Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 190

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

личина. В результате получаем оператор Гамильтона для слабого взаимодействия в ядре

h'=ути

2 e ~i k 'T j (t-}>- { -V i b t + 1 / г a - ( b + x k ) ~

_ ^ і Ь + ' (

Т + Ж " [ / і [ - ^ к . Ь + + 2 Ь + - р - і Д ( Т -

(к x b+)] +

4- і gi о•

( - U k W + 264+ P) + ^ 2 (e• k) (

b x }

б (r - r, - ) +

 

+эрмитово сопряженные

члены.

(9.53)

§ 9.3. Разложение по мультиполям

Оператор, который входит в гамильтониан (9.53), в ядерном пространстве имеет следующую структуру:

e~ i k - l r х (і ,

а, -Н- или

- ^ 4 .

(9.54)

[

Мс

Мс

)

Для первого и последнего из этих операторов достаточно рассмот­ реть обычное разложение по плоским волнам

е - * - г = 4 я 2

/,(kr) Y*m (к) К г т (?),

(9.55)

lm

 

 

имея в виду, что р не коммутирует с этим выражением. Для двух других операторов напишем

е-""•• й = 4 з х 2 і"' /, (Аг)К?»(k) Ylm (?) |* й й =

= 4я 2 i - ' A ( ^ ) 7 f m ( k ) ( Z l J | m [ x m + (i)g* Г л ^ + ^ . В ) , (9.56)

imp../

где |ц — сферические базисные векторы [см. (2.40) — (2.43)], а ве­ личины

ТЛ;М{т,

И) = ^(1и\М-\1цМ)УШ-А^)^

(9.57а)

 

и

 

являются неприводимыми тензорами. С помощью соотношения (2.48) эти величины можно также выразить через векторные сфери­ ческие гармоники, введенные при рассмотрении полей со спином единица:

(г) • Й.

(9.576)

В табл. 9.1 приведены тензоры, которые входят в выражения (9.54) — (9.57), а также указаны ранги изменения четностей л и порядки величин вкладов, которые дают эти тензоры. При

Ю З а к . 1193

273

Т а б л и ц а

9-1

 

 

Неприводимые

тензоры,

входящие

в

гамильтониан слабого-

 

 

взаимодействия

в ядрах

 

 

 

 

 

 

 

Тензор

 

Ранг

J

 

 

Четность

я

П о р я д о к

величины

 

Y | ( f )

 

1

 

 

 

 

Ы ) '

 

 

{kr)1

 

 

 

J

 

 

 

 

( - 1 ) '

 

 

{kr)1

 

 

 

J

 

 

 

( - ! ) ' + '

 

±

с

{krV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

y < ( r V

p

I

 

 

 

( - ! ) ' + '

 

^

<*)<

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е ч а н и е .

Некоторые

1 з

этих

т е н з о р о в

мог у т иметь

м н о ж и т е л ь

fik/(Mc), который буд<:т уменьшать

нх

вклад

в Р - р а с п а д ,

 

 

переходе

ядра из состояния со спином и четностью J*1 в состояние

со спином и четностью

J*f должны

выполняться правила отбора

 

 

 

A(JtJJf),

 

ntnnf=l,

 

 

 

(9.58>

где символ А обозначает, что три аргумента должны удовлетворять правилу треугольника.

Из табл. 9.1 ясно, что наиболее быстрые переходы для р-рас-

пада (в котором выполняется

условие

kR

1) будут получаться

из первых двух типов тензоров для случая / =

0. Они называются

разрешенными

переходами и

имеют

правила

 

отбора

 

A{Jt0J}),

т. е. Jt=Jf>

nt = nf

(переходы Ферми),

 

Д(У,1УД т. е. Jt=Jf,

Jf± 1(^=1^0),

 

*Ч = я ,

(9.59>

 

(переходы

Гамова-Теллера).

 

 

Переходы Ферми обусловлены векторными членами в ядерном про­ странстве, а переходы Гамова — Теллера — аксиально векторными членами.

Члены более высокого порядка в разложении по мультиполям

дают вклад в запрещенные переходы,

в которых степень запрета

связана с порядком мультипольности.

