Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 185
Скачиваний: 0
через компоненты потенциала и их сопряженные импульсы
|
4 п с 2 я 2 + ^ - ( V x |
A)2 Jdr. |
(3.52) |
|||
Воспользуемся |
теперь |
соотношениями |
(3.13) и (3.43в), |
чтобы |
||
получить коммутационные |
соотношения |
для |
свободного |
поля, |
||
а именно |
|
|
|
|
|
|
[А] (г, t), Аг (г', |
t)] = |
[л, (г, t), щ (г', *)] = 0, |
(3.53а) |
|||
[А, (г, О, |
Щ (г', * ) ] = - _ |
- L . [А} (г, t), El |
(г', 01 = |
|
||
|
|
|
4лс |
|
|
|
|
= і й в Л б ( г ~ г ' ) . |
|
|
(3.536) |
||
Последнее коммутационное соотношение является источником не которого противоречия. Из него вытекает
[V-A(r, і), Е(г', t)] = |
— 4 я І he VS (г—г'), |
(3.54а) |
что нарушает условие поперечной |
калибровки у - А = 0, а |
также |
[А(г, f), V'-E(r', *)] = |
— 4яі7їсУ'6(г — г'), |
(3.546) |
что противоречит уравнению Максвелла \ Е = 0 в области, сво бодной от источников. Эта трудность возникает потому, что в со отношениях (3.53) мы молчаливо допускали, что имеются три неза висимые компоненты для А и я , тогда как в действительности усло вие поперечности ограничивает их число, и полностью независимы ми являются лишь две компоненты. Например, если рассмотреть решения (1.57) для данного волнового вектора к вместе с условием (1.58), то компоненты А І И А% могут быть взяты независимыми, а для третьей компоненты условие поперечности дает
А3= |
~ |
(&! Ах + fe2 |
А2 ), я 3 = |
і - {kx % + fcaя2): |
(3.55a) |
||
|
«з |
|
|
|
|
«з |
|
Поскольку А и |
А2 |
и |
я ь |
я 2 |
удовлетворяют соотношениям |
(3.53), |
|
то мы должны |
иметь |
|
|
|
|
||
|
Из, |
я 3 ] = |
( к 2 / ^ - 1 ) і й б ( г - г ' ) ; |
(3.556) |
|||
что противоречит (3.536). Способ исправления соотношения (3.536) теперь совершенно ясен. Мы должны заменить правую часть сим метричным тензором, дивергенция от которого как по г, так и по г' равна нулю. Вместо соотношения (3.536) постулируем модифи цированное коммутационное соотношение
|
lAj(r,t), |
я, (г',*)] = |
|
= і й { в й в ( г - г ' ) - ^ - ^ - - - А |
- — Ц - \ = іПб*ц(г—г'). (3.56) |
||
[ |
4л |
drj dri |
I г —г' IJ |
Величина 8j[ (г — г') в фигурных скобках в правой части назы вается поперечной дельта-функцией, так как она обладает свойст вом
2 |
т - б { , ( г - г ' ) = |
±6 |
( г - г ' ) + А б ( г - г ' ) = 0. |
(3.57) |
j |
orj |
дгі |
дп |
|
Здесь использованы уравнение (1.26) и свойства симметрии дельтафункций по г и г'. Те же свойства симметрии могут быть исполь зованы, чтобы показать:
Если теперь рассмотреть соотношения (3.54), то с помощью моди фицированного коммутационного соотношения (3.56) нетрудно
получить |
|
[V-A (г, t) Е (г', /)] = [А (г, і), V • Е (г', t)] = 0, |
(3.58) |
как и должно быть.
Однако оказывается, что новое коммутационное соотношение приводит к новой трудности. А именно, мы видим, что А (г, t) и я (г', 0 не коммутируют, даже если точки с координатами г и г ' как угодно далеко удалены друг от друга. Это кажется противореча щим принципу причинности, который требует, чтобы измерения, выполненные в двух точках, разделенных пространственноподобным интервалом, не влияли друг на друга. Но надо помнить, что
А (г, |
f) не является наблюдаемой величиной |
(хотя величина |
я = |
— Е/ (4 яс), разумеется, является таковой), |
и поэтому мы |
должны исследовать коммутаторы для полей; в результате получим
[Е, (г, |
0, Ek (г', |
*)] = (4яс)2 |
(г, t), nk (г', /)] = 0 , |
(3.59а) |
|
[Я, (г, t), |
Hk |
(г', 01 = |
[(V X А (г, t))h |
( V х А (г', t))h] = 0 |
(3.596) |
и |
• |
|
|
|
|
\Hj (г, t), Eh (г', t)] = - 4 я с [2 БЛПР т - АР (г. 0 % (г'> 0І =
L тр |
агт |
і |
= - 4 я і %с 2 в , - , A - {б р й б ( г - г ' ) - £ A |
= |
|
тр |
|
(3.59B) |
Anihcsjhm^-8(r~T'). |
|
|
д |
|
|
дг то |
|
|
В силу свойств полностью антисимметричного тензора sJkm |
в правой |
|
; части последнего равенства т может принимать лишь одно значе-
ниє для данных / и k. Как следует из соотношения (3.59в), измере ния напряженностей поля, которые являются действительно на блюдаемыми величинами, влияют друг на друга в один и тот жемомент времени только тогда, когда измерения выполняются в од ной точке.
