Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 177
Скачиваний: 0
•единице. Мы получим поперечный потенциал, если возьмем, на пример,
/ / + 1 \ 1/2 |
г І \ 1/2 |
так что
A , m ( r ; е ) = {А^у°~ |
ji-x{kr)lu-um{r) |
— |
1 Vl2il+i(kr)Tii+l;m(f). |
(2.80) |
|
2/^-1 |
|
|
Потенциалы мультиполей, определенные формулами (2.73) и (2.80), исчезают для случая / = 0. Это соответствует тому физическому •факту, что поперечный фотон со спином 1 должен переносить по крайней мере одну единицу углового момента.
Произвольная общая константа в потенциалах (2.68), (2.73) и (2.80) выбирается из условия нормировки. Используя (2.53), получаем
§A/.*m .(r; a') - A / m (r; a)dr =
со |
|
= 6 a t l ' 6 " ' K,n-\la(r)r*dr, |
(2.81а) |
где штрих у первого потенциала указывает, что его аргументом является k'r; а и а' обозначают индексы 1, ш, е и
1 - [ / / 7 - і и - i + ^ + i)/7+1 /л - і], o=i,
2/-Ф-1
fiji, |
а=т, |
(2.816) |
щ у Ю+ l)/7- i /7-і +//7+I /7+і], а = е.
В (2.816) штрих снова обозначает аргумент k'r. Интегралы (2.81) легко вычисляются, так как
оо |
|
|
S h {k'r) h {kr) r2dr |
= ±-8 (k-k'), |
(2.82) |
о |
й |
|
где правая часть не зависит от Я и содержит одномерную б-функцию •от модулей волновых векторов. Таким образом,
$ A / V ( r ; a ' ) A m ( r ; a)dr = ±6(k—k')8aa> |
8 i r 6 m m , . |
(2.83) |
• 3* |
|
51 |
Этот результат также указывает, что Alm (г; I) и А,,п (г; е) линейно
независимы, так что полнота системы Т а ; т |
(г) и сферических функ |
||
ций |
Бесселя обеспечивает полноту набора |
потенциалов Alm |
(г; 1), |
\ т |
(г; "О, А,г о (г; е). |
|
(2.68), |
Вид векторных потенциалов, описываемых формулами |
|||
(2.73) и (2.80), обладает большим преимуществом. Это связано с тем, что сразу же можно получить основные свойства потенциалов как неприводимых тензоров и их трансформационные свойства при вра щениях. С другой стороны, выражение (2.68) мы получили рас смотрением действия оператора градиента на /; (kr) Ylm (г) [см. (2.65)]. Можно записать и другие потенциалы с помощью простых дифференциальных операторов, действующих на указанную функцию:
А / т |
(г; т) = — [ |
Lj, (kr) Ylm (г), |
(2.84а) |
|
V/ (/+1) |
|
|
А,„, (г; |
е) .-= |
V х (L/, (kr) YIm (г)), |
(2.84б> |
где L = — ir X у —оператор орбитального углового момента. Формула (2.84а) легко получается, если вспомнить, что L — век торный оператор, поэтому в силу теоремы Вигнера — Эккарта
|
|
|
(I'm' | L v I Iniy = (III' |
I mvm') |
(Г |
|| L || /> |
= |
|
||
|
|
|
= |
(III' I mvm') (III' ] 101)-1 |
(11 I L0 111), |
(2.85) |
||||
где последнее равенство справедливо для / ^ |
1 и /' ^ |
1. Из уравне |
||||||||
ния |
(2.346) |
следует |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
< T l | L 0 | / l > = 6, r , |
|
|
|
|
||
в |
то |
время |
как |
из табл. ПА. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Ш | |
101)-> = 1 Л ( / + |
1). |
|
|
|
|
В |
результате имеем |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(l'm'\Lv\lmy |
= 8ir fl |
(I + I)(III\mvm'). |
|
(2.86) |
|||
Для случая / = |
0 матричный элемент исчезает, что и отражено в вы |
|||||||||
ражении (2.86). Поскольку L коммутирует с функциями от г, |
правая |
|||||||||
часть равенства |
(2.84а) имеет вид |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
її |
2 ( - |
l ) v (И/1 mvm') Yun- (г) l _ v . |
|
|
|||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
Используя свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана (ПА.20), получаем, что эта сумма равна Т г г ; т ( г ) , и с помощью выражения (2.73) приходим к формуле (2.84а).
