Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 188

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Вторая сумма вычисляется, если учесть, что в пределе большого объема L 3 из (3.67) следует

V 2 у _ 4 я _ e i k . ( r ' - r U _ 4 j t 6 ,

„

к

 

С помощью уравнения (1.26) можно, таким образом, отождествить рассматриваемую сумму с функцией Грина для уравнения Пуассона:

J _

у

i ^ L є'" • ( r - r ' j

1

.

( 3 . 6 8 )

 

k

 

 

'

 

 

Тогда равенство

(3.66)

сведется к

правильному

«поперечному»

коммутационному

соотношению

(3.56)

 

 

 

[ЛІ (г, t),

яг (г',

0] =

i&8'»(r-r').

 

Такой результат следует из выбора коммутационных соотношений

(3.62) для

и ркХ и из формулы (3.65), выражающей условие

поперечности. Это подтверждает, что модификация

коммутацион­

ного соотношения из (3.536) в (3.56) в действительности

является

лишь способом правильного учета условия поперечности

у - А = О,

а не изменением схемы квантования, описываемой

соотношениями.

(3.126) или (3.43) и (3.13).

 

 

С помощью

вырансения для потенциала А можно теперь полу­

чить величины, представляющие интерес с физической точки зрения. Из (3.60) и (3.60а) имеем

Е(г, 0 = — 4 я с 2 '

2

lPM(t)"kx(r)+ph(t)ufo(r)l

(3.69)

 

 

 

к

Л = 1 .2

 

 

а из (3.45) и (3.60)

 

 

 

 

Н(г,

0 = і Ц '

2 [ ^ ( 0 ( к х и и ( г ) ) - д к \ ( 0 ( к х и ^ ( г ) ) ] .

(3.70)

 

к

Я =

1 ,2

 

v

 

 

Тогда

из (3.51)

и (3.61)

получаем

гамильтониан

 

 

ЗЄ = ~ 2 '

2 К 4 п с ) 2

Рйх (0

(') + к г 9& (0 <7u (01 •

(3-71>

 

4 з г

к

Я

 

 

 

 

Воспользуемся

соотношениями (3.12а), (3.13) и (3.71), чтобы

полу­

чить уравнения движения для 9ia (t) и ркх (t). С учетом (3.62в) имеем для коммутаторов

?кл=гт[<7кх,

Ж]=4пс*ркК

(3.72а>

и

їй

 

 

 

 

 

Л * =

[Ркя,

= — < 7 к я -

(3.72б>

Взяв второй раз производную от первого соотношения и подставляя в него второе, получаем

4кх = ~k2czqkK=—mqk},,

 

(3.73)

где coft = kc. Решения этого

уравнения имеют

вид

 

(t)=bkX

е - і и * ' + bit є' а * '

,

(3.74а)

где bki и b'k£ —две операторные константы. Из (3.72а) получаем

Рк*(0 =

-4^7

( ^ e " l B f

t ' - Ь ' £

^ к ' ) '

( 3 - 7 4 6 )

 

4яс2

 

 

 

 

 

Величины bkji. имеют

вид

 

 

 

 

 

bki = -^-(qkx + ^1^-

Рк-Л

 

,

(3.75а)

 

2 \

сой

/<=о

 

 

бкяГ = - ^ - f <7кх.—І£И£1РкЛ

 

 

(3.756)

и удовлетворяют соотношениям

[би, б £ а/] = [бкх, Л » ] = —

бкк- бяя-.

(3.76)

Чтобы избавиться от коэффициентов при дельта-функциях в правой части этих коммутационных соотношений, определим новые опе­ раторы

а^ =

— л/~?tbkx,

a k = — і / - f ^ b k ,

(3.77)

 

с

y

2nh

с

У

2лй

 

которые удовлетворяются

соотношением

 

 

 

 

 

[ак%, aiJ"'я,'] =

[ak, ajIV] =

6k k <8Я х<

 

(3.78)

(все другие пары равны нулю). С помощью

этих

операторов по­

лучаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А(г,*) = с 2 '

2

l

/

—

{ k ? . e - i u > f t ' + a u , + e i a ^]u u ,(r)

+

 

+ [ а Й . е , в * Ч а к » . в - , в * ' ] и г Л ( г ) } ,

 

(3.79)

я ( г , 0 = — У '

2

і / Г ^ і [ - ^ , е - ^ Ч « к . +

е і и ^ ] ц к , ( г ) +

 

+

[ай.є1 "*'—aix е-1 "*'] иїя(г)}.

