Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 187
Скачиваний: 0
тонов, или, например, при рассмотрении двухчастичных состояний. Эти двухчастичные состояния могут быть двух типов:
|
-±=-af |
at |
10> = |
10Ъ |
02 ї |
0„ |
2,, ...> |
(3.101) |
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 1 - |
|
at |
at |
I 0> = |
|
|
|
|
|
|
|
У 1! 1! |
|
|
|
1 |
|
|
|
= | 0 l t |
0o, 03 , |
.... lj, |
0;+ 1 , 0U2,... |
, 1„ ...>. |
(3.102) |
|||||
Согласно |
(3.93a) оба эти состояния |
нормированы. Они имеют одни |
|||||||||
и те же |
собственные |
значения |
оператора |
полного |
числа частиц: |
||||||
|
N ( |
y f |
a t |
"Г\0>)=-y¥%atapat |
at\0) |
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
= 2 ( w a f | 0 > ) ' |
|
|
|||||
|
N (at |
at |
1 0 » = 2 a t a P |
ai |
^ |
10> = 2 (af at | 0 » . |
|||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
Состояние (3.101) соответствует симметричной двухчастичной нор
мированной |
волновой функции |
-j- |
[uj (г,) uj (u) + Uj (r2 ) Uj (ГІ)] = Uj (ГІ) »7- (r2 ), |
а состояние (3.102)—функции
у = - 1 " / (r i) u i ( r 2 ) + Щ (г2 ) и, (rx )l.
Симметрия между двумя частицами, которая подразумевается в фор ме записи последнего состояния в рамках аппарата вторичного квантования или более явно в волновой функции, является необ ходимой, поскольку мы имеем дело с системой частиц (или фотонов), удовлетворяющих статистике Бозе—Эйнштейна. В общем виде
нормированное состояние |
с собственным значением я = |
о п е " |
|||||
ратора числа частиц строится в виде |
|
|
|
і |
|||
|
|
|
|
||||
ft—Lr(atTj\0> |
= |
\n1,n2,n3, |
.... я ь |
...>. |
(3.103) |
||
В процессе перехода от вектора, |
описывающего |
rij частиц в /-м |
|||||
состоянии, к вектору, описывающему iij + |
1 частиц в этом состоя |
||||||
нии, мы используем оператор af, |
который |
называется оператором |
|||||
рождения; так как а,- уменьшает |
я,- на единицу, |
то UJ называется |
|||||
^оператором уничтожения |
или |
оператором |
аннигиляции. |
Проис |
|||
хождение названия для Nj оператор числа |
частиц очевидно, так |
||||||
как его собственным значением |
я;- является |
просто число частиц |
|||||
в /-м состоянии. Величины Яу |
называются |
числами |
заполнения. |
||||
S0
Матричное представление для рассмотренных операторов, соответст вующих у'-му состоянию, имеет вид
0 / 1 |
о |
о |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 0 / 2 " |
0 |
|
|
|
У Т о о |
о |
|||||
О О О |
|
Уз~ |
|
|
|
|
о ут |
о |
о |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
О |
О / 3 " |
о |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
Nj = af а} |
= |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||
|
0 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
Соответствующие векторы состояния для чисел |
заполнения П] = О |
||||||||||
1, 2, 3, |
имеют |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
' |
0' |
|
|
|
0' |
|
|
" (П |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0,> = |
0 . |
|1>> = |
0 |
|
\2j> = |
1 . |
|3,> = 0 |
||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
• . |
|
. |
: |
J |
|
|
|
|
|
|
Легко видеть, что оператор потенциала А (г, t) (3.81) в пред ставлении чисел заполнения уменьшает или увеличивает числа за полнения состояния на единицу. Очень часто требуется знать матричные элементы оператора А (г, t) между состояниями, в одном из которых не имеется фотонов (фотонный вакуум), а в другом имеется один фотон. Из (3.81) и (3.93) следует, что эти матричные элементы выражаются формулами
< Y l A ( r , / ) | 0 > = < 0 k l X l , |
0 k l J L l , 0 ^ , , |
lia, ...| |
A (r, t)\ 0>= • |
||
= |
cY |
2nh/mhиІх |
(r) e |
|
(3.104a) |
и |
|
|
|
|
|
<0 IA (r, t) I Y> = <0 IA (r, t) 10k> K , |
0 k l u , |
0k 2 X i , |
|
||
= |
c]/"2n^/co, [ ti u (r)e - і < в ь t |
(3.1046) |
|||
{Нормировка плоских волн, которая здесь появляется, отличается от нормировки в выражениях (1.57) и (1.65) на величину "/2 из-за того, что мы связываем положительные частоты только с процесса ми поглощения, а отрицательные частоты — с процессами испуска-
-4 Зак. 1193 |
81 |
ния.) В более общем виде получаем для переходов без участия фо тонного вакуума
</*ia+l |
| А (г, t)\nk%) |
= |
|
|
||||
= с УпкХ |
+ |
1 |
У 2nfl/coh |
и*к\ (г) е І Ш й ' , |
(3.105а) |
|||
<пь\— |
11 А (г, t) | пкхУ |
= |
|
|
||||
= с УпыУ |
|
2iik/(ah |
икХ |
(г) е - " " * ' |
, |
(3.1056 |
||
где величины Упкх + |
1 |
и У~пы |
суть факторы |
усиления |
для вы |
|||
нужденного испускания и поглощения, обусловленные наличием других фотонов с соответствующим волновым вектором к. Резуль таты, даваемые формулами (3.104) и (3.105), выражают главную цель введения формализма вторичного квантования. Они позволяют нам описать важнейшее свойство квантованной системы (в данном случае электромагнитного поля), а именно, что она может отдавать или получать энергию единичными порциями. Для электромагнит ного поля эти порции имеют величину fiwk, и они появляются в ап парате вторичного квантования в результате действия операторов рождения и уничтожения акх и ак%, входящих в А (г, f).
