Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 0
S3. Тогда, согласно (2.286), матрица J3 будет также диагональной. Чтобы это получить, следует выполнить унитарное преобразование
|
S3=US3U+ |
|
|
(2.35) |
|
такое, чтобы S'з была диагональной. Это |
преобразование |
имеет |
|||
вид |
|
|
|
|
|
|
1//2" |
і/1/2" |
|
О |
|
11 = |
0 |
0 |
|
1 |
(2.36) |
- |
1//2" |
і / / 2 " |
|
0 |
|
что дает новое выражение для S*: |
|
|
|
|
|
'0 1 0^ |
^0 |
—і |
0 |
|
|
У 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.37) |
При этом коммутационные соотношения (2.32), конечно, выпол няются.
Преобразование (2.36) приводит также к новому набору базис ных векторов, который заменяет используемую в (2.26) — (2.29) первоначальную тройку единичных векторов ei, е 2 , е3 , соответст вующих осям х, у, г. Эти новые векторы имеют вид
1*= S t/!re, |
(2.38) |
Перейдем к более удобным обозначениям: для первого вектора возь мем t = 1, для второго t = 0 и для третьего t = — 1. Тогда
і = |
+ |
1 |
(el Z bie2 \ |
ё, --= е, |
>.39) |
|||
У 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Этот набор векторов |
называется |
сферическим базисным |
набором. |
|||||
Векторы комплексны, |
и из |
(2.39) |
следует, |
что |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(2.40) |
|
l t " S ^ |
= |
( - l ) , A ' i - l i " l u = |
fi^, |
(2.41) |
||||
где греческие индексы пробегают значения — 1, 0, 1. Этот комплекс ный базисный набор приводит к специальной метрике для векторов, представляемых в нем. Для действительного вектора V имеем
V = І |
= I |
. |
(2.42) |
ц = - 1 |
ц = |
- 1 |
|
Для удобства мы опускаем штрихи в преобразованных матрицах.
и из (2.40), (2.41) |
и (2.42) получаем |
|
|||
|
|
^ = Su-V = |
( - l ) » * y ^ . |
(2.43) |
|
Если рассмотрим второй вектор W, то для компонент в сферическом |
|||||
базисе |
|
|
|
|
|
|
V - W = |
І |
VIW»= |
Ё (-IpV-pWv. |
(2.44) |
|
|
tx = — I |
|
|X = — 1 |
|
По |
определению |
являются собственными векторами |
оператора |
||
S3, |
так что по аналогии |
с (2.346) |
|
||
|
|
|
5 3 ^ = Ф § д - |
(2-45) |
|
Аналог соотношения (2.34а) получается тривиально, так как из (2.37) следует
|
S2 = S f + S l + S S = 2 r |
(2.46) |
|
где в правой части |
подразумевается |
единичная матрица |
З ХЗ. |
Поскольку оператор |
углового момента |
S удовлетворяет коммута |
|
ционным соотношениям (2.32), он обладает свойством S2 = |
s(s + 1), |
где s обозначает собственное значение оператора углового |
момента. |
Из (2.46) получаем, что s = 1. Таким образом, соответствует собственному вектору углового момента для спина 1. Это тот
спин, который следует добавить к орбитальному угловому |
моменту |
|
в |
(2.29а), чтобы получить полный угловой момент поля |
фотона. |
§ |
2.2. Сферические тензоры |
|
|
Теперь мы должны построить из собственных функций орби |
|
тального углового момента Ylm и собственных функций |
соответ |
|
ствующих спину 1, новые собственные функции для полного угло вого момента J = L + S. Процедура такого рода хорошо известна из квантовомеханической теории углового момента, которая кратко изложена в Приложении А. При сложении величин Ji и J,, соот ветствующих угловым моментам двух различных частиц или орби тальному и внутреннему угловым моментам одной частицы, необ ходимо рассматривать два возможных базисных набора. В одном
из |
них |
диагональными |
являются |
операторы J i 2 = |
/і (/і + 1), |
|||
J 2 2 |
= /а (b |
+ 1), (Jib = |
rrii и (J2 )3 = т%- Этот набор |
называется |
||||
несвязанным |
представлением. В другом, или связанном, |
|
представ |
|||||
лении |
диагональными |
являются |
величины |
Ji 2 , J2 2 , |
J2 |
= (Ji + |
||
+ |
J2 )2 |
= J {J + 1), (J)3 = (Ji -f-J2 )3 = M. |
Матричные |
элементы |
||||
унитарного преобразования, которое осуществляет переход от одного представления к другому, называются коэффициентами Клебша —
Гордана. Мы будем их обозначать* как [j-^j^J \т1т2М). Их свойства кратко обсуждаются в Приложении А и более подробно — в книгах по теории' углового момента, указанных в конце главы.
