Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 0
имело экстремум
65 = 0 |
(3.16) |
при независимых вариациях Sqs обобщенных координат. Соотноше ния (3.1а) и (3.16), известные как принцип Гамильтона, определяют движение системы в интервале времени от ti до t2. Поскольку
^ = 8 ( ^ ) = - | - . ( б а
имеем
N t,
|
|
^ |
J |
[dqs 4 S dqs dt |
4 S \ |
|
|
|
s = l |
tx |
|
|
|
|
N |
i2 |
|
N |
|
|
_ |
V |
Г \— |
rL |
= 0, |
(3.2) |
|
~ |
^ |
J U?8 |
Л |
<fy„ |
1 |
|
|
s = 1 |
<, |
|
s = |
|
где выполнено интегрирование по частям. Последнее слагаемое
здесь |
исчезает, |
поскольку |
при |
получении |
уравнения |
движения |
||||
в интервале |
от момента ti |
до t.2 |
предполагается, |
что |
координаты |
|||||
фиксируются |
в |
конечных |
точках, так |
что |
8qs (ti) |
= |
8<7S (t») = 0 |
|||
(s = |
1, 2, |
N). Поскольку вариации |
6qs |
произвольны |
и незави |
|||||
симы, то для момента t, взятого |
между t\ |
и £2 , подынтегральное |
выражение в (3.2) должно само равняться нулю. Отсюда получаем уравнения Лагранжа, которые описывают эволюцию системы в ука занном интервале времени:
_ 1 |
^ _ _ ^ |
L = 0. |
(3.3) |
dt |
dqs |
dqs |
|
Другим способом описания является введение гамильтониана системы и использование уравнений Гамильтона в качестве урав нений движения. Чтобы это сделать, определим канонический им пульс, соответствующий координате qs:
Р Л 0 = ^ . |
(3-4) |
oqs |
|
который, как видно из уравнений Лагранжа, удовлетворяет урав нению
^dt = |
dqs |
(3.5) |
Гамильтониан является функцией обобщенных координат, их сопря женных импульсов и, возможно, времени. Он определяется следую щим образом:
Ж (p., q„ t) = 2 Ps q~L (qs, q\, t) |
(3.6) |
s = 1
и в действительности является функцией только указанных пере менных (а не скоростей qs), поскольку с учетом (3.4)
N
Psdqs + qs dps |
dL , |
dL |
— — |
dqs—--dqs |
|
|
dqs |
dqs |
~ ^ d t = = |
s |
2 U»dP* |
— ЗГ"s |
d c ls |
dt |
dt |
|
= ! L |
dq |
|
Таким образом, из (3.7) и (3.5) получаем уравнения
дЖ |
• |
d&e |
— Ps |
|
dL_ |
• = |
<7в. |
- 7 — = |
dt ~ |
dtdt' |
|
dPs |
"" |
dqs |
|
(3.7)
Гамильтона
^
Еще одним способом описания движения классической системы является использование скобок Пуассона. Для любых двух функ ций динамических переменных F (ps, qs, t) и G (ps, qs, t) имеем
s = і Vd1s dPs dQs dps J
Удобство использования скобок Пуассона станет очевидным, если мы рассмотрим полную производную по времени, например, от F :
dt |
|
s = i |
Vd<7s |
dps |
J |
|
dt |
|
(\dF |
d&6 |
dF |
d&6\ |
. dF |
.„ |
m |
. . dF |
(3.10) |
s 2= l \ d q s |
dps |
dps |
dqs J |
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
Частным случаем соотношения (3.10) является
dW(ps. gs, t) |
. е д і |
д & |
_дЖ |
(3.11) |
|
dt |
' |
dt |
dt ' |
||
|
откуда следует хорошо известный факт, что если гамильтониан явно не зависит от времени, то он есть интеграл движения. Другие при меры скобок Пуассона:
qs = [4s |
Р.=1Р„ т |
(3.12а) |
[<7.(0, qs' (01=0 , |
[/>,(/), /7s-(01= О, |
|
|
|
(3.126) |
Вместе с соотношениями (3.126) в качестве вспомогательных соотно шений, которым должны удовлетворять правильно определенные координаты и сопряженные импульсы, уравнения (3.12а) дают уравнения движения системы. Важность скобок Пуассона обус ловлена тем, что они инвариантны по отношению к классическому каноническому преобразованию, и поэтому соотношения, выражае-
мые скобками Пуассона, имеют одинаковый вид для любого набора канонических переменных. Это свойство вместе со многими другими алгебраическими свойствами скобок Пуассона, общими со свойст вами коммутаторов, позволяет построить теоретический базис квантовой механики с помощью следующего соответствия:
FG — GF= і Ті [F, G], |
(3.13) |
где 2nfi — постоянная Планка. |
|
Таким образом, при построении квантовомеханической |
теории |
для описания динамической системы следует начать с нахождения лагранжиана такого, чтобы соответствующие уравнения (3.3) давали правильные уравнения движения для этой системы. Затем с помощью соотношений (3.4) и (3.6) необходимо получить сопря женные импульсы и гамильтониан. Уравнения движения даются
уравнениями (3.12), а применение |
соотношения (3.13) приводит |
к квантовомеханическому варианту |
теории. |
Начнем с получения классического лагранжиана для движения релятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле. Уравнение движения, которое описывает такую систему и которое требуется получить с помощью уравнений Лагранжа, имеет вид [см. (1.30)1
