Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 195
Скачиваний: 0
Однако для всех других членов входят координаты более чем одной частицы. Выделяя член с L = I, получаем
|
|
|
|
9^l |
= (~iyZef,il(R) |
|
|
+ |
|
|
|
|
||
+ 2 «і vis |
2 |
2 |
|
|
|
2 ( Н - 1 ) ! |
1/2 |
|
|
|||||
( - D |
L (2L+1)I |
( 2 / - 2 L + 1 ) ! |
X |
|
|
|||||||||
|
,• = 1 |
|
L = |
0M=:—L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X (l-LLl |
|
І ц - М М ц ) |
fLM |
(R) ^ |
/ - ^ - A I |
(r,). |
|
(4.42) |
|||||
Снова используя |
формулу |
(4.39) для пространственных |
сферичес |
|||||||||||
ких гармоник |
от аргумента |
R, можно |
написать |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(21+1)1 |
|
1/2 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2L+1)! |
(21—2L+l)!j |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X (l-LLl |
I u—АШи.) ^ |
ш (-Lr,) |
|
|
(і- 2 г у ) j + |
|
||||||||
|
|
|
|
|
/—1 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ^ 2 |
2 2 2 ( - ^ X |
|
|
|
|||||||||
|
|
j = l |
|
|
L=0M=—L |
Z / = |
0 |
Л Г = — £ / |
|
|
|
|
||
X |
|
|
(2/+1)! |
|
|
|
1/2 |
|
I ( і — Л Щ | Л ) Х |
|
||||
|
1)!.(2L' + |
1)! (2L — 2L' + 1)! |
(l—LLl |
|
||||||||||
L(2/—2L + |
|
|||||||||||||
|
Х ( І - і г Т | М - М ' Л 4 ' М ) ^ л і ' ^ г ^ X |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.43) |
|
В последней сумме |
члены с L ' — L согласно (4.41), также |
приво |
||||||||||||
дят к одночастичным членам для 1-й частицы. Эта сумма |
переписы |
|||||||||||||
вается в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 е * 1 ^ |
|
|
|
- < - 1 > ' ^ ( х г ' 1 + |
|
|
|
||||||
l—l |
L |
L— |
1 |
L |
|
|
|
|
|
(2/+1)! |
|
1/2 |
|
|
+ 4 я 2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
L(2 і—2L+1) 1 (2L'+1) 1 (2L—2L '+1)1 |
|
||||||||||||
L = 0M=—LZ.' |
= 0 |
Л Г = — L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X(l—LLl |
|
I [ i - M M | i ) ( L — L ' L ' L | M — M ' M ' M ) x |
|
|
|||||||||
X S W ( x r , ] o^i.—L'AJ—АС |
f - j 2 r >) ^ ' - ^ - « ( r f |
) J , |
(4.44) |
|||||||||||
где второй член был введен в процессе использования тождества (4.39), чтобы вновь выделить первый член из суммы. Подставляя
(4.44) в (4.43) и используя (4.27), получаем
|
|
° Ь - І |
[«. М - " І 7 ( - " ' |
+ |
л{^-)\у»(r.)+ |
|||||
|
A |
|
I — I |
L |
|
(2/^1)1 |
1/2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
2 |
* ^ |
2 |
2 |
. ( 2 / - 2 L + |
1)! I |
|
|||
|
г=і |
|
L = O M = ~ z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
xj[(2L + l ) ! r I / |
2 |
^ ( j r i |
) ^ _ ^ M ( j 2 r J - ) + |
||||||
- T - V ' t o ^ ' |
2 |
( - 1 ) L [ ( 2 ^ ' + 1 ) ! ( 2 L - 2 L ' + l ) ! ] ~ I / 2 x |
||||||||
|
X ( L — L ' L ' L ІЛ4—M'M'M) |
|
( - j r , j |
X |
||||||
|
|
X |
|
(-jj- 2 |
R J ) |
¥I-I»-M |
( r 4 ) J . |
(4.45) |
||
Коэффициент |
при |
|
(г,) в |
(4.45) является |
эффективным заря |
|||||
дом для |
^/-перехода. Для |
протонов |
он имеет |
вид |
||||||
|
|
|
ep=e±VLA-\y |
|
+ |
{-\y{Z-\)], |
(4.46а> |
|||
а для |
нейтронов |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
en=eZ{— |
1/А)К |
(4.466) |
|||
Для £1-переходов формулы (4.46) приводят к полученному ранее результату (4.35). В этом случае двухчастичные члены в формуле (4.45) не дают вклада. Однако в формулы для мультиполей более высокого порядка эти сложные члены входят. При этом нет причин, пренебрегать их вкладом [151]. Не существует простых не зависящих, от модели способов оценки указанных членов, так что концепция эффективного заряда полезна для мультиполей более высокогопорядка только постольку, поскольку хотят сохранить одночастичное описание перехода без какого-либо хорошего оправдания этого'приближения. Ситуация отчасти облегчается тем, что в эф фективный заряд мультиполей более высокого порядка, чем £1,. входит поправочный член порядка НА или еще меньше по сравнению- с обычным зарядом. Следовательно, такая поправка для тяжелых ядер очень мала. Во всяком случае эта погрешность не больше той,, которая возникает во многих расчетах электромагнитных перехо дов, выполняемых в рамках ядерных моделей, так как в них частовходит обрезание набора базисных функций ядра, которое дает типичную ошибку порядка \1А или больше.