Несвязанным представлением для рассматриваемой задачи яв ляется произведение сферических гармоник и векторов сферического базиса. Эти произведения являются собственными функциями че тырех соответствующих операторов несвязанного представления:
Ь8 У,„(гНд = / ( / + 1 ) К , т ( 0 1 ^
• S a y , i n ( r ) l n = 2 y i r o ( f ) l l l , |
(2.47) |
|
L 3 Ylm (г) |ц = mYlm (г) , |
||
|
Мы воспользуемся коэффициентами Клебша — Гордана, чтобы перейти к связанному представлению, определяя новые собствен ные функции полного углового момента
|
Тл;м |
(г) = 2 (Л У | >ЩМ) Уы (г) %.. |
' (2.48а) |
|||||||
Эти трехкомпонентные величины |
называются |
векторными, |
сфери |
|||||||
ческими |
гармониками**. |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
||
|
r-TjL-M(T) |
= |
J(J |
+ |
l)TjL.M(r),} |
|
(2.49) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VTji-м |
(г) = 1(1+1) |
Тл; м (г), |
|
(2.50) |
|||||
|
|
S2 Ty/ : j U (?) = 2 T J / ; M ( r ) . |
|
|
(2.51) |
|||||
Учитывая |
свойства |
симметрии |
коэффициентов |
Клебша — Гордана |
||||||
(ПА.206) |
и соотношения |
(2.7), |
(2.40), (2.48), |
получаем |
|
|||||
Т'л-.м (г) = Е ( - 1 ) т + , 1 |
( И У | |
т ц / И ) У , _ т ( г ) | _ ц = |
|
|||||||
|
•=(-\ГУ>{1и\-т-^М) |
|
|
У | т ( г ) | | 1 |
= |
|
||||
|
= ( - 1 ) « + ' + ' + ^ 2 ( Л У | т И . - У И ) К г т |
(?)!,,= |
|
|||||||
|
|
= ( _ |
! ) « |
+ |
' |
+ _ |
A . f r ) - |
|
|
(2-52) |
* Наиболее употребительными обозначениями для коэффициентов |
Клеб |
|||||||||
ша— Гордана, или коэффициентов |
векторного сложения, |
являются |
|
|||||||
|
h ті Щ I jm) = (jі k mi |
Щ I h j 2 |
jm) = C}™,^-., = C/™,,^ . |
|
||||||
Сводка различных обозначений коэффициентов Клебша—Гордана приведена
вработе [109]. — Прим. перев.
**Заметим, что эти величины не являются векторами в смысле трансфор мации свойств, описываемых выражением (2.9), или (что эквивалентно) вы
ражением (2.23) с коэффициентами |
D 1 m , m ( / ? ) . |
Их трансформационные свой |
ства описываются преобразованием |
(2.54) (см. |
ниже). |
Здесь мы воспользовались тем фактом, что при суммировании в (2.48а) коэффициенты Клебша — Гордана исчезают, если т-\- р. Ф
фМ, |
так что двойное |
суммирование в действительности |
является |
||
лишь |
суммированием |
|
по одному индексу, т. е. |
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
Ту,: л, (?) = |
|
2 |
( Л У | М - Ц ( і Л І ) У ш - ^ ( ? ) | д . |
(2-486) |
|
|
іі = - і |
|
|
|
Можно показать, что величины (2.48) удовлетворяют условию
ортогональности |
на |
единичной |
сфере: |
|
||
= 2 |
(l'U'\M'—\i'yL'M')(HJ\M |
— |
X |
|||
X It-• Іц \ YpM--n> |
(?) Уш — n (?) dfi = |
|
||||
= б/г W |
2 (И J' I M — |І|ІМ) (/1У IM — щШ) = |
|||||
|
|
• |
=&ir |
дмм'• |
|
(2.53) |
Здесь мы использовали |
соотношения |
(2.8) и (2.41) и свойства орто |
||||
гональности коэффициентов Клебша — Гордана. Величины Т л ; м (г) образуют полный набор в трехмерном пространстве на единичной
сфере, поскольку §р, определены в трехмерном пространстве, |
а сфе |
|
рические гармоники образуют полный набор функций |
от |
Э и ср. |
В силу определения (2.48) и свойств коэффициентов |
Клебша — |
|
Гордана скалярное произведение векторной сферической гар
моники на вектор V преобразуется при вращении г' = |
Rr следую |
