Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 0
и из (2.6) |
и (2.7) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ую (Ь = |
[(2/ + |
1)/4л]і/2 |
PL |
(cos 8). |
|
|
(2.60) |
|||||
Полиномы |
|
Лежандра |
удовлетворяют |
соотношениям |
|
|
|||||||||
( / + 1 ) Pl+1 |
(cos 0) — (21 + 1) cos BP, (cos 0) + IP1_1 |
(cos 0) |
0, |
(2.61a) |
|||||||||||
sin3 ©. |
Pl (cos 0) = |
t |
|
(cos 0)—cos 0 Pt (cos 9)] = |
|
||||||||||
|
|
|
d cos 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(/+1) [Pi-i |
(cos0)—P/ + 1 (cos 0)]. |
|
(2.616) |
|||||||||
|
|
|
21+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Vo / (О K„ (r) = / [(2/ + |
1) ( 2 / - 1 ) ] - '/2 |
|
f 2- |
+ І Х І |
f ) |
1 0 (r) + |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\dr |
r |
|
|
|
|
+ ( / + D [(2/ + |
1) (21 + |
3 ) ] - '/2 |
^ |
|
|
i - / j |
7 г + ! 0 |
(f). |
(2.62) |
||||||
Коэффициент Клебша — Гордана |
в знаменателе |
выражения |
(2.58) |
||||||||||||
имеет следующие значения |
(см. табл. ПАЛ): |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
[(7 + |
1)/(2/ + |
1 ) ] ' / 2, L = / + l , |
|
|||||||
|
(Л/. | 000) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
L — I, |
(2.63) |
||||
|
|
|
|
|
- [ / / ( 2 / + 1 )]>/2, |
|
|
|
L=l—\, |
|
|||||
Подставляя |
(2.58), (2.62) и (2.63) в (2.57) и используя (2.8), получаем |
||||||||||||||
|
|
|
^ . |
|
|
|
Г |
/ |
7 |
\ 1 / Ч |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
\ |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
[ 1 = - 1 |
|
|
|
|
|
2/ —1 |
' ( Ш — 1 | /72J.I/7Z + [і) X |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ ( ^ ) 1 |
/ |
2 |
( / 1 / + |
1 И ( х т + |
^)У ;+ |
1 т |
+ |
1 А |
( ? ) ^ — L / j j . |
(2.64) |
|||||
[Мы видим, таким образом, что операция деления в (2.58) не приве ла к трудностям.] Пользуясь свойством симметрии (ПА.20), по лучаем
W ) K i m ( r ) = 2 1-м |
' |
^ 1 / 2 |
(/—1 1/| m + V — ц т ) К і _ і т + м . X |
ц =— 1 |
2/+1 |
|
|
|
|
|
|
X ^ + ^ / ) - ( ^ r ) 1 |
/ 2 |
( / + l H | m + [ x - ^ m ) 7 , + l m + t l x |
|
что с учетом определения (2.48) и дает градиентную формулу (2.56).
Как видно из выражения (2.5), если f (/•) в (2.56) выбрать в виде сферической функции Бесселя порядка /, то величина
|
А / И (г; V=±-VJt(kr)Ylm& |
(2.65) |
|||
|
|
|
it |
|
|
будет удовлетворять |
векторному |
уравнению |
Гельмгольца |
||
( V 2 + к2) А!т (г; |
I) = |
0. |
Однако |
поскольку |
|
V . A ; m ( r ; |
Q = ±V4к |
l(kr)Ylmfi=-kjl(kr)Ylm$)=t0, |
(2.66) |
||
то такой потенциал не удовлетворяет условию поперечности (1.56). Поэтому потенциал (2.65) с индексом 1 называется продольным. Хотя он не годится для описания электромагнитного поля с попе речной калибровкой, им полезно пользоваться для других калиб ровок. Заметим, что в силу соотношений для сферических функций Бесселя
- f |
/, (kr) = kn-x (kr)-^-h |
(kr), |
(2.67a) |
||
dr |
|
|
г |
|
|
A. |
j |
(kr) |
= - k j l + , (kr) +-Ljt |
(kr) |
(2.676) |
dr |
|
г |
• |
|
|
градиентная формула (2.56) дает особенно простой результат
\ т (Г; I) = ( ^ Щ " ) 1 1 2 ІІ- |
1 {kr) In - , ; m ("Г) + |
+ (^~)ll2il+i(kr)Tu+um(r). |
(2.68) |
Отсюда также следует, что поскольку обе векторные сферические гармоники в (2.68) при вращении R преобразуются как неприводи мые тензоры [в смысле формулы (2.54)], то и продольный потенциал обладает этим же свойством.
I
§ 2.3. Потенциалы и поля мультиполей
Теперь мы должны вернуться к получению решений для век торного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющих условию попе речности. Результаты предыдущего параграфа позволяют легко понять, что любой вектор вида
Вні;т (г) = |
/ х ( А г ) Т а : т ( ? ) , |
| / - 1 | < Я < / + 1 |
(2.69) |
будет удовлетворять |
векторному уравнению Гельмгольца |
|
|
|
(V2 + ^ ) B a ; n i |
( r ) = 0 , |
(2.70) |
поскольку в В/я, т входит величина jx (kr) Yxm-ii (г), которая удовлетворяет уравнению (2.4). Эти решения для данного I обра зуют неприводимые тензоры ранга /. В частном случае 1 = 0 имеется
только одно такое решение, поскольку % должно тогда равняться единице. Однако, подставляя I = 0 в (2.65), (2.66) и (2.68), мы ви дим, что такое решение в любом случае не является поперечным и поэтому сейчас не представляет для нас интереса. Следовательно, надо рассматривать три решения, а именно случаи X = I — 1, /, / + 1. Любая суперпозиция из этих трех потенциалов будет удовлетворять уравнению Гельмгольца и будет преобразовываться как неприводимый тензор ранга /. Однако, как видно из (2.68), не все суперпозиции будут удовлетворять условию поперечности. Необходимо подобрать коэффициенты таким образом, чтобы это условие выполнялось.