Во многих случаях пытаются обойти влияние указанного обре зания введением совершенно другого понятия эффективного заряда. Новый «эффективный заряд» учитывает скорее конкретные эффекты
ядерной структуры, но не приводит к изменению характерных черт механизма возбуждения. Иными словами, его введение дает поправки к ядерным волновым функциям в матричном элементе перехода, но не поправки к оператору перехода. Эти эффективные за ряды полуфеноменологическим путем учитывают поляризуемость остова ядра. Их введение связано с тем фактом, что частица, движу щаяся вне остова ядра и претерпевающая при этом электромагнитный
переход, поляризует остов с помощью |
нуклон-нуклонных |
сил. |
При изменении состояния частицы может |
измениться степень |
по |
ляризуемости остова, что приведет к эффективному движению заря да, отличающемуся от того, которое имел бы невзаимодействующий нуклон вне остова. Эти эффекты могут быть учтены с помощью чле нов более высокого порядка в расчетах в рамках ядерных моделей, но они обычно весьма громоздки и поэтому не могут быть рассмотре ны достаточно надежно.
Вернемся теперь к доказательству формулы (4.39). Свойства неприводимых тензоров при пространственных перемещениях об суждались многими авторами [60, 289, 81]. Все они дают доказа тельства формул, подобных (4.39). Простой подход заключается в использовании обычного разложения плоской волны. Напишем
|
е н а - ь ) . г |
= 4 л 2 |
и |
( | а |
_ ь |
|г ) Y i i i |
( а С ь ) у^(?) |
= |
|
|
= еі а т |
_—ib-г = (4я)а 2 |
S |
iL'-LJL-{ar)jL(br)x |
|||||
|
|
|
|
|
LM |
L'M' |
|
|
|
|
X YL-M' |
(a) YUA |
(Ь) Yl-M- |
(?) УІм (?) = |
|
||||
= |
(4я)»2 |
2 |
2 |
' ( 2 L ^ l ) (2L' - M) 1 / 2 |
(L'LX |
I 000) X |
|||
|
L M |
L ' M ' gjt |
І |
4я (25?+1) |
|
|
|||
|
ш имSSM I |
|
|
|
|
|
|||
X [L'LX |
I M'MJl) |
\L'~L |
j L , |
(ar) j L (br) YVw |
(a) YLM |
(6) Y*SM (?). (4.47) |
|||
где мы воспользовались формулой (ПА.26а). Рассматривая случай малых г, когда приближение (2.98) справедливо для всех функций Бесселя в (4.47), и пользуясь ортогональностью функций Y ( г ) , •получаем
ji | a - b | V У,„(а— Ь) = 4 я У |
У |
(2L + 1)(2L4M) |
X |
|
(2Z*1)11 |
|
fif&. |
4я(2/ф1) |
1/2 |
/ М |
|
|||
|
|
|
|
|
X(L'LL | ООО) (L'Ll | M'Mv) iL'~L |
a L |
• Y L - W (а)Кш(Ь).
4 1 4 1 ' ( 2 L + l ) ! ! ( 2 L ' ^ l ) l ! w w
(4.48)
Левая часть содержит члены порядка г' и члены более высокого порядка, которые подавляются. Правая часть содержит члены, включающие разные степени г, начиная с г1, так как правило тре-
•угольника |
в коэффициентах Клебша—Гордана требует, чтобы |
1 ^ L + И. |
Коэффициенты при г1 должны быть одинаковы в обеих |
частях этого равенства. Поэтому, учитывая главные члены, получаем
для L ' = |
I — L |
|
|
|
|
|
|
^ ( a - b ) = V 4 n 2 ( - l ) L |
|
(2/4-1)11 |
•(2I+1)(2/—2L + 1) 1/2 |
||||
( ^ L + 1 ) ! ! ( 2 ^ 2 L + 1 ) ! ] |
2/4-1 |
X |
|||||
|
LM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (l-LLl |
I ООО) (l-LLl |
I р—ММ^&ш |
(b) |
|
(a), (4.49) |
||
Используя далее соотношения |
[288, |
стр. 47] |
|
|
|||
|
( / — Ш | 0 0 0 ) = |
?/! |
(2/—2L)1(2L)1 |
1/2 |
(4.50) |
||
|
|
|
(21)1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2/41)11/1 |
_ ± т |
л _ . |
т і , 2 |
|
(4.51) |
|
|
[(2/41)1]1 / 2 |
2' |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
лолучаем формулу (4.39)
§ 4,3. Правила отбора по изоспину
Электрический дипольный оператор возбуждения внутренних степеней свободы ядра выражается через эффективные заряды с по мощью формулы (4.35). Он может быть получен в виде, который бо лее отчетливо выражает некоторые из его свойств симметрии, если ввести протонный и нейтронный проекционные операторы в изоспиновом пространстве. Для этого определим протон как состояние
•со |
спином «вверх», а нейтрон — как |
состояние со |
спином «вниз» |
в |
пространстве состояний со спином |
1/2, которое и |
является изо- |
спиновым пространством. Третья изоспиновая матрица Паули при
действии на протонное или нейтронное состояние | р) |
или J п> тогда |
|||
дает |
|
|
|
|
|
т3 ІР> = ІР>, *з1">= — |л>- |
(4-52) |
||
Проекционный оператор для протонов имеет вид |
|
|||
|
Р + = | ( 1 + т 3 ) |
(4.53а) |
||
и удовлетворяет |
соотношениям |
|
||
|
Р + | р > |
= |
|р>, Р+ |/г> = 0. |
(4.536) |
Аналогично для |
нейтронов |
|
|
|
|
Р_ |
= |
± ( 1 - г 3 ) , |
(4.53в) |
|
Р_|р> = 0, Р _ | п > Н п > . |
(4.53г) |
||
