Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 210

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

недостаточным и оказывается необходимым переход к последова­ тельному квантовомеханическому описанию.

Существенным недостатком полуклассического анализа куло­ новского возбуждения является пренебрежение потерей энергии на траектории налетающей частицы. Если попытаться улучшить это приближение способом, который будет учитывать различия меж­ ду начальными и конечными параметрами, следует использовать

теорему

взаимности

[43]

 

 

 

 

 

 

 

 

{2Ji

+ \)kUi^

= {2Jf+\)k'}a^it

(7.40)

где

cf;_>f

и Of-+i — сечения

прямого

и

обратного

процессов, ki

и kf

— волновые числа налетающей

частицы для каждого из этих

процессов. Тогда для o^f

должно выполняться соотношение

 

 

 

o l 4

= ±Llf-F(i,f),

 

 

(7.41)

где

, f (і,

/) — функция,, симметричная

по

начальным

и конечным

параметрам.

 

 

 

 

 

 

 

Простой способ

симметризации

полуклассических

результатов

заключается в замене параметров а и \ выражениями

 

 

 

 

 

а — MviVf

 

 

(7.42)

 

 

 

£ _ ZlZie"- , J

 

1_

 

(7.43)

 

 

 

 

h

\ Vf

 

Vi

 

 

 

 

 

 

 

 

где vt и Vf — начальная и конечная скорости налетающей частицы Поскольку f (£) — четная функция §, выражения

d0EL^=

liXJi

 

ML'-

h L \

2

 

he

1

т — 2 L + 2 В (EL-

Ji-^Ji)dfEL(Q,

£),

(7.44)

E L a ~ 2 L + 2

B [ M

L . j.-+jf)dfML(Q,

I)

(7.45)

v.

 

 

 

 

являются симметричными. Кроме того, предположения (7.42) и (7.43) согласуются с формулами (7.10) и (7.31) в наинизшем порядке по (£р — £«)/£«•

Полуклассический результат может быть еще улучшен [39, стр. 37] с помощью дополнительной замены, которая вытекает из принципа соответствия для частиц в кулоновском поле. Это улучше­ ние заключается в замене числа Зоммерфельда ц = Mvalfi величиной

2 ( т і ? - » 1 ) К + 1 )

(7.46)

( ч ? - М ) 1 / 2 Ф ( г | | - М ) , / г

 

что, если выразить сечение (7.34) только через т), приведет к сле­ дующему выражению для OEL-

Л і

(ч! + 1)'/ ' + (г)? + 1

( 4 L —

6 ) / 3

А2

— 2 І . + 2

) ' / '

 

 

2(T]?+l)(Ti» +

l)

 

 

X

 

 

 

 

 

X В (EL;

Jt -> Jf)

 

 

(7.47)

 

(Z2

е) 2

 

 

 

Симметризация с помощью формул (7.42) и (7.43) дает выражения для полных сечений, согласующиеся в пределах нескольких про­ центов с результатами квантовомеханического рассмотрения, кото­ рое будет проведено в следующем параграфе. Это справедливо для значений т) ^ 3 и вплоть до £ = 2. Однако отклонения от квантовомеханических результатов при использовании формул (7.42) и (7.43) для расчета дифференциальных сечений могут быть велики, и в этом случае замена по формуле (7.46) может дать значительное улучше­ ние.

§ 7.2. Квантовомеханическое рассмотрение кулоновского возбуждения

При обсуждении кулоновского возбуждения с точки зрения кван­ товой теории удобно воспользоваться некоторыми из наших ре­ зультатов для электронного рассеяния. Будем рассматривать ядромишень фиксированным в процессе рассеяния, т. е. не будем учи­ тывать его отдачу, и расположим начало нашей системы коорди­ нат в центре заряда ядра. Поскольку при кулоновском возбуждении частица не проникает внутрь распределения заряда, то эффект элек­ трической монопольной компоненты в электромагнитном взаимо­ действии сводится только к изменению начальной и конечной вол­ новых функций частицы. Эти волновые функции мы будем брать

ввиде нерелятивистских кулоновских волновых функций. Матрич­ ный элемент взаимодействия, которое приводит к возбуждению ядра,