Что касается потенциала, обозначаемого с помощью индекса е, то из (2.84а), (2.73), (2.65) и (2.68) видно, что правая часть фор
мулы (2.846) принимает |
вид |
r |
V X/,(/er)T„.m (f) = |
ft |
|
= J L 2 (/111 m ~ |
ujxm) l u X V (j, (kr) Ylm-ц (г)) = |
ЯЦ
=i 2 (И/ J m — (j,[xm) l ^ x
|
|
2/ + |
1 . |
|
|
,( |
l+l |
yi-/2 . |
x |
|
(2.87) |
|
|
|
|
|
|
Чтобы вычислить векторное произведение, |
заметим, ^что из |
(2.39) |
|||
и табл. ПАЛ можно получить |
|
|
|
||
In X Sv = |
і У 2"(111 | ixvpL + v) | д + v , |
(2.88) |
|||
поэтому |
|
|
|
|
|
і 2 |
I m - ^ m ) In X Т а ; |
,„_м .= |
|
||
и |
|
|
|
|
|
= — У 2 2 ( ^ 1 т — \и\мп) (ЯП | т —ц.—vvm—ц.) х |
|
||||
X ( l l l | t x v ^ + v ) ^ m _ ^ _ v |
| ( 1 + v . |
(2.89) |
|||
Первые два коэффициента |
Клебша — Гордана могут быть перепи |
||||
саны с помощью (ПА.31) в виде |
|
|
|
|
|
|
||||
|
( Ш | т—[і—vwn—\i) |
(Ill |
| т — ц.|хт) = |
|
|
|
||||
|
= 2 ^ / ( H / | v ( i n |
+ v)(W/|m—[і—v\i + vm)W(Ml\; |
It), |
(2.90) |
||||||
где |
t = y~2t -\- I , |
a |
W — коэффициент Рака. Если провести сум |
|||||||
мирование по д. и л>, оставляя р = |
р, + v фиксированным, то свой |
|||||||||
ства |
ортогональности коэффициентов Клебша — Гордана |
дадут |
||||||||
t = |
1 и тогда для |
(2.89) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
( _ і ) 1+нуё" |
W(И11; |
1 А,) 2 ( Ш | m - p p m ) У „ т - Р ( ? ) |
§ р |
= |
|||||
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
= (_1)/+ЧТ/6"Ц7(/Л1; |
1 Я ) Т а ; |
т ( г ) = |
|
|
|
||||
|
= - L / ( ^ D + g - M X + D T a . m ( f |
) . |
|
( 2 .91a) |
||||||
Мы использовали свойства симметрии коэффициентов |
Рака (ПА.31) |
|||||||||
и (ПА.36) и явное |
выражение для |
W (НИ; 1 Я) |
из |
((ПА.39). |
||||||
В (2.87) мы рассматриваем случаи |
Я = |
/ ± 1 , для которых выраже |
||||||||
ние |
(2.91а) дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: р ( н П " ) ± 1 / 2 т " ± І : , в ( ї ) - |
|
|
|
( 2 ' 9 1 б ) |
||||
Подставляя (2.916) в (2.87) и учитывая определение (2.80), получаем
( ^ ) 1 / 8 л - ' т « - ^ - ( 5 Г П " ) , / 2 / , + 1 Т , , + 1 ! М в А й в ( г : е ) -
Формулы (2.84а) и (2.846), справедливость которых мы только что показали, удобны для вычисления напряженностей, соответст вующих потенциалам мультиполей. Чтобы получить электрическое поле, следует вспомнить, что все потенциалы имеют зависимость от времени в виде е _ і ш ' [см. (2.2)], поэтому для поперечной калиб-
ровки
Е (г, t) |
Е (г) е - ' м ' — |
^ 5 А ( г 1 1 ] - \kA (г) е - |
(2.92а) |
|
с |
dt |
|
В частности, поля, соответствующие индексам I , т , е, имеют вид
E /m(r; fl) = iftA,m (r, а), а = 1 , т, е. |
(2.926) |
Магнитное |
поле |
определяется как |
|
|
|
Н , т |
(П а) = V х А1п |
(г; а), а = I, т, е. |
(2.93) |
Из (2.65) |
имеем |
|
|
(2.94) |
|
|
Нг п 1 (г; |
1) = 0, |
|
аиз (2.84а) и (2.846)
Н;т (г; т) = V X А / т (г; т) = iftA,m (г; е) = Е г т (г; е). (2.95а)
Магнитное поле для е-случая легко вычисляется, если восполь-
зоваться |
соотношением |
|
|
|
V X ( V x A ) = — V 2 A + V(V-A) = £2 A, |
(2.96) |
|
которое получается из условия поперечности |
и уравнения |
Гельм |
|
гольца. |
Тогда |
|
|
|
H , m ( r ; e ) = - | V x ( V x A l m ( г ; |
т)) = |
|
|
= -ikAlm (г; т) = _ Е1т (г; т) . |
(2.956) |
|
Поля, которые удовлетворяют соотношениям (2.95а) между Н (ш) и
Е (п) и (2.956) между Н (п) и Е (т), |
обычно |
называют дуальными |
полями. Эти соотношения возникают |
потому, |
что замена |
Е ' = ± Н , Н ' = Т Е |
(2.97) |
|
оставляет инвариантными уравнения Максвелла для свободных полей, а также величины, представляющие интерес с физической точки зрения, например вектор Пойнтинга (1.45), энергию поля (1.47). Из (2.95а) и (2.956) также следует, что электрическое и маг нитное поля являются неприводимыми тензорами, преобразую щимися с помощью тех же матриц вращения Dlm>m (R), что и соот ветствующие потенциалы.
