Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 205

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ния фотонов*, хотя для того, чтобы понять характер результатов, получаемых этим методом, мы в конечном счете будем учитывать лишь электрические дипольные переходы в неориентированных ядрах в отсутствие поляризации фотонов.

Поскольку при рассмотрении рассеяния фотонов мы должны обсудить как поглощение, так и последующее испускание фотона, то необходимо применять теорию возмущений во втором порядке. Вероятность перехода в единицу времени, как обычно, дается выражением

ш = - ^ | < П Л П О | 2 Р ,

(4.92)

где плотность конечных состояний р определяется формулой (4.11), в которой волновой вектор заменяется на к'. Будем считать ну­ клоны нерелятивистскими, тогда оператор перехода во втором по­ рядке теории возмущений можно получить из формул (3.24) и (3.25). Для этого следует выделить в фотонном рассеянии вклад, обуслов­ ленный томсоновским рассеянием. Последнее описывает взаимо­ действие фотона с ядром как целым, что приводит не к возбуждению внутренних степеней свободы, а к движению центра масс всего ядра. Оставшаяся часть взаимодействия относится к релеевскому рассеянию, в котором возбуждаются внутренние степени свободы ядра. Напишем**

Ж"=Жїт

+ Жш,

(4.93)

где Ж"с т описывает томсоновское

рассеяние, а Ж''tnt

— возбуж­

дение внутренних степеней свободы. Как и в (4.2), имеем в первом порядке по взаимодействию

Ж'ст=

l-^3(r,t)-A(r,t)dr,

(4.94а)

Ж'ш = — l - J j (г, t) • А (г„ t) dr,

(4.946)

где J — оператор тока центра масс. Операторы во втором порядке выражаются обычной формулой, которую необходимо исправить, чтобы учесть члены в (3.24), квадратичные по операторам фотонного поля:

 

Ж"ст = 2 Жст

У

Ш1т +

А2 ,

(4.95а)

*

Рассеяние фотонов с учетом лишь электрических дипольных

переходов

рассмотрено в работах [271,

127]. Обобщение на мультиполи более высоких

порядков сделано в [16, 317].

 

 

 

**

Детальное обсуждение

разделения

координат

центра масс и

внутрен­

них координат дано в работе [316]. Разделение в этой форме возможно только

в

длинноволновом

пределе.

S

З а к . 1193

ИЗ

где Л—масса ядра

(М ж AM) и

 

 

 

 

А

 

Ж"ш = 2 Ш ' ш F

Х%ІП1 р & +

У

е/ А2 (гу , /). (4.956)

 

 

;' =

1

Сумма по промежуточным состояниям в этих выражениях включает состояния п, описывающие различные внутренние возбуждения ядра и движение центра масс; Еп — полная энергия системы, со­ стоящей из ядра и электромагнитного поля. Поскольку операторы А в формулах (4.94) могут уничтожать и рождать один фотон, то состояния п или не будут содержать ни одного фотона, или будут

а

5

в

Рис. 4.3. Три слагаемых, дающие вклад в формулы

(4.95).

Д и а г р а м м а а включает оператор А-. В этом случае фотон уничтожается н снова р о ж д а е т с я в одной и той ж е точке. Д и а г р а м м а б описывает промежу ­

точные состояния п, в

которых нет фотонов, так что

в Еп

входит

лишь

энергия промежуточного состояния ядра £ у В случае в имеется два

фотона

и £ n = £ v

+lm+h(o'.

 

 

 

 

содержать два

фотона

(рис. 4.3). Кроме того,

в

формулах (4.93)

и (4.95) иренебрегается связью внутреннего движения и движения центра масс, осуществляемой через электромагнитное поле. Это возможно при условии, что потенциал заметно не меняется в объеме ядра, т. е. если kR -С 1. Если бы это условие не выполнялось, то член с Аг давал бы форм-фактор, создающий внутренние возбужде­ ния вследствие мультипольных переходов. Отделение движения центра масс больше не было бы полезным, и индентификация томсоновского рассеяния была бы значительно более трудной. Мы не

будем

рассматривать этих усложнений, ограничиваясь случаем

kR «

1.