 

(3.80)

75

Отсюда видно,

что можно

отождествить

с а-.^% и

написать

 

А ( М ) = С

У У l / ^ X

 

X

( а к х и к і , ( г ) е - і ш ^ + а Й . и ^ ( г ) е і и ^ ) ,

(3.81)

X ( - a k ? . u u ( r ) e - i f f l ^ + a k t u ^ ( r ) e i ( 0 ^ } ,

(3.82)

где суммирование по к теперь включает все /г-пространство. Тогда выражение (3.71) принимает вид

#

= 2 ' 2

^ ( « k \ ^

+ a,'a ak ? t)

=

 

 

к

Я,= 1.2

 

 

 

=

2 '

2

^<»ft (aife«к*. +

а'ы +

1).

(3.83)

 

к ? к = 1 , 2

 

 

 

 

Здесь мы воспользовались коммутационными

 

соотношениями

(3.78). Устранив ограничение на суммирование по к, получим

 

5Sf =

2

2

1/2).

 

(3.84)

Первый член содержит величину а&Окги которая, как мы увидим, ^считает» число фотонов с данным волновым вектором к и поляри­ зацией К. Каждый из них дает вклад в полную энергию, равный энергии Планка %<лк = tick. Член

2

2 '

—fi^-^fick

к

X=l,2 z

к

является неудачным результатом теории. Эта бесконечная энергия обусловлена энергией нулевых колебаний гармонического осцил­ лятора для каждого из бесконечного числа фотонных состояний. Она не будет представлять для нас каких-либо особых трудностей, поскольку эта величина является просто общей аддитивной кон­ стантой энергии. Ее можно исключить, если перенормировать энер­ гию поля так, чтобы отсчитывать все энергии относительно этой величины. Тогда

Ж = 2 2 & c o A a i W .

(3.85)

к Я,= 1.2

Аналогично из формулы (1.39) можно получить импульс поля. В соответствии с (3.45), (3.50), (3.81) и (3.82) имеем

р№м = _ J L j E

(Г | t)x

н (r, t)dr = — Jjt (r, t)x

(V x A (r, f))dr

=

= 2

2

U k K W + l ) = 2 2

U k a k W ,

(3.86)

к X = l , 2

к *,= 1,2

где на этот раз постоянный член исчезает без каких-либо предполо­ жений, так как различные противоположно направленные волно­ вые векторы компенсируют друг друга:

2 & к = 0.

к

Формула (3.85) приводит к заключению, что каждая компонента свободного поперечного электромагнитного поля с волновым век­ тором к и состоянием поляризации X обладает энергией h(ok, чтосоответствует квантовым гипотезам Планка и Эйнштейна. При этом,, как следует из формулы (3.86), каждая компонента будет иметь им­ пульс (hah/c) k = fik. В свете квантовых гипотез эти выражения также наводят на мысль, что роль оператора а^а-кх заключается в том, чтобы давать число квантов в каждом состоянии (k, X) при действии на вектор состояния, описывающий поле.

Рассмотрим теперь формализм, который используется для описа­ ния распределения квантов и их рождения и уничтожения.

§ 3.2. Вторичное квантование: представление чисел заполнения

Мы закончили обсуждение квантовых свойств свободного попе­ речного электромагнитного поля, выражаемых в основном форму­ лами (3.81) и (3.85). Однако необходимо рассмотреть, как операторы йк%, входящие в разложение потенциала А по полному набору сос­ тояний, описывают динамические свойства поля. Эти операторы ком­ мутируют друг с другом, за исключением одного существенного случая

[ah at] = 8n.

(3.87)

В выражении (3.87) мы используем более компактные обозначения,, чем, например, в соотношениях (3.78). Единственный индекс / обоз­ начает индексы (k, X), которые входят в эти соотношения; в более общем случае он может обозначать любую комбинацию индексов,, описывающих элементы полного набора состояний, по которым выполняются необходимые разложения. Введем также билинейные комбинации операторов а,-, которые будем 'называть операторами: числа частиц

Nj = af aj

(3.88)

и оператором полного числа частиц

(3.89)

где суммирование проводится по всем состояниям, входящим в наш полный набор.

Из (3.87) и (3.88) легко получить, что

 

 

 

[Л/у, а,] = [af а},

а,] =

af

[aJt

аЦ + [af,

а,] а} = —cij 8]Ъ

(3.90a)

[N]t

at]

= af

[ah

at] + [at, at] aj = at 8}l

(3.906)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

[Nj,

Nt] = at [Njt

аЦ + [NJt

at] at =

 

 

 

= (—afaj

+ af a}) 8l}

=

0.