Обратимся, наконец, к вопросу о происхождении обозначений m и е для потенциалов мультиполей. Они возникают из рассмотре ния потенциалов и полей в ближней (или статической) зоне, т. е.
для случая |
kr < 1. В |
этой области функции |
Бесселя могут быть |
|||
заменены их |
главными |
членами* |
|
|
|
|
|
/ і ( ^ ) 5 ^ - ( ^ ) ; / ( 2 / + 1)І!. |
|
|
(2.98) |
||
и тогда нетрудно получить оценки по порядку величины |
|
|||||
|
H , m (г; е) ~ |
(kr) П1т |
(г; т) « Мш (г; |
т), |
| |
g g |
|
E ; f n ( r ; m ) ~ ( f e r ) E , m ( r ; e ) « E ; m ( r ; e ) . |
j |
|
|||
Таким образом, индексы т и е |
соответствуют |
тому, что |
т-ком- |
|||
понента магнитного поля превосходит е-компоненту магнитного поля в статической зоне. Аналогично е-компонента электрического
поля в этой зоне значительно |
больше |
его |
m-компоненты. |
Потен |
||||
циалы и поля, отмеченные индексом |
от, |
называют |
магнитными |
|||||
мультиполями, а отмеченные индексом |
е — электрическими |
муль |
||||||
типолями. |
В частности, потенциал Alm |
(г; |
nt) описывает |
магнитный |
||||
мультиполь |
порядка |
/ (сокращенно Ml). |
Он имеет угловой момент |
|||||
I, преобразуется с |
помощью |
матриц |
Dlm>m |
(R) и имеет четность |
||||
(—1)'. Аналогично |
A i m (г; е) |
описывает |
электрический |
мульти |
||||
поль порядка / (сокращенно El). Он также несет / единиц углового момента, но имеет четность (—\)1+К В электромагнитных пере ходах мультиполя порядка Ml четности участвующих уровней
'различаются как |
(—1)'+', в то время как |
для ^/-переходов |
четность должна |
меняться в соответствии |
с фактором (—1)'. |
Это происходит потому, что потенциалы мультиполей входят в со ответствующие матричные элементы в виде скалярного произведе ния на оператор тока, который является векторным оператором и изменяет знак при пространственной инверсии.
§2.4. Разложение по мультиполям для фотонов
В§ 1.3 мы рассматривали плоские волны в качестве решений вол нового уравнения с поперечной калибровкой. Как видно из (1.57) и
(1.58), они имеют пространственную зависимость вида
^ ( r ) = eeI k -r , 8 - k = 0, |
(2.100) |
где опущен очевидный индекс к у вектора поляризации е и ис пользована рукописная буква Л для обозначения ненормирован ного поля. Такая форма векторного потенциала удобна для опи сания фотонов, наблюдаемых в лабораторной системе координат (при условии, что можно не учитывать детали конструкции волно вого пакета). С другой стороны, когда в ядре происходит электро-
* Двойной факториал |
определяется следующим образом: ( 2 / + 1)!! = |
= ( 2 / + 1 ) . ( 2 / - l ) - ( 2 f - |
3) ... 1. |