Прежде чем закончить рассмотрение формализма вторичного квантования, кратко опишем модификацию схемы квантования для системы частиц, подчиняющихся статистике Ферми—Дирака. В этом случае формализм должен учитывать антисимметричность многоча стичных состояний. Постулируем антикоммутационные соотноше ния для операторов рождения и уничтожения:
{a,, а,}= |
W , а,+ } = 0, |
(3.106а) |
К |
а,+ } = б Л . |
(3.1066) |
Фигурные скобки означают антикоммутатор
{А, В}=АВ+ВА={В, |
А}. |
(3.107) |
Легко видеть, что соотношения (3.106) содержат в себе принцип исключения Паули для фермионов, так как если мы попытаемся по строить многочастичную систему с двумя фермионами в одном и том же состоянии, то из соотношения (3.106а) получим
|
atat=—afaf |
= 0, |
(3.108а) |
|
a]aj=—a]aJ=0. |
|
(3.1086) |
В частности,] |
|
|
|
atat\nlt |
п2, п3, |
Qj, ...> = 0. |
(3.109) |
Антикоммутаторы (3.106) не представляют собой квантового аналога скобок Пуассона, как это было для соотношений (3.76) и (3.78), полу ченных из соотношений (3.536). В действительности они не имеют классического аналога, и суперпозиция величин а, не может быть
наблюдаемой величиной в отличие от соответствующей ситуации для фотонов, описываемой формулами (3.70), (3.74) и (3.77). Одна ко билинейные формы операторов а,- дают наблюдаемые величины. Например, можно ввести оператор числа фермионов
Nj=--afa}, |
(3.110) |
который в представлении чисел заполнения служит для описания числа фермионов в различных состояниях. Можно легко найти его собственные значения. Из соотношений (3.108) следует, что
N) = af aj af а} = af (1 —af a}) aj — afaj — Nj, |
(3.111) |
так что п / = iij и iij равны нулю или единице. Это соответствует правилам заполнения, определяемым принципом исключения Паули.
Явная матричная форма для операторов рождения и уничтоже ния фермионов может быть записана по аналогии с формой, полу ченной ранее для бозонов. Для /-го состояния она имеет вид
/0 |
1\ |
+ /0 |
0\ |
/0 |
0 |
Н о |
о ) ' |
fl'=4i |
о ) ' |
( о |
1 |
соответствующие векторы состояний для яу = 0, 1 даются матрицами
В заключение заметим, что при выборе схемы квантования много частичной системы, характеризуемой соотношениями (3.87) или (3.106), мы руководствовались теоремой Паули [267, 325 216], которая гласит, что для физически разумных случаев частицы с полу целым спином должны квантоваться как фермионы, а частицы с це лым спином — как бозоны. Предположения, требующие «разумных» физических свойств, заключаются в том, что энергия не должна быть отрицательной и что коммутаторы наблюдаемых величин, принадлежащих точкам пространства—времени, разделенным пространственноподобным интервалом, должны обращаться в нуль (причинность). Поскольку из гл. 2 уже известно, что фотоны имеют спин 1, то, не проводя более подробных исследований, мы смогли выбрать коммутаторы, а не антикоммутаторы в выражениях (3.56), (3.62), (3.76) и (3.78).
§ 3.3. Энергия электромагнитного взаимодействия
Как следует из формулы (3.20), лагранжиан взаимодействия заряженной точечной частицы в присутствии электромагнитного поля имеет вид
L ' = q Л . А (г, *) - ф(г, 0 |
(3.112а) |
с
4* |
83 |