(3. 90B)

Определим теперь

пространство,

в котором

действуют операторы

aj и Nj. Из соотношения (3.90в) ясно, что можно определить ортонормированный базис, в котором одновременно могут быть диаго-

нализованы все операторы Nj,

а их собственные значения щ можно

использовать для обозначения

этих базисных

векторов:

 

 

Nj\nlt

я,, п3,

tij, ...>=ni |/?1 , nit п3,

nj, . . . ) .

(3.91а)

Для

краткости обозначений будем часто называть набор

п°,

п3,

tij,

...,} просто

tij, так что

 

 

 

 

 

Nj\tij)

= ,ij\nj).

 

(3.916)

Тогда, если \iij) — конкретное состояние и мы строим с его по­ мощью состояние at \щУ, то, как следует из (3.906), это соответст­ вует состоянию, в котором j-e собственное значение увеличивается на единицу, т. е.

Nj (at

I rij}) = (Nj at-at

Nj) | щУ + at

Nj | n,>

=

 

=

af

I n,> + tij at I n;-> =

(iij + 1) (af

| л , » .

 

(3.92a)

Состояние

ujltij}

имеет собственное

значение

tij — 1,

так как

 

Nj as І п3У = (Nj aj—aj

Nj) | n;-> 4-а,- N} \ ti}y

=

 

 

 

 

= (nt— l)aj\tij-).

 

 

(3.926)

Чтобы получить нормировку этих

новых состояний,

запишем

 

 

 

а / " К > = с + К + 1 >

 

 

 

и заметим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

I с +12 = <ni I aj at I nj> = <nj I (af % + 1) I fy> =

+

1;

аналогично

соотношение

 

 

 

 

 

 

дает

 

 

a/| /г7-> =c_

|/г^—1>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I с- І» =

</г; I

a, І /г,-> = %

 

 

 

лоэтому для данного выбора

фаз получаем

 

 

 

 

 

 

аЛл7> = * Ч + 1|л; + 1>,

 

 

(3.93а)

 

 

 

аЛп;> = Ул7|л, — 1> .

 

 

(3.936)

Собственные значения nj положительны или равны нулю, так как.

tij = <nj I N} I nj> = (nj I of a} I n; > = fa I n , » + f a |

> 0. (3.94)

Отсюда следует, что rij — целые числа, поскольку если бы они не­ были таковыми, то, многократно действуя оператором согласно (3.936), мы каждый раз понижали бы п3 на единицу до тех пор, пока оно не стало бы отрицательным. Целочисленность величин устраняет это неудобство, так как после л,-кратного действия опе­ ратором а.] на | rij} получаем

"а, "з,

0у, ...> = 0.

(3.95)

Состояние, для которого действие всех операторов в соответст­ вии с (3.936) дает нулевой результат, называется вакуумом электро­ магнитного поля и обозначается |0>. Для него

а, 10) = 0, N} 10) = 0 для всех /.

(3.96)

С помощью вакуума мы простым образом можем построить про­ странство векторов, в котором действуют операторы UJ и af. На­ пример, состояние

Y=af |0> = |01 , 02 , 0 3 , ... , !, ... > (3.97)

является нормированным состоянием, имеющим нулевое собствен­

ное значение для каждого

оператора

Nj, кроме /-го, для

которого

nj = 1. Мы постулируем,

что (3.97)

соответствует одной

частице

в состоянии, описываемом волновой функцией uj (г). Для операто­ ров, используемых в § 3.1, это состояние имело бы вид

- ^ - а & | 0 > = | 0ьіКі, 0 к 1 я 2 ) 0 k l 3 l l , 1 Ь Х , ...> (3.98>

и соответствовало бы наличию одного фотона в состоянии с волно­ вым вектором к и поляризацией X. Как видно из (3.85), (3.88) и (3.916), оно имеет энергию hah = tick, так как

Ж

(ак 10» = iia>h (а& 10» = tick (ай | 0 » .

(3.99}

Как следует из

(3.86),

оно имеет импульс %к, так как

 

 

Pfield

(о& 10» = tk fa\ 10».

(3.100)

В дальнейшем это состояние характеризуется обычными

волновыми

функциями UkA, (г) (3.606).

Разумеется, если бы мы интересовались только одночастичным» или однофотонными состояниями, то операторы aj и а* были бы не очень полезны. Их удобство становится более очевидным, когда нужен формализм, описывающий изменение числа имеющихся фо-

Смотрите также файлы