Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Это выражение справедливо, поскольку, согласно (1.20) и (1.21),

где выполнено интегрирование по частям во втором члене, кото­ рый теперь исчезает, так как в указанной калибровке у А = 0.

Чтобы получить полную энергию взаимодействия, следует объ­ единить выражения (3.114) и (3.121)

с

Этот результат получен для поперечной калибровки, и если сохра­ няется частный вид величины ф (г, t), использованный в (3.114), то полученное выражение несправедливо для других калибровок. Мы часто будем пользоваться формулой (3.123) именно в таком виде, ограниченном выбором определенной калибровки, поскольку если имеется только распределение тока, то кулоновская энергия не играет роли в изменениях состояний, описывающих систему «поле+ -)-частица». С другой стороны, результат (3.123) для Ж' является намного более общим, чем может показаться на первый взгляд. Чтобы в этом убедиться, удобно рассмотреть величину

которая появляется при изучении эффектов взаимодействия. Со­ гласно (3.1126) и (3.1а), она противоположна по знаку вкладу взаимодействия в действие S. Матричные элементы от V обычно используются в квантовомеханических расчетах вероятностей пере­ ходов. При этом осцилляторная зависимость от времени волновых функций поля и частицы приводит к закону сохранения энергии благодаря дельта-функции Дирака, появляющейся после интегри­ рования по времени. Далее, V является лоренц-инвариантной ве­ личиной, поскольку каждый из наборов величин (ср, j) и (Ф, А) — 4-вектор, и, следовательно, подынтегральное выражение (3.124) является скаляром, а элемент объема является инвариантом; V — также и калибровочно инвариантная величина, так как если приме-

нить преобразование (1.9), то получим

V- р ( ф — L - ^ - ) - - J - ( A + VA) drdt =

\ с dt I с

Здесь выполнено интегрирование по частям и использовано урав­ нение непрерывности для тока. При интегрировании по частям пред­ полагалось, что калибровочная функция Л выбрана равной нулю в конечных точках интервала интегрирования по времени. В системе покоя частицы с. учетом поперечной калибровки V принимает вид

что представляет собой интеграл по времени от кулоновской энер­ гии в рассматриваемой лоренцевской системе. Поскольку величи­ на V является инвариантом как относительно преобразования Ло­ ренца, так и относительно калибровочного преобразования, то она должна определять энергию взаимодействия при любом выборе системы координат и калибровки.

Обратимся теперь к применениям формулы (3.123) или (3.124) для расчета вероятностей' перехода при фото- и электровозбужде­ нии. В частности, мы начнем с обсуждения некоторых вопросов по­ глощения и испускания фотонов, для которых можно использовать поперечную калибровку и не учитывать кулоновскую энергию, т. е. использовать формулу (3.121). В дальнейшем мы должны будем ис­ пользовать аппарат вторичного квантования, развитый в предыду­ щих параграфах, особенно формулы (3.104).

*

**

Квантование электромагнитного поля в рамках приближений, аналогичных тем же, что и используемые здесь, обсуждается в кни­ гах Гайтлера [186, 187], Шиффа [302] и Бете [30]. Обширное систе­ матическое рассмотрение квантовой электродинамики, особенно ее ковариантных формулировок, дается во многих книгах, например в книгах Вентцеля [343], третьем издании книги Гайтлера [187], Боголюбова и Ширкова [48], Гамильтона [181], Мандла [238], Фейнмана [133], Ахиезера и Берестецкого [7], Швебера [305], Бьеркена и Дрела [42]*. Менее подробные, но интересные обсуждения имеются в книгах Дирака [99], Бенедетти [90], Газировича [154]**. Оригинальные статьи в этой области особенно ценны, многие из них собраны в [304]. Кроме того, следует указать статьи Гейзенберга и Паули [185], Ферми [128], Бора и Розенфельда [46].

*Большинство из указанных в этом разделе работ иностранных авторов переведено на русский язык. См., кроме этого, книги Бете, Швебера, Гофмана [390], Соколова [384]. — Прим. перев.

**См. также книги Берестецкого, Лифшица, Питаевского [370], Давы­ дова [376], Блохинцева [372]. — Прим. перев.

ГЛАВА 4

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ

Знание взаимодействия фотонов с заряженными телами, такими как, например, ядра, необходимо для расчетов вероятностей пере­ ходов, в процессе которых взаимодействующая система может перей­ ти из некоторого начального состояния в другие разрешенные для нее состояния. Рассмотрим, например, систему, состоящую из ядра и электромагнитного поля. В исходном положении она может на­ ходиться в состоянии, в котором ядро возбуждено (чаще всего с по­ мощью какой-либо реакции, механизм которой мы в данный момент не рассматриваем), но фотонов еще не имеется. В конечном состоя­ нии системы может быть ядро в более низком возбуждении или в ос­ новном состоянии и фотон с энергией, равной разности энергий двух состояний ядра. Нас может также интересовать конечное со­ стояние, в котором имеются два или более фотонов. Это соответст­ вует схеме распада ядра, содержащей каскад через одно или более возбужденных ядерных состояний, или наличию специфического правила отбора, в силу которого (обычно весьма малая) вероят­ ность испускания двух фотонов становится сравнимой с вероятно­ стью излучения одного фотона. Процесс, обратный процессу одно-

и имеется фотон, вызывающий возбуждение ядра. Можно рассмо­ треть также переход, в процессе которого ядро высвечивается через один из видов фотонного излучения, о котором мы только что гово­ рили. Особенно это необходимо в том случае, когда конечное состоя­ ние ядра для процесса возбуждения расположено ниже самого низ­ кого порога испускания частиц. Однако если конечное состояние ядра образуется в результате вылета ядерной частицы с ненулевой массой, то необходимо выполнить расчет сечения и для такого про­ цесса фоторасщепления.

Сначала рассмотрим лишь те процессы, в которых испускается или поглощается один фотон. Мы не будем также касаться ядерных реакций, которые предшествуют электромагнитному переходу или следуют за ним. Эти ограничения означают, что в главном порядке по константе электромагнитного взаимодействия е2/(&с) = 1/137,04 можно использовать ядерные матричные элементы, полученные из

энергии взаимодействия (3.121) в первом порядке теории возмуще­ ний. Оператор А в формуле (3.121) имеет матричные элементы, да­ ваемые формулами (3.104) для рождения или уничтожения однофотонного состояния.

Вероятность перехода в единицу времени (скорость перехода) дается «золотым правилом» зависящей от времени теории возмуще­

где оператор взаимодействия следующим образом выражается через оператор ядерного тока j (г, t) и оператор электромагнитного потен­ циала А (г, /):

стоянии ядро находится в состоянии В с большей энергией возбужде­ ния, чем состояние а. Соответствующий матричный элемент в пред­ ставлении чисел заполнения фотонов в явном виде дается формулами (3.1046) и (3.60):

Однако об операторе ядерного тока нам ничего не известно. В дан­ ный момент мы сделаем о нем лишь несколько предположений. Пер­ вым из них является то, что временная зависимость его матричных элементов является обычной для квантовой механики:

где Еа и £р — энергии ядерных состояний а и В. Далее, мы пред­ полагаем, что j (г, t) удовлетворяет уравнению непрерывности