Однократно запрещенные-

переходы имеют наименьший ранг тензора, согласующийся с из­

менением четности

вида

я г =

— nf.

Поэтому в них

входят ве­

личины

 

 

 

 

 

Угіг);

Т01(г,

а),

Тгг{І,

а), Т21 (г, <т);

 

- J - T 1 0 ( ? , p ) ;

- J _ y 0 ( ? ) e . p .

(9.60>

 

Мс

 

Мс

 

 

Б процессах

fS-распада переходы, содержащие эти

члены, будут

иметь матричные

элементы, которые уменьшены

в

соответствии

с множителями kR

или vie по сравнению с матричными элементами

разрешенных

переходов.

 

 

 

Для n-кратно запрещенных переходове

п ^ 2

соответствующие

.данные приведены

в табл. 9.2. Кроме тех

тензоров,

которые ука­

заны там, разрешены правилами отбора некоторые другие тензоры,

но

они

(например,

Yn+1

(г) в-р/Мс)

дают

лишь малые

поправки

к

указанным членам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

9.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и-Кратно запрещенные переходы

 

 

 

 

д у = | у . - 7 / |

 

 

 

 

С о о т в е т с т в у ю щ и е тензоры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

( - і ) »

 

 

 

Уп(г).

Tnn(v.

a).

J - r ^ f r .

р)

 

 

п + 1

 

( - і ) "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и м е ч а н и е .

Члены,

не указанные

з д е с ь ,

но

р а з р е ш е н н ы е

правилами

 

о т б о р а , р ают

малые

поп равкн к приведенным

в т а б л и ц е

членам . Д л я

о д н о к р а т н о

 

з а п р е щ е н ных

п е р е х о д о в

среди

д а н н ы х ,

приводимых

в т а б л и ц е , д о л ж н ы быть

 

переходы с Д / = 0 н я=

— 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наиболее интересными в процессах (5-распада являются разре­

шенные

переходы. В этом

случае для A J =

1 дают вклад

только

переходы Гамова — Геллера,

а для

J T

=

J F

=

О — только

пере­

ходы Ферми. Для переходов Ферми правила отбора по изоспину имеют вид AT = 0, при этом возможность ТІ = TF — 0 исклю­ чается.

§ 9.4. Бета-распад

Хотя результаты предыдущего параграфа могут быть исполь­ зованы при рассмотрении переходов ядра, которые происходят в результате захвата мюонов, но такой путь не является особенно полезным. Дело в том, что для процесса захвата условие kR С 1 не выполняется, и поэтому некоторые из специальных упрощений, которые можно использовать для Р-распада, в данном случае от­ сутствуют. В настоящем параграфе мы рассмотрим те аспекты тео­ рии слабого взаимодействия, которые связаны с (3-распадом. Об­ судим только разрешенные переходы и покажем, как общие свойства •современной теории слабых взаимодействий подтверждаются в экс­ периментах по (3-распаду.

Начнем с рассмотрения общего случая, когда ориентированное ядро претерпевает fi-распад. В эксперименте измеряется импульс и поляризация вылетающей Р-частицы и определяется импульс •нейтрино путем измерения импульса отдачи ядра (см. например,

10*

275

рис. 9.1). Соответствующая вероятность перехода в единицу вре­ мени выражается «золотым правилом» теории возмущений

W — Щ- V $ | 5 < 6 | ^ ( г ) | а > ^ | 2 x

 

 

 

X 8(Ea—E^-Ee-Ev)

 

 

 

x

L

° d e d v

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2яй)°

 

 

 

 

 

где а и 6 обозначают

начальные

и

конечные

состояния

 

ядра,

(е,

\Ее/с)

и (v, \Ev/c

=

iv) — 4-импульсы

электрона

 

и

нейтрино;

 

 

 

Антинейтрино

 

суммирование

выполняется

 

по

спинам

 

 

 

 

нейтрино и магнитным квантовым чис­

 

 

Ф

 

 

 

лам

конечного

состояния

ядра. В ядер­

 

 

 

 

 

ный

матричный

 

элемент

мы включим

 

 

 

 

 

только

 

разрешенные

переходы,

 

отбра­

 

 

 

 

 

 

 

сывая

все члены

порядка

%klMc,

р/Мс

 

 

 

 

 

 

 

и kR.

