Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 0
магнитный переход между состояниями с определенным угловым моментом, необходимо рассматривать потенциалы мультиполей. Следовательно, важно знать, как они входят в поперечные плоские
волны |
Л (г), что означает необходимость |
выполнить |
разложение |
|
этого |
векторного |
поля по полному набору |
Alm (г; о) |
(где а = I , |
і", е). Эта задача |
значительно упрощается, если взять ось z парал |
|||
лельной к или в |
сферическом базисе сориентировать |
1 - 0 вдоль к. |
||
Тогда, так как вектор є перпендикулярен к, он должен лежать в пло скости ( с ь
е = 2 |
(- |
• 1 ) * 8 _ ц 1 ц |
= |
" 2 |
є - и |
|
|
|
(2.101) |
||
ц = |
± 1 |
|
|
|
ц = |
±І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ДЛЯ {Єї = 1, Е_ |
0} |
это |
соответствует |
правой |
круговой |
поля |
|||||
ризации фотонов, в то время |
как набор |
(єі = 0,. є_х |
= |
1} |
описы |
||||||
|
|
|
вает левую круговую поляризацию |
||||||||
|
|
|
(рис. |
2.2). |
Линейная |
поляриза |
|||||
|
|
|
ция |
в направлении |
х |
и |
у опреде |
||||
|
|
|
ляется |
значениями |
коэффициентов |
||||||
|
|
|
е±і = ± 1 / 1 / 2 или |
є ± |
і = |
+ |
і/ У2 |
||||
|
|
|
соответственно. |
Конечно, |
любая |
||||||
|
|
|
другая |
поляризация |
может |
быть |
|||||
|
|
|
описана |
как |
суперпозиция |
двух |
|||||
|
|
|
линейных или двух |
круговых по |
|||||||
|
|
|
ляризаций. |
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 2.2. Вектор электрического по ля электромагнитной волны с ле вой круговой поляризацией с точки зрения наблюдателя, стоящего пе ред приближающейся волной (век тор к параллелен оси z). Для вол ны с правой круговой поляризаци ей вектор Е вращается в противо положном направлении, т. е. по часовой стрелке.
Согласно (2.101), достаточно рассмотреть Л{г) для Е, параллель ного \л = ± 1 . Так как А (г) должно быть суперпозицией мультипольных потенциалов, запишем
•И [с1т (Ох
1т |
|
X A z m ( r ; I) + c,m (ni)AZ m (r; |
т) + , |
+ с г т (е)А ( г о (г;е)] . |
(2.102) |
Подействовав оператором div на обе части этого равенства, полу чим, что clm (1) = 0, т. е. продольный мультиполь не может давать вклад в нашу поперечную волну. Чтобы вычислить коэффициенты с1т (а), для а = m, е применим вначале операцию rot к обеим частям равенства (2.102); используя в левой части соотношения (2.88) и (2.95), получаем
V х ( і д е«k • 0 = |
іА1о х І» е'k |
•r |
= k У2 |
(1111 ц 0 ц) 1^ e"< • г |
= |
|
^ ^ е ' к - г |
= (лЫ,х (г) = |
|
||
= і k 2 |
[clm (m) Alm (r; |
e ) ~ c l m |
(e) A , m (r; m)]. |
(2.103) |
|
Поскольку мультйполъные потенциалы ортогональны друг другу [см. (2.83)] и составляют полный набор, то сравнение (2.102) и (2.103) дает с1т (е) = щс1т (т). Чтобы вычислить остальные кон станты, подействуем оператором L на обе части равенства (2.102) и образуем скалярное произведение. Затем, пользуясь"разложением плоской волны с вектором к вдоль оси 2
e\kz = |
elkr cos Є = |
2 (21 + |
1) Iі /; (kr) Pt (COS 9) = |
|
||||
|
= |
/ 4 ^ 2 |
(2/ + |
1)1 |
<2 і' /, (kr) Yl0 (Є, ф), - |
(2.104) |
||
и формулами |
(2.84), (2.80) и |
(2.86), |
получаем |
|
||||
|
|
h |
• 2 [ЦІ + 1) (2/ + |
1)]1 1 2 і' А; о (r; m) = |
|
|||
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
= S c I m ( m ) f [ / ( / |
+ |
l)] - i/»L»/ t (Ar)y I m (0 > cp) + ^ L . ( V x A , m ( r ; m))}. |
||||||
Для второго |
члена |
в правой |
части |
имеем |
|
|||
|
|
L - ( V x A ) = — i r - ( V x V x A ) = |
|
|||||
|
|
= i r - [ V 2 A —V(V-A)] = — i £ 2 r - A , |
|
|||||
так как потенциал поперечен и удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Кроме того, этот потенциал является потенциалом маг нитного мультиполя, для которого из (2.84а) имеем г -Alm (г; nt) = 0. Пользуясь для второго члена уравнением (2.34а), а для левой части соотношением (2.73), получаем
— ] / 4 я 2 и (/ + 1) (21 + |
1)] '/а іг и (kr) (l\l\ |
n - j i O ) YlVk (9, ф) = |
||
= yiV(l |
+ |
^]1/2clm(m)h(kr)Ylm(Q, |
ф). |
|
Itn |
|
|
|
|
Из условия ортогональности сферических гармоник имеем |
||||
cim(?) = |
- l 4 |
^ (2^ + 1 ) ] І / 2 і' Sm t l (И/1|і—цЛ) = |
||
= |
M.[2n(2/ + l ) ] ' / 2 i ' 6 ^ , |
| І = ± 1 . |
||
Таким образом, для волнового вектора к, взятого вдоль оси г, полу
чаем из |
(2.102) |
|
|
|
^ |
(г) = | д є"» •' = ц, (2л)і /2 S |
(2J + |
1)1 12 i', [A/ ( i (г; т) |
+ |
|
+ іцА,и(г; е)], |
£ > |
= ± 1 . |
(2.105) |
Полученный результат легко обобщается на случай произволь ного направления вектора к. Если предположить, что к описывается
полярным |
и азимутальным |
углами 9 |
и ф в определенной |
системе |
|
координат, |
то эта система |
получается |
из той, которая |
использова |
|
лась в (2.105) поворотом |
на углы |
Эйлера 9 t — 0, |
9 2 |
= — 0 , |
|
03 = |
—Ф (рис. 2.3). Поскольку величины к ш являются неприводи |
|||
мыми |
тензорами, то при таких |
вращениях они |
преобразуются |
|
с помощью матриц Dlm>m |
(0і, 02 , |
0з). В данном случае, чтобы из |
||
|
„ |
частного результата |
(2.105) полу- |
|
/
/
/
д=-д./
- ^/ /j к
I
Рис. 2.3. К обобщению формулы (2.105).