Разложим теперь |
А и я по плоским волнам, которые |
мы рас |
|||
сматривали в § 1.3. Для этой цели |
воспользуемся функциями |
||||
(1.57): |
|
|
|
|
|
А (г, /) = |
2 |
2 |
[акХ (t) икХ |
(г) + q+ (t) и*, (г)], |
|
М |
" - |
° > К = 1 |
' 2 |
|
(3.60а) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
u k X |
= L - 3 / 2 e ^ e « k T . |
(3.60б> |
|
Новый индекс К обозначает состояние поляризации поперечной волны и поэтому может принимать два значения. Эти функции нор мированы в объеме L 3 следующим образом:
J upv (г) -и1 Л (г) dr = 8кк. |
8КУ. |
(3.61) |
Коэффициенты разложения qkx (f) и pk?L |
(t), которые, |
вообще го |
воря, могут быть операторами, входят в разложение вместе со своими эрмитово сопряженными величинами qfa (t) и pja (t). Поэ тому операторы А и я эрмитовы. Суммирование по к в (3.60а) огра ничено одной полусферой в ^-пространстве, так как эрмитово со пряженные величины автоматически учитывают вторую полусферу, поскольку ( — к) включено в и'кх. В дальнейшем мы будем это обозначать с помощью штриха у символа суммирования.
Сами операторы разложения qk% и рк% могут считаться обоб щенными координатами и соответствующими сопряженными им пульсами, так как они дают вклад в А и я с данным импульсом к и данным значением поляризованного состояния %. Поэтому есте ственно квантовать их в духе двух соотношений (3.12в) и (3.13).. Рассмотрим
= ІРіа. (0, AVv Wl = IPux (0. P&v (0J = 0. |
(З-6 2 *) |
I W ) . Pw«)]=0 |
(3.626) |
и |
|
KW<0. P k \'(01 - [9 k t(0 , P k , v Wl = ift6kk'6 u .. |
(3.62B) |
Вместе с выражениями (3.60) эта коммутационные соотношения* сразу же приводят к соотношениям
и |
[А} (г, t), А г (г', /)] = |
[JIJ (г, t), |
я, (г', t)] = 0 |
(3.63) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Aj (г, t), |
я, (г', 01 = |
|
|
|
= |
2 ' |
2 {(uk(r))y(uk .v (r'))/[<7k t(0, |
/ W ( W + |
|
|||
|
+ k * . « ) / |
k , ? / (г'))/ [<7kX (о. |
|
w i I = |
|
||
= 7T |
2' |
2 |
(е к^(е.а); [е^-(г--г) |
+ |
е - ; к . ( г ' - г ) Ь |
( 3 6 4 ) |
|
|
к |
7t=I,2 |
|
|
|
|
|
Суммирование по состояниям поляризации выполняется так. Рас смотрим тройку единичных векторов, таких, что третий вектор на
правлен вдоль к (он обозначается |
е к з = к/|к|), |
а двумя |
другими |
|||
векторами являются |
є к 1 и е к 2 . Тогда |
|
|
|||
|
|
з |
|
|
|
|
2 |
(&кк)і(вкі)[= |
2 (skK)j(skX)i |
— (єк з )7 -(єк з ), = 6 Л — k j ^ / k 2 , (3.65) |
|||
поскольку величины |
єк я (A, = |
1, 2, |
3) образуют |
полный |
базисный |
|
набор в трехмерном пространстве. Этот результат выражает усло вие поперечности (3.46) и (1.58). Тогда получаем для коммутатора
[А, (Г, t), Я, (Г', 0]=2j2 ( |
^ ~ ^ ) |
[ e ' k - ( r ' - r ) + e - l k . ( r ' - r ) 1 = = |
|
= — У (а Л |
|
e ik-(r'-r). |
( з.бб) |
£3 ь V |
'f e 2 |
дп) |
|
В последнем выражении устранено ограничение одной полусферой при суммировании по к и опущен лишний член, включающий — к. Первая сумма в (3.66) вычисляется просто:
L 3 ^ |
J (2л)3 |
V |
' |
V |
' |
* Заметим, что написанные коммутаторы являются соответствующими коммутаторами для комплексных динамических переменных, так как если мы разложим q и р на эрмитову и антиэрмитову части, каждая из которых удовлетворяет коммутационным соотношениям, полученным из (3.126) и (3.13), то будем иметь
<7 = |
(</i+i<7a)//l, |
p = ( p 1 + i p 2 ) / / 2 , |
[?• Р + 1 = ~ ІЯі+ |
Щг- Pi—іРз]= |
~Y [<7i, P\\-¥ ~Y [?2. Pa] = Hi. |