Формулу (4.95) можно упростить, если учесть, что оператор тока центра масс в (4.94а) дается формулой

(4.96)

где Р — импульс центра масс. Поскольку мы считаем, что ядронаходится в покое в начальном и конечном состояниях, то этот член не дает вклада. Кроме того, слагаемое с А2 в формуле (4.956)

вообще мало, так как по отношению к первому слагаемому оно дает вклад порядка

(4.97)

где р — средний импульс нуклона, а А — оценка для знаменателя в (4.956). Вблизи интересующих нас резонансов в рассеянии фото­ нов последняя величина намного меньше, чем средняя энергия нуклона, поэтому параметр (4.97) очень мал и слагаемое с А2 в фор­ муле (4.956) дает вклад, которым можно пренебречь. Тогда из (4.93) и (4.95) получаем для Ж"

Матричные элементы А2 между однофотонными состояниями

легко получаются из формул

§ 3.2:

 

 

( / | А 2 | 0 = ( Р ;

к ' Г | А 2 | а ;

кЯ> =

 

.2

Ф х - •eia8a p<W.

(4.99)

<£>La

Здесь использованы формулы (3.60), (3.81)

и (3.93) и тот факт, что

конечное состояние центра масс близко к начальному

состоянию,

но не совпадает с ним. В формуле (4.99) также учтена

возможность

использования комплексных векторов поляризации для описания

фотонов с

круговой поляризацией.

 

Первое слагаемое в формуле (4.98) можно лучше всего для наших

•целей

рассмотреть, пользуясь для электромагнитного

потенциала

в Ж'іпг

из

(4.946) разложением по мультиполям (2.106) и переходя

к пределу

малых переданных импульсов, т. е. W «

1. С учетом

формул (3.104) это дает для матричных элементов, соответствующих

рождению или уничтожению

одного фотона:

 

 

 

 

 

<у;

0кк\Ж'ш}а;

М>

=

 

 

 

 

 

2я*с«\ 1/2

 

( ф к , 0к і 0) Жча

(k-LM)

 

(4.100а)

 

 

«і.8

/

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

ф;

к'Х'\Ж'ш\у,

0к -я-> =

 

 

 

 

2дйс 2 у /2

^

r^\.((pk.,Qk.t0)Ji^(k'-tL'M').

 

(4.1006)

 

0)L3

)

L'м

 

 

 

 

 

 

Здесь величина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•Муа

(k; LM)

=

 

Муа

(Ш;

el)

Муа

(Ш;

mQ

=

=

^т І тїї [ ( 2 L

+ 1 ) L

( L + 1

) ] ' / 2 < r

1 * ш {

г ) + Ш

ш м

1 a >

(4.101)

является суммой двух слагаемых (для поперечных мультиполей), даваемых формулами (4.71), (4.73)—(4.75), (4.77) и (4.78). С помо­ щью выражений (4.98)—(4.100) получаем

<f\ Ж" \ I) =-.Ш*±.

e u V • e U бар б и и - +

Мсо!3

^ £>лч'(фк', Qk', 0) DM% (фк , 0k , 0),

\2

(4.102)

где с помощью введения ширины Г учтено затухание промежуточных состояний у. Пользуясь свойством

D&\. = (- lf'~x' DL„._v

(4.103)

и соотношением [получаемым из (4.77) и (4.78)]

 

Л+а(£'; L ' M ' ) =

( — i f 4 " * '

Jtyaik'; L ' — M'),

 

(4.104)

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

</ \Ж"\ і) =

J ^ L

 

 

( - 1 ) ^ '

 

(/?,.) ба р 8ffla<

+

 

 

 

 

 

.М

 

wL3

 

 

 

 

 

 

 

,

2лДс2

V

V

V

^

WL'-K-

і Jffa(k'\

L ' M')Jtyg

(k;LM)