|||
щим образом: |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
V - T y z . « ( f ) = |
У |
DirM(R)V'-T}liM-(r'). |
(2.54) |
|
|
M' = — |
J |
|
|
Сравним этот результат |
с формулами |
(2.11) — (2.13) и |
(2.23). Со |
|
отношение (2.54) обобщает для случая |
векторного поля |
результат, |
||
полученный ранее в (2.23) для скалярного поля. Оно указывает, что на языке теории угловых моментов Рака проекция Тл-м (г) на вектор дает неприводимый тензор ранга J. Поэтому можно при менить теорему Вигнера—Эккарта к матричному элементу этой величины, взятому между двумя состояниями с хорошими кванто
выми числами углового момента и его проекции, например, |
| /1mі> |
||
и |/ 2 m 2 > . Это дает |
(см. Приложение А) |
|
|
|
</а m.%\V-lji.M\iltn1y |
= |
|
= |
(A J к І т'і Мт2) </2 1V '-1л II А), |
(2.55) |
|
где дважды отчеркнутая величина, определяемая как приведенный матричный элемент, не зависит от всех магнитных квантовых чисел. Это утверждение в конечном счете будет играть очень существенную роль в наших теоретических рассмотрениях, так как оно позволит,
не обращаясь к деталям ядерной структуры, выполнить всю ту часть вычислений, которая зависит только от геометрии (т. е. от магнитных квантовых чисел). Формула (2.55) также дает правила отбора, заключающиеся в том, что матричный элемент исчезает,
если не |
выполняется правило треугольника |
||
|
|
I Ух |
/ 2 К ^ < / і + / 2 |
и соотношение mi |
-f- М = /п2 . |
||
Одно |
из самых |
полезных |
приложений формализма векторных |
сферических гармоник относится к вычислению градиента от произ ведения функции от г на сферическую гармонику. Конечная фор мула, называемая градиентной формулой, имеет вид
- ( ^ Г ( £ - т ' ) т ' ' " - < * <2И>
Эта формула значительно упрощает математические выкладки для полей со спином 1. Чтобы ее доказать, воспользуемся тем, что сфе рические гармоники образуют полный набор на единичной сфере, а базисные векторы сферического базиса определены в трехмерном пространстве. Тогда, используя (2.8) и (2.41) — (2.43), можно на писать
|
V / ( r ) K f m ( r ) |
= |
|
=• 2 |
^{-\ri^YLM(r)lYiM{r)Wllf(r)Ylm(?)dQ. |
(2.57) |
|
ц = - |
1 Ш |
|
|
Здесь \7р, — i-t-я компонента оператора |
градиента, |
представленного |
|
в сферическом базисе. Этот оператор является векторным операто ром, поскольку при вращении R он преобразуется с помощью матрицы вращений 0^>^ (R). Следовательно, для интеграла в фор
муле (2.57) можно воспользоваться теоремой |
Вигнера—Эккарта: |
|||||||||||||
|
|
\У1м(г) |
|
|
|
Vllf(r)Ylm(r)dQ^ |
|
|
|
|||||
|
|
= |
(tlL\mixM)(L |
II V/(г) ||/> |
= |
|
|
|
||||||
= |
(lib |
I щМ) |
(lib |
I ООО)-1 J YCo (г) V 0 f (r) YlQ |
(f) dQ. |
(2.58) |
||||||||
Мы увидим, что для |
соответствующих случаев (Z1L|000) не исче |
|||||||||||||
зает. Интеграл в (2.58) можно |
вычислить |
|
непосредственно, |
так |
||||||||||
как для сферических |
|
координат |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
д |
|
дг_ |
д |
|
dcosO |
д |
. |
дер |
д |
_ |
|
|
|
|
V o ~~ dz |
~ |
dz |
dr |
|
|
dz |
д cos 0 |
|
dz |
dtp |
|
|
= |
( А |
Ух*-\- |
& + |
|
|
+ |
|
|
? |
|
^ |
9 = |
|
|
|
\дг |
Г |
|
^ |
) |
дг^[дг |
|
ух2 + |
у2 + г2 j 3 cos 0 |
|
||||
|
|
|
= |
С 0 |
5 9 |
А |
+ |
5 І І ! ! І ^ _ , |
|
|
(2.59) |
|||
dr |
г д cos 0 |