Мы также должны добавить новое требование, которому должны удовлетворять получаемые потенциалы мультиполей. Подобно тому как мы раньше требовали, чтобы потенциалы имели определен ное значение углового момента, потребуем, чтобы они имели опре деленную четность. Это необходимо потому, что рассматриваемые нами гамильтонианы ядра включают в основном сильное взаимодей ствие и, следовательно, инвариантны при инверсии всех трех про странственных осей. Собственные функции таких гамильтонианов одновременно будут собственными функциями оператора четности, и можно более эффективно изучать взаимодействие электромаг нитного поля с ядром, если с самого начала ввести понятие четно сти поля.
Чтобы это сделать, рассмотрим пространственную инверсию сис темы координат, в результате которой компоненты данного вектора
меняют свой знак на противоположный: |
г' = —г. Изменение |
||||
функции В;А,. т (г) |
при таком |
преобразовании |
обусловлено |
вектор |
|
ным характером |
величин ^ |
(|№ ->• — ^ ) |
и |
зависимостью |
от на |
правления г, которая входит в величины Yxm-y, (г). Для |
полярного |
и азимутального углов сферической системы координат |
пространст |
венная инверсия |
записывается в |
виде |
|
|
|
|||
|
|
|
б - э - З Т — 0, |
ф - ^ - ф ± Я |
|
(2.71) |
||
и из (2.6) и (2.7) |
получаем |
|
|
|
|
|||
Укт-ц( |
— г ) = К я т _ ц ( Я ~ 0 , |
ф ± Я ) = |
|
• |
||||
= |
( |
- 1 № „ ( 8 , |
ф ) = ( - 1 ) » - У х и _ № ( г ) . |
(2.72) |
||||
Следовательно, |
из трех решений |
Вц,; т (г) |
два с X = |
/ ± 1 должны |
||||
иметь одинаковую четность, которая в свою очередь |
противополож |
|||||||
на четности решения с X = I. Поэтому попытаемся построить ре |
||||||||
шение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A,m (r, |
т ) = / , ( й г ) Т „ : т ( г ) |
|
(2.73) |
||
и |
|
|
Є) = С і - і / / _ і (kr) Т / |
г _ 1; m (Г) |
|
|
||
|
А[т |
(Г; |
+ |
|
||||
|
|
Ц-Сі+і |
jl+i |
(kr)Tu+l;m(T), |
|
(2.74) |
||
З |
Зак. 1193 |
49 |
|
где потенциал (2.73) |
имеет четность (—1)', |
а потенциал (2.74) — |
четность (—1)'+і. |
В последнем выражении |
с ; ± 1 являются двумя |
константами, которые должны быть определены из условия поперечности. Для разделения обоих типов решений используются
буквы m и |
е; удобство этих обозначений будет видно |
ниже. По |
|
тенциал |
(2.74) имеет ту же самую четность, что и продольный по |
||
тенциал |
(2.68); это фактически соответствует просто |
неудачному |
|
(в смысле |
удовлетворения условия поперечности) выбору вели |
||
чин |
С ; ± ь |
|
|
Теперь надо удовлетворить условию поперечности для потенциа |
|
лов |
(2.73) и (2.74). Для этого необходимо вычислить |
|
|
(*/-)Т/ Я ; т(г)) = |
|
|
: S (XII | т — |Д|іт) |ц • V (]% (kr) У л п 1 - ц (г)), |
(2.75> |
где использовано соотношение (2.486). Из (2.65) и (2.68) имеем для правой части
& 2 ( Ш | т — щип)^- |
|
| ^ ^ - y V / 2 д _ , (/ г г )Тях -1; т - ц ( 0 |
+ |
|||||||
|
|
Я + 1 |
\ |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2К+1 |
) |
Д + 1 (И Т Я . Я+І;т -ц(г) |
|
|
||||
|
|
= k'£l(—l)» |
(XII \т—щх/п) |
х |
|
|
||||
|
X |
1/5 |
] \ - 1 |
|
(kr) (X— 1IX\m — \im — \i)Yx~ |
ш (г) -f |
|
|||
|
|
2Я-М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.76) |
С учетом |
свойства |
симметрии и ортогональности коэффициентов- |
||||||||
Клебша—Гордана |
(ПА.20) и |
(ПА. 17) получаем |
|
|
||||||
|
|
|
|
V - 0 \ ( * r ) T № : |
„(?)) = |
|
|
|
||
= |
- * / г ( В Д т |
( ? ) [ ( ^ ) |
|
|
1/2 |
|
(2.77). |
|||
|
2l + |
l |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для |
потенциалов с |
Х = |
I, определяемых формулой (2.73), правая |
|||||||
часть |
в (2.77) равна нулю и v A |
( m |
( r ; m ) = °- Д л я \ т |
(г*>е)> |
опре |
|||||
деляемых |
в (2.74), |
получаем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V . A , m ( r ; |
е) = |
|
|
|
|
=-kh(kr)Ylm(r) LU-M
Для значений ci+l, которые приводят к продольному потенциалу (2.68), в силу (2.66) квадратная скобка в выражении (2.78) равна;
