Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 172

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Аналогичная процедура с пЛ., выполняемая последовательно для осей х и у, дает подобный же результат для двух других компонент, так что

L = — i r x V .

(2.19)

Это стандартный вид для оператора углового момента в квантовой механике. Таким, образом, операторы орбитального углового мо­ мента генерируют бесконечно малые, повороты для скалярного поля.

Что касается поворотов на конечный угол © вокруг оси п, то о них мы можем говорить как о поворотах, состоящих из ряда N беско­ нечно малых преобразований на угол є = QIN. Для таких враще­ ний имеем

T{R{n,

0 ) ) = l i m

f l +

i — r^-LVV = ei 0 "-L .

(2.20)

 

N•+00

\

N

J

 

Чтобы упростить обсуждение поведения решений уравнения Гельмгольца (2.4) при таких преобразованиях, рассмотрим частный случай k — 0; тогда уравнение Гельмгольца переходит в уравнение Лапласа

 

V2 -u(r)=0

 

(2.21)

и решения, согласно

формуле (2.5), имеют вид

 

I

Vim(r) = r!Ylm(Q,

ф),

(2.22)

т. е. в соответствующих декартовых координатах они являются од­ нородными полиномами степени /. Рассмотрим далее уравнение (2.21) в преобразованной системе координат. Поскольку у 2 — скалярный оператор и, следовательно, коммутирует с оператором

Т {R), имеем

Т (R) IV» vlm (г)] = V a [Т (Я) vlm (г)] = 0,

так что Т (R)vlm (г) также является решением уравнения Лапласа. Кроме того, Т (R) действует линейно на координаты, поэтому и функция Т (R)vlm (г) является однородным полиномом степени /. Это новое решение может быть, таким образом, записано как линейная суперпозиция 21 -+- 1 старых решений степени /:

T(R)vlm(r)

= vlin(R-i

г ) =

2

Dlm.m(R)vlm.(r).

(2.23а)

 

 

га' = —I

 

Опустим множитель г1, который должен

входить в обе части этого

соотношения; тогда

 

 

 

 

T(R)Ylm(r)

= Ylm(R-lr)=

І

 

Dln.m(R)Ylm.(r),

(2.236)

 

 

m' =

— l

 

 

где единичный вектор г имеет направление радиус-вектора и по­ этому используется как эквивалент величин 0, ср. Коэффициенты

Dlmm' (R), образующие матрицу (21 -f 1) x (21 -f 1), следует счи­ тать функцией величин, описывающих рассматриваемое вращение,

т. е. функций или п и в , или углов Эйлера 0j, 02 ,

83 .

Явный вид

матрицы

вращений

Dlmm'

( Э ь

62 , Э3)

можно легко

получить

(см. книги

по теории

углового

момента,

указанные

в конце этой

главы). Из (2.236) получаем также трансформационные свойства решений, даваемых формулой (2.5):

 

і

 

 

Г

(Я) а , т ( г ) = ы , т ( # - » г ) = S

Я £ ' т ( Я ) " / т ' ( г ) .

(2.23в)

Таким

образом, как видно из (2.13), (2.14), (2.19) и (2.23), про­

странственная ориентация системы

координат для скалярного

поля полностью определяется сферическими гармониками. Для такого поля вращение является результатом действия оператора орбитального углового момента и приводит к новому решению с данным /, которое является суперпозицией старых решений, имеющих то же самое значение /. Можно ли ожидать, что аналогич­ ный результат сохраняется и для решения векторного уравнения Гельмгольца (1.55)? Мы можем надеяться выразить решение этого уравнения через компоненты, каждая из которых имеет вид, опреде­ ляемый формулой (2.5), и суперпозиция которых удовлетворяет условию поперечности (1.56). Однако ясно, что такое решение не будет обладать простыми трансформационными свойствами (2.23в), так как компоненты, составляющие решение, при вращениях сами должны преобразовываться друг через друга. Необходимо объединить трансформационные свойства векторов с трансформа­ ционными свойствами сферических гармоник, даваемых формулой (2.236). Чтобы это выполнить, попытаемся построить оператор, аналогичный оператору Т (R) в соотношениях (2.13) и (2.14), кото­ рый генерирует бесконечно малые повороты для скалярного поля. Определяющим свойством векторного поля является трансформа­ ционный закон

[T(R)A](r)=R\(R-lr).

(2.24)

Появление дополнительной по сравнению с (2.13) матрицы R в пра­ вой части является отражением того факта, что компоненты всех векторов по определению должны преобразовываться по тому же правилу, что и радиус-вектор [см. (2.9)].

Попытаемся теперь найти оператор Т (R), который будет гене­ рировать бесконечно малые преобразования для векторного поля по аналогии с формулой (2.14) для скалярного поля. Рассмотрим снова повороты на малый угол в вокруг оси z и напишем

 

Т

{R (а,

в)) =

1 + І8П-J=

І.+ієУз.