Результат, даваемый формулой (2.105),
действителен д л я |
нештрихованной си |
|
стемы отсчета, |
в |
которой ось z сориен |
тирована вдоль |
вектора к. Чтобы о б о б |
|
щить этот результат, необходимо рас
смотреть |
поворот, |
который |
переводит |
|||
систему |
хуг |
в |
систему х"у"г". |
В по |
||
следней |
системе |
направление |
к з а д а |
|||
ется полярным и азимутальным |
углами |
|||||
9 и ф. Углы |
Эйлера, описывающие этот |
|||||
поворот,— 9i=0, |
8;= |
—9. 9з = |
— ф. |
|||
чить Ау, (г) в |
произвольной систе- |
||||
ме |
координат, |
необходимо |
обра- |
||
тать |
преобразование, |
указанное |
|||
в (2.54). Поэтому мы |
используем |
||||
(01, 02, Оз)-1 |
= ( - 0 3 , - 02, |
- 0 i ) |
|||
и |
получим |
|
|
|
|
|
^ ( г ) = 1^е^-'- = ( г ( 2 я ) ' / 2 |
X |
|||
|
X |
2 ( 2 Ж ) 1 / |
2 1 ' £ > ^ ( Ф ) 0,0) |
X |
|
X |
ІА; „(г;т) + |
іцА/ г ,(г; |
е)]. (2.106) |
||
Формулы (2.105) и (2.106) бу дут необходимы при изучении ис пускания и поглощения попереч ных фотонов, описываемых пло скими волнами, системой, имеющей угловой момент в качестве хоро шего квантового числа. Чтобы за кончить обсуждение этих формул, рассмотрим также случай |х = 0. Используя (2.104) и (2.65), полу чаем для к, параллельного оси z,
Л (г) = So ei k •r = -^-V є* • г = (4я)1 / 2 S (21 + 1) і / 2 i ' - i A i 0 (г; Ї). (2.107)
**
Вэтой главе основное внимание обращалось на те свойства по лей со спином 1, которые связаны с угловым моментом, и не рас сматривались другие результаты теории углового момента. Краткий
очерк последней представлен в Приложении А, а также дается в большинстве обычных учебников квантовой механики. Более подробное обсуждение можно найти в книгах Вигнера [355], Фано
иРака [126], Эдмондса [109], Роуза [288] и Бринка и Сэтчлера
[55].Так же как и в книге [287], в этих книгах представлены и ре зультаты, касающиеся электромагнитных мультиполей. Разложе ние векторной плоской волны по мультиполям дается, в другой форме в статье Герцеля [176]. Многие из важнейших статей по
теории углового момента перепечатаны в [38]*.
*Кроме указанных книг, часть из которых переведена на русский язык,
м.также [7, 90, 302, 368, 369, 376, 377, 391]. — Прим. перев.
ГЛАВА З
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Прежде чем переходить к обсуждению взаимодействия фотонов с ядром, мы должны тщательно рассмотреть два других вопроса электромагнитной теории. Первым из них является вычисление энергии взаимодействия для системы, состоящей из поля и заряжен ных частиц. Это будет необходимо, например, в квантовомеханических расчетах вероятностей электромагнитных переходов, так как в них входит квадрат матричного элемента от энергии взаимо действия. Вторым вопросом является описание рождения и унич тожения фотонов в различных процессах взаимодействия, для чего необходимо ввести специальный формализм, называемый вторич ным квантованием. При введении этого формализма нам будут очень полезны результаты предыдущей главы, где было установле но, что фотоны имеют спин 1. Таким образом, если принять обыч ную связь между спином и статистикой [216, 352], то можно ожи дать, что фотоны подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. В процессе применения лагранжева и гамильтонова подхода к элект ромагнитной теории при обсуждении вторичного квантования поля
можно будет легко рассмотреть и вычисление энергии |
взаимодейст |
|
вия поля с частицами. |
|
|
§ 3.1. Лагранжианы и гамильтонианы для электромагнетизма |
||
В классической механике лагранжиан L для системы частиц |
||
определяется как функция обобщенных |
координат |
qa (t) (s = 1, |
2, ..., N) и соответствующих скоростей qs |
(О*. ° н может явно зависеть |
|
от времени. Он строится как разность между кинетической энер гией и обобщенным или зависящим от времени потенциалом V : L — = Т — V. Лагранжиан удовлетворяет уравнению, полученному из вариационного принципа, т. е. требованию, чтобы действие
h
S= Jj L f o , q3, t)dt |
(3.1a) |