влоренцевской калибровке имеет вид [см. (5.22)]

<f\3€'\i> =

И е Г ° ' Г ~ Г Л < Р 1 П г ) | а > - Л ( г О -

 

с 2 J | г — г' I

 

- с з ; < р

| p'v (г) | а> р« (г')] dr dr',

(7.48)

где J (г') — ток перехода для налетающей частицы, рс (г') — соот­ ветствующая плотность заряда. Разложение функции Грина по мультиполям приводит к выражению (5.31). Поскольку в процессе кулоновского возбуждения заряд частицы не может проникать внутрь распределения заряда мишени, то членами с г' < г в (5.31) следует пренебречь, а нижний предел в оставшихся интегралах по

•пространству налетающей частицы может быть с хорошей точностью заменен точкой начала координат. Тогда

со

< / | Ж ' | 0 = - ^ 2 (

2

f <PlJ(0|o> - ALf(r;a)drx

 

С" LM *n= e, t, 111 о

 

 

CO

CO

 

 

 

X j J (f) • B L M (r';

a) d r ' - c 2

j <B | pN

(r) | a> / L (*0 r) YtM(f)

dr x

о

 

о

 

 

 

X

f ps (r') hL

(k0Ґ)

YLM

(r') dr'J

(7.49)

 

b

 

 

 

 

Используя формулу (2.65) для продольного мультиполя, интегрируя (7.49) по частям* и применяя уравнения непрерывности для токов мишени и налетающей частицы, получаем, что продольные и скаляр­ ные мультиполи взаимно уничтожаются. Матричный элемент взаимо­ действия принимает вид

 

(

Л

Г ]

! > _ І ^ 2

2

 

f < P l i ( r ) | a > X

 

 

 

 

 

 

 

 

с"

 

ш

ci=c, m jj

 

 

 

 

 

 

 

 

X AIM (Г;

 

CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

j

J (r') • В ш

(г'; a) dr',

 

 

 

(7.50)

SIли

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

</1 Ж' І О =

- 4 я

S

ТПГЛ- ( - DA f

«к/13?

M) | кг> X

 

X <B|gR(£L,-M)

І а > - < к , | 3 1 ( Ж ,

Л4) | к;> <р |

(ML,-M)|a>},(7.51)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9»ш (е) =

k?+i*{l"+1)

 

j

І (г) • V X L (/z. (A0 r) YLM

(r)) dr,

(7.52a)

 

WLM (m) =

- - i ^ ± i l ! L

f j (r) • L (/L (£0

r) K L M (r)) dr,

(7.526)

Ш '-л < (Є) =

,

 

,„,

f J

И • V

' XL ' ^

(*<>Г ') Г " <

d r

' '

( 7 - 5 2 b )

 

 

cL (2L— 1)!! J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

<ra> =-

, ? Г , „ ,

f J

(r ') • L '

 

( V )

^/.м (f'))dr'.

(7.52r)

 

 

 

 

cL (2Z.—1)1! J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы воспользовались формулами (2.84).

Вид выражений (7.52) вы­

бран так, чтобы в пределе малых потерь энергии, т. е. при k0R

<^ 1

*

Для отрицательно

заряженных

дираковских

частиц,

движущихся

в поле

точечного

ядра, волновые функции

имеют особенности

в начале

коор­

динат, что приводит к конечным поверхностным вкладам вблизи начала коор­ динат. В этом случае удобно выбирать так называемую «условную калибров­ ку» [287, 113], для которой поверхностные вклады равны нулю.

(что всегда имеет место для кулоновского возбуждения), с помощью (4.71), (4.77) и (4.78) можно было получить

и

( е ) = ^ifr1 1 1

]

/ ЇТі

1j{ r ) "А ш (г; е) d r ^ < i

Q l

m ( е )

( 7 - 5

3 а >

 

 

 

 

№ш(т)

. —> &LM (m).

 

 

(7.536)-

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

приведенные вероятности перехода

 

 

 

 

В (aL; Jt -> У,) = — ^ —

2

і <Р IШ ? " < (Q ) I «> Iя .

