Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

координат. В то же время в уравнениях (3.32) имеется бесконечно много «координат», соответствующих значениям, которые яр (г, t) могут принимать на бесконечном множестве точек г. Чтобы обойти эту трудность, введем (см., например, [185]) в трехмерном про­ странстве ячейки 8rs . Эти ячейки должны быть настолько малы, чтобы поле яр (г, t) заметно не изменялось по г в интервале 8rs . Затем отождествим qs со средним от яр (г, t) на 8rs , a {dldrt) яр (г, £).— с (<7s+i — qs)lb (rs )[. Наконец, яр (г, t), усредненное .по интервалу

6>5 ! возьмем в качестве qs. Тогда выражение (3.26) заменится сле­ дующим:

Согласно (3.356) первое и пятое слагаемые взаимно уничтожаются. Четвертое слагаемое можно проинтегрировать по частям, а интег:

К этому уравнению можно добавить соотношения

Как и (3.13), все эти соотношения могут быть переписаны в квантовомеханическом виде, при условии что коммутаторы соот­ ветствующих функций динамических переменных заменяются скоб­ ками Пуассона, умноженными на величину iti. Это завершает для -случая полей цепочку лагранжиан — гамильтониан — скобки Пуас­ сона — квантование.

Теперь мы применим этот аппарат для квантования амплитуд электромагнитного поля. Физическую причину процедуры кван­ тования легко понять. Она возникает как следствие квантования механических величин в обычной квантовой механике, поскольку это квантование приводит к принципу неопределенности, который, в свою очередь, исключает возможность одновременного измерения положения и импульса, например, заряженной частицы. Однако Бором и Розенфельдом [46] было отмечено, что если электромаг­ нитное поле не квантованно, то можно использовать его для того, чтобы одновременно определить указанные параметры частицы. Поэтому в последовательной теории напряженности поля должны подчиняться соотношениям неопределенности, аналогичным соот­ ношениям неопределенности для частиц, а их уравнения движения должны соответствующим образом квантоваться.

При выполнении этой программы мы обратим основное внимание на электромагнитное поле в отсутствие источников. Соответствую­ щие рассуждения нетрудно обобщить на случай наличия источников. Кроме того, фактически все черты механизмов реакций, которые мы хотим обсудить здесь, можно рассмотреть с помощью резуль­ татов, полученных при квантовании свободного поля. Наконец, квантование электромагнитного поля при наличии источников, когда нековариантная поперечная калибровка не является полезной, в дей­ ствительности требует явно ковариантной схемы. Такой подход служит предметом самостоятельного обсуждения во многих книгах (см. список литературы в конце главы). Поэтому мы предпочитаем рассмотреть основные элементы квантования свободного поля, поскольку это представляет для нас наибольший интерес.

Рассмотрим электромагнитные потенциалы, удовлетворяющие условию поперечной калибровки в области пространства, в которой

нет источников. Из (1.16) и (1.19) видно, что можно взять скаляр­ ный потенциал ер (г, t) = 0, а векторный потенциал будет при этом Удовлетворять уравнению

Поля определяются с помощью этого потенциала следующим об­ разом:

Попытаемся описать динамические свойства свободного поля с по­

•от условия (3.46); впоследствии мы его введем для приемлемых ре­ шений получившегося уравнения движения для А. Имеем из (3.32)

чается уравнение (3.44). Из уравнений (3.45) следует, что плот­

и исчезает для свободных полей в вакууме. Тем не менее, величина X (3.47) имеет правильную функциональную зависимость от А, по­ зволяющую получить корректные уравнения движения для поля.

Установив, что (3.47) является надлежащей плотностью лагран­ жиана для электромагнитного поля, продолжим обсуждение вопро­ са о квантовании поля. Сначала, как и в (3.356), введем соответст­

Как можно видеть из (1.47), в действительности это—энергия электромагнитного поля. Гамильтониан более удобно записать