 

(2.25)

Пока

еще не определенные

операторы

J =

( / i ,

</2

, Js) должны

быть

матрицами

3 x 3 ,

которые действуют

на

соответствующие

трехмерные векторы, записываемые

в виде

матриц-столбцов

 

 

 

 

 

 

 

/ Л ( г ) \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А ( г ) = Л

(г)

I .

 

 

 

 

(2.26)

 

 

 

 

 

 

 

\А3

(г)/

 

 

 

 

 

 

После подстановки

формул

(2.15),

(2.16), и (2.25) в (2.24)

получаем

 

 

 

 

/

1 є 0\/A1(r1

 

— er2,rz

 

+

er1,r3)\

[(1+іе/з)А](г)

= 1 - е

1

0 J І Л3

(/'і—єг2 ,

r2

+

6/'1 (

/'з) І =

 

 

 

 

\

0

0

1/

V/lg^!—er2 ,

r2

+ erlt

r3)J

 

/

0

 

1

0 \ / Л ( г ) \

 

 

 

 

 

 

 

 

= A ( r ) + e

- 1

 

О

О И А. (г)

| — є ( f j -

 

 

А (г), (2.27)

 

\

0 0 0 / \ Л 3 ( г ) /

 

 

 

 

1

 

 

 

 

где последнее выражение получено

 

в первом порядке по е. Отсюда

можно

определить

 

J3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

 

 

\0

0

 

1

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

J3 = L3+S3,

 

 

 

 

 

 

(2.286)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где L 3 является произведением единичной матрицы З X 3 на опе­

ратор

орбитального

углового

момента

 

(2.18),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 3 =

 

і

 

0

0 .

 

 

 

 

(2.28в)

Можно еще раз выполнить аналогичные вычисления

с п

для осей

х и у;

в результате

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J = L

+

S,

 

,

 

 

 

 

(2.29а)

где L — оператор

(2.19),

умноженный

на

единичную

матрицу

3 X 3 ,

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/0

0

 

0 \

 

 

 

/

0

0

і

\

 

 

 

S 1 = l 0

0

—і

J,

S2 =

(

0

0

0

,

 

(2.296)

 

 

\0

і

 

0 /

 

 

 

\ — і

0

0 /

 

 

в S3 дается (2.28в). Из соотношения,

аналогичного

(2.20), снова

получаем для

конечных

вращений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

{R{n,

в ) ) - е ^ " - » -

 

 

 

 

(2.30)

Как хорошо известно из квантовой механики, оператор орби­ тального углового момента L удовлетворяет коммутационным соотношениям

L x L = i L .

(2.31)

Матрицы S = (Si, S2 , S3 ) удовлетворяют

аналогичным соотно­

шениям*:

 

S x S = i S .

(2.32)

Кроме того, так как L — единичная матрица в пространстве трехкомпонентных векторов-столбцов, то L и S коммутируют и

J x J = i J .

(2.33)

Таким образом, из соотношения (2.30) видно, что J

генерирует

вращения для векторного поля, а из (2.33) — что он удовлетворяет коммутационным соотношениям для операторов углового момента. Следовательно, можно ожидать, что J будет играть роль оператора углового момента для потенциала электромагнитного поля и что надо построить решения векторного волнового уравнения (1.55), которые являются собственными функциями оператора J.

Однако, прежде чем это делать, можно записать J и, в частности, S в более удобной форме. В квантовой механике удобно рассматри­ вать операторы орбитального углового момента L в представлении, в котором матрица L 3 диагональна. Фактически мы этим уже поль­

зовались для наших скалярных решений

уравнения Гельмгольца,

поскольку

хорошо известно, что

сферические гармоники

(2.6),

(2.7) одновременно со свойствами

 

 

 

VYlm(Q,

4)={L\+Ll+Ll)Ylm{S,

 

<p) =

/ ( / + l ) 7 t e ( 9 , ср)

(2.34а)

также удовлетворяют соотношению

 

 

 

 

L3Ylm(Q,

q>) = mYlm(Q,

ер).

(2.346)

Таким образом, в представлении этих функций L 3 автоматически будет диагональным. Аналогично мы выберем базис в трехмерном пространстве векторов-столбцов. В этом базисе будет диагональна

. * Соотношения (2.32) можно проверить путем непосредственного пере­ множения матриц или используя следующее свойство: матричные элементы t-я компоненты S могут быть выражены через полностью антисимметричный тензор третьего ранга (см. сноску в § 1.2):

Тогда матричный элемент векторного произведения,

соответствующий пере­

ходу p-*q, имеет вид

 

 

 

 

[(S X S ) a ] g p = 2i

2

s ant [Sn]qr

[St]rP

=

пі

г

 

 

 

= — 2 &аШ Znqr

Є ( г р = Є о

д р = І

[5a ]g p.

ntr

 

 

 

 

Смотрите также файлы