а = е> т >

( 7 - 5 4 >

совпадают в этом пределе с приведенными вероятностями

перехода,

входящими в

выражения (7.24) и (7.36).

 

 

 

 

 

Нерелятивистское

дифференциальное сечение

в

случае,

когда

не

учитывается

ориентация

ядер

мишени, может

быть

записана

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

da

 

 

 

 

 

—

V \(f\M'\i)\2dQ

 

=

 

 

 

= Т ? - - 2

2

 

f B ( S l \ ; J / ) 2 i < k / l ^ ( a ) l k

i > №

( 7 - 5 5 >

 

' VL

L n=c,[m

\

•> )

м

 

 

 

 

где состояния после акта рассеяния нормированы так, чтобы асимп­ тотически получить волну, описывающую одну частицу в единице объема.

Для нерелятивистских частиц при вычислении интегралов по пространству частицы можно воспользоваться длинноволновым пределом, поскольку

 

 

kr'=(r'2-)±<±

 

с

(7.56)

 

 

 

V I

С

 

(ибо для

r'a/v

> 1 взаимодействие

становится

почти адиабатиче­

ским и вероятность возбуждения

весьма мала). Тогда

 

 

hL(k0r)-^

- і

( 2

L ~ ' ) ! , ! .

(7.57)

Полагая,

что

заряд Zxe налетающей

частицы

находится в точке

Тр, имеем

из

(7.52)

 

 

 

 

' ,

 

3 ^ « ( е ) = - 4 т 7 ^ - ( г р )

(7.58а)

и

 

гр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ' № = ^ 1 р - У Р { ф г У ^ ( ї р ) ) .

(7.586)

Здесь мы не учитывали вклады, обусловленные магнитным моментом частицы. В случае электрических переходов эти поправочные члены (как можно видеть из (4.77)] имеют порядок величины (vlcf. Для ML-мультиполеії с г, > 1 в рассеянии участвуют большие орбиталь­ ные угловые моменты и вклад от членов, оставленных в выражении (7.586), преобладает над вкладом от магнитных моментов (см. (4.78)].

С помощью выражений (7.55) и (7.58) можно теперь написать

 

 

da =

V {daEL + йамь),

 

 

(7.59а)

где

 

 

 

L=\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

daEL=

(Z±Ya-SL+sB

 

 

(EL; Jt-+ Jf)dfEL(Q,

Ц і , §)

(7.596)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

daML

= [^Y'^a-^+*B(ML-

 

 

\Ji-+J1)dfML<P,

Щ, I).

(7.59B)

 

lie

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь а дается формулой

(7.42) и

 

 

 

 

dfEL

(Є, lit. S) = 7 ^ 7 « 2

L ~ 2

2 I <k ;1 '-P-L~'

Y ^

(rp)

І кг> p dQ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.60a)

dfML (6, ti„ I) =

^ ^ П Т

Г

2

I < k ; I L p • V p

( r ^ - '

Ym

(rp ))|k,) f»dfl.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.606)

Вид выражений (7.60) выбирается так, чтобы формулы (7.59) нахо­ дились в соответствии с полуклассическим результатом (7.32). Кро­ ме того, в пределе

T) i ,/ =Z 1 Z2 e2 /rit)i F / - » - oo

функции

dfEL(^,

Ч І , / , V) стремятся к классическим

функциям

MEL (9,

\) (7.33);

для магнитных мультиполей также

получаются

соответствующие результаты. В этом пределе параметр

адиабатич-

ности записывается в виде

 

 

 

1 = 4 / — П І ,

(7.61)

что согласуется с формулой (7.43).

 

 

 

Полное сечение кулоновского возбуждения получается

интегри­

рованием (7.59) по всем направлениям

вектора kf:

 

 

G E L = { ~ f a - 2 L + 2 B { E L

'

Ji-+J/)fEL(T)„

I),

(7.62a)

oML=(%LY

Х-а-^+іВіМЬ,

 

Ji-*Jf)fMLbM,t),

 

(7.626)

1

he J vt

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

f(T|i,6)= J d / ( e

^ '

' £ ) d Q -

 

(7 -62B)

Смотрите также файлы