1 L s y ^ Z Z Z

{

~ [

)

j

_

, _

 

1

 

+

 

 

V

LML'M-

 

 

 

[

£а +

йш

 

 

 

 

 

 

(і; LM) Jlya

(*-; и «') ) D ^ - , _ v

{ R 1 D L

M

 

 

( 4 i 0 5 >

 

£a — lion' — I^Ey——— іГ-^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

R — поворот, описываемый

углами

Эйлера (фк, 6к ,

0), ко­

торый располагает ось квантования вдоль направления

налетаю­

щего

фотона,

R'

— соответствующий

поворот

для

испущенного

фотона и Rr

=

R^R'

(рис. 4.4). При получении формулы

(4.105)

мы использовали соотношение

8 k - v - 8 ^ = ( - l ) ^ ' Z ? I x - v (Rr),

(4.106)

которое может быть легко получено из (2.106) для г == 0. Дифференциальное сечение рассеяния фотонов получается иа

формул (4.11) и (4.92) после деления вероятности перехода w на

плотность

потока

налетающих

 

фотонов

clL3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

da

 

k'

 

І тгЯ'Х

2

 

 

 

 

 

(4.107)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ze)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jlc*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

2

 

( — l ) L ' ~ ^ '

(

 

(k'; L'

A4') Jtygjk;

LM)

_|_

 

 

 

 

H

 

Еа —Гш' — ^ £ 7

 

;

 

: — \ U M ' - % '

{K)DM>,{R).

 

(4.108)

 

 

 

 

— - j - іГ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула

(4.108)

отчетливо

демонстрирует

 

 

 

 

 

 

 

разделение амплитуды перехода на дина­

 

 

 

 

 

 

 

мическую и кинематическую части. Пер­

 

 

 

 

 

 

 

вая

заключена в фигурные

скобки и зави­

 

 

 

 

 

 

 

сит от специфических динамических свойств

 

 

 

 

 

 

 

изучаемых ядерных переходов. Эта зависи­

 

 

 

 

 

 

 

мость

проявляется

благодаря

появлению

 

 

 

 

 

 

 

электрических

и

магнитных

мультиполь­

 

 

 

 

 

 

 

них

моментов

заряда

и

спина

и

через

к.вь

 

 

 

 

 

энергии возбуждения и распадные ширины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ядерных состояний. Кинематическая

часть

 

 

 

 

 

 

 

определяется

матрицами

конечных враще­

 

 

 

 

 

 

 

ний и описывает чисто геометрические

Рис. 4.4. Повороты і?(Фк ,

свойства задачи

рассеяния.

 

 

 

 

 

 

Чтобы

рассмотреть

поляризацию

фото­

6k ,

0) и

Я'(Фк' . Є к ' .

0),

которые

располагают

ось

нов

и ориентацию

ядер,

введем

матрицы

квантования

вдоль

векто-

плотности

о1, Xі

для подсостояний

фотона

ров

к и

к',

соответствен

и ядра в начальном состоянии

 

и

матрицы

н о > и

п р в о Р ° т

Rr=R-'R',

Of,

ТІ

Д Л Я К О Н е Ч Н Ы Х

ПОДСОСТОЯНИЙ .

О Н И

вдоТв^тораТ'в

 

ось

будут,

конечно, обладать

обычными свой-

вдоль вектора

к',

 

 

ствами

матрицы

 

плотности

 

(см., напри­

 

 

 

 

 

 

 

мер,

[246,

стр. 280—283]

и

Приложение

В

к

этому

тому). Мат­

рица плотности для фотона имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< V = ( — l ^ c - i i c j ,

 

 

 

 

 

(4.109а)

где с+1 —компоненты

вектора поперечной

поляризации,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«кл

 

(c-xlxH-CaS-i),

 

 

 

 

(4.1096)

причем

с0 =

0.

Можно

записать

матрицу

плотности

также в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

о- = - ± - ( 1 + Р . в ) ,

 

 

 

 

 

(4.110а)

Смотрите также файлы