;
(
a
a
a
z
y
x
a
λ
λ
λ
λ
=
Свойства прямых и плоскостей
(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.
SO
– расстояние от точки S до плоскости (ABCD).
α
– двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).
Теорема о трёх перпендикулярах:
( ) ( ) ( ) (
)
OM
AB
SM
AB
⊥
⇔
⊥
Функция
Значения
0
0
0
π
6
30
0
π
4
45
0
π
3
60
0
π
2
90
0
cosx
1
2 3
2 2
2 1
0
sinx
0
2 1
2 2
2 3
1
tgx
0
3 3
1
3
-
ctgx
-
3
1
3 3
0
Выпуклый четырёхугольник
Произвольный выпуклый четырёхугольник:
Сумма всех углов равна 360
0
Площадь:
ϕ
sin
2 1
2 1
⋅
⋅
=
d
d
S
Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.
Сторона правильного n–угольника:
n
R
a
n
0 180
sin
2
=
Площадь правильного n–угольника:
n
n
R
S
r
P
S
n
n
n
0 2
360
sin
2 1
;
2 1
⋅
⋅
=
=
Произвольный выпуклый многоугольник
Произвольный выпуклый многоугольник:
Сумма всех углов равна
(
)
(
)
2 180 2
0
−
−
n
или
n
π
Число диагоналей:
( )
3 2
1
−
⋅ n
n
Трапеция
Трапеция:
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна:
2
b
a
n
+
=
Площадь:
nh
h
b
a
S
=
+
=
2
Квадрат
Квадрат:
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.
Диагональ квадрата
2
a
d
=
Площадь:
2 2
2 1
d
a
S
=
=
Ромб
Ромб:
Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.
Диагональ ромба является его осью симметрии.
Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами углов.
Площадь:
2 1
2 1
d
d
S
⋅
=
Параллелограмм
Параллелограмм:
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельные называется параллелограммом.
Середина диагонали является центром симметрии.
Противоположные стороны и углы равны.
Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
)
(
2 2
2 2
2 2
1
b
a
d
d
+
=
+
Площадь:
ϕ
α
sin
2 1
sin
2 1
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
d
d
b
a
h
a
S
a
Прямоугольный параллелепипед
V=abc d
2
=a
2
+b
2
+c
2
a
b
∝
a
b
b
a
+
внутренние односторонние вертик
α
180 0
−α смежные углы
α
A
S
O
B
M
C
D
β
A
A
B
B
d
1
d
2
φ
O r
R
a
b
h
n
a
a
d
d
1
d
2
A
B
C
D
α
a
b
h
a
φ