4 -,/ ' т =Я ( Е + - X Н V (3.14)
Мы рассматриваем здесь частицу с массой т и зарядом q, движущую ся со скоростью v. Электрические и магнитные поля Е и Н берутся в точке г (t), где находится частица. Как и в (1.4) и (1.5), введем векторный и скалярный потенциалы:
H = V x A , Е = — Уф— — |
(3.15) |
с dt
Тогда из (3.14) получим
d mv
I t yi—us/ca
v ( - w +
|
„ |
1 |
ЗА , |
v |
. . ' |
|
— Уф |
с |
— H — x ( V x A ) |
||
q |
|
at |
с |
|
, i . A ) - I - ( A + v . v ) A -
= v ( - , < p + » i . A ) - A d A , |
(3.16) |
|
где мы использовали |
|
|
dA (г (t), і) |
= ( | + v V ) A ( r ( 0 , 0 - |
(3.17) |
dt |
|
|
Таким образом, уравнение движения частицы, взаимодействующей с полем, можно выразить через потенциалы и импульс
р = ту/]/"1 — v2/c2 |
(3.18) |
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|||
|
d |
|
I |
mv |
- + i - A U v U - - ^ V ' A = 0. |
(3.19) |
|||
|
— , |
|
|
||||||
, |
dt |
|
Vl/l - f 2 /c 2 |
с |
) |
V |
с |
|
|
Из уравнения (3.3) следует, |
что подходящим лагранжианом яв |
||||||||
ляется |
величина |
|
|
|
|
|
|
||
|
L (г, v) = ~тс2 |
Yl~v2/c* |
|
+ i.v .A(r,0—<7<р(г,*). |
(3-20) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
Тогда канонический импульс принимает вид |
|
||||||||
|
p = V B L |
= Vl—о=/сг |
|
± A ( r , 0 |
= P + - А ( г , /). |
(3.21) |
Тем самым для нашей системы получено хорошо известное правило, что включение электромагнитного поля приводит к замене канони ческого импульса р на р + (q/c) А (г, t), где р остается, как гово рят, «измеряемым» импульсом. Конечно, поскольку в скобки Пуас сона (3.126) входит канонический импульс, необходимо, согласно рецепту квантования (3.13), заменить в классическом гамильтониа не р (а не р) на (ЙУ/)у для того, чтобы получить соответствующее уравнение Шредингера.
Действительно, гамильтониан имеет вид
У |
1 - я 1 •/с" |
-<7Ф |
(3.22а) |
|
|
и является здесь полной энергией. Хотя в (3.22а) мы записали га мильтониан как функцию от v, фактически он должен рассматри ваться как функция от р; более подробно
Ж(г,р)=с |
р _ Х А ( г , / ) + ( т с ) 2 } 1 / 2 +9Ф(г,0> (3.226) |
где для квантового случая р = {hiі) у . В случае поля, независящего от времени,
&2Є |
= 0 |
|
dt |
||
dt |
и полная энергия частицы в поле сохраняется. Для нерелятивистских частиц имеем
\Р\ |
Р - - Ї - А <тс, |
(3.23) |
|
с |
|
так что гамильтониан принимает вид
Ж (г, р) = mc2 + (р - - fA) 2 /(2m) + <7Ф- |
(3.24) |
Первое слагаемое здесь является просто постоянной массой покоя частицы. Второе слагаемое содержит величину
(9 А)2 /(2тс2 ),
которая существенна лишь в процессах с двумя фотонами и поэ тому может временно не учитываться (см. § 4.5). Остающиеся члены имеют вид
M = qy—q--k |
(3.25а) |
с
и описывают взаимодействие заряженной частицы с одним фотоном. Для системы с плотностью заряда р (г, t) и плотностью тока j (г, t) формула (3.25а) обобщается:
РФ |
-J- j • AJ dr. |
(3.256) |
Выражение (3.256) дает совершенно правильную энергию взаимодей ствия плотности заряда и тока с полем. Но наше рассмотрение было до сих пор довольно ограниченным, поскольку оно относилось только к нерелятивистским частицам. Мы не будем сейчас обсуж дать следствия из формулы (3.226), так как на практике обычно требуется квантовомеханическое описание системы частиц, и фор мула (3.226) не является хорошим исходным пунктом для такого рассмотрения (см., например, [305, стр. 54—64]). В § 3.3 мы вернем ся к рассмотрению энергии взаимодействия частицы и поля, но исходя из рассмотрения динамики поля.
Поэтому обратимся теперь к изучению другой части нашей сис темы, а именно рассмотрим поведение электромагнитного поля для случая, когда имеются источники заряда. Для этого следует сначала обобщить для полей анализ лагранжианов, гамильтонианов и схе мы квантования. Рассмотрим плотность лагранжиана X, которая является функцией поля* i|) (г, /) и его первых производных по пространственным и временному аргументам, т. е.
ЭД, v^p, тю.
Тогда лагранжиан и действие будут выражаться формулами
L= |
5зд,.Уя|), |
tydr, |
(3.26) |
|
v |
|
|
S= \Ldt=\ |
\ X (яр, Щ, |
i)drdt, |
(3.27) |
<i |
U v |
|
|
где ti и t% являются конечными точками |
временного |
интервала, |
|
на котором мы изучаем «траекторию» поля. Рассмотрим |
вариации |
||
величин г|>, такие, что |
|
|
|
в ф ( г , У = 6я|>(г,*8 )=0. |
(3.28) |
* Для электромагнитного поля гр следует считать кратким обозначением компонент ф и А.