Тогда

из выражения

(9.53)

полу­

 

 

 

 

 

 

 

чим

для

В~-распада

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|<В]/г' (r)|a>dr

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V2L3

 

\bi

< В | т + | а > -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/і

 

 

 

<6 I 0 t + I a>

 

 

(9.61)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

 

 

 

где в дальнейшем

с

целью

упрощения

 

 

 

 

 

обозначений будем опускать изоспино-

 

 

 

Электрон

 

 

вый

повышающий

оператор.

Удобна

 

 

 

 

 

также

ввести

величины

 

 

 

 

 

Рис. 9.1. Бета-распад

поля­

 

 

 

G P = G / 1 >

Я, = gylflt

 

 

(9.62)

ризованного

ядра S 0 Co

(ука­

 

 

 

 

 

зано

направление

 

спинов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лептонов). Для определения

из которых

первая

является

констан­

импульса

нейтрино

v

необ­

той

слабого

взаимодействия

при

пере­

ходимо наблюдать

импульс

ядра

отдачи.

 

 

 

данных

 

импульсах,

 

соответствующих

 

 

 

 

 

 

 

В-распаду, а вторая представляет собой

отношение

аксиально-векторного

и

векторного

формфакторов.

Тогда

Юн I 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W —

2 (2л)5 £ 7 J \ Ф 2м4

N„N^6{Еа—£р—

 

Ев—Ev)dtdv,

 

 

 

 

(9.63)

где в соответствии с (9.49)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЯцР =

Е(«е

YV О +Уъ)

«v) ( « е 7 р ( 1

 

+

7б) " v ) +

 

 

(9.64)

 

 

 

 

m v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

\ — ^ < 6 | а ц

[ а > ,

ц =

1,

 

2, 3,

 

 

 

 

 

(9.65)

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i < B | l | a > ,

 

 

 

4-.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы рассмотреть спины лептонов, введем единичный 4-век-

тор хшц (ПУЦЇЇУЦ = 1). В системе покоя электрона

— (О, тс), и

этот вектор имеет вид аУц, = (п, 0), где п — единичный вектор вдоль спина электрона, а в общем случае Єц.г% = 0. Далее можно опреде­ лить соответствующий релятивистский оператор для спиновой проекции, который в системе покоя электрона переходит в обычный спиновый проекционный оператор*

-L(l-iwy5)^ _ L ( i + p f f . n ) . (9.66)

Здесь мы воспользовались соотношениями (ПБ.28). Тогда для случая измерения спина электрона в направлении вектора п в сис­ теме покоя электрона имеем следующую величину в лептонном про­ странстве:

Яи.Р = -^- 2 [(«е Тц(1 + T 5 ) " v ) ( « v ( 1 + Vs) VPP(1 — і wy6)u„)] =

2 m v m e

• S p k ( l + V 5 ) T T V ( 1 - V 5 ) YP(I —i^?5 )J 4H mc

L

2i EV

E7~

2i 1

Sp h v O +y&)vyp(l-iwy5)(e+imc)},

(9.67)

где мы воспользовались

выражением (ГШ.43) и тем, что (1 -]-у5 )2 =

= 2 ( 1 + у 6 ) . Учитывая

(ПБ.51д) и соотношение

 

sP(7v'Yu,'YvYnY5)=4E?.M.vn,

(9.68)

где єдфігя— полностью антисимметричный тензор четвертого ранга, получаем

5 Ц Р = £ Х Np.ep —6^KeT )+e[ J .vp —s£6 „ V'E в ч —

V e

 

 

—mc [vllwp—8^(vxwx)+

w^v0—e^vg шп ]}.

(9.69

* В системе покоя электрона этот оператор «проектирует на» направ­ ления спинора, соответствующего спину электрона вдоль вектора п. Напри­ мер, если ось z взята параллельной п, то

Т( і ^ с г - " ) ( о ) = Т ( 1 ^ ^ ( о ) = ( о ) и І ( 1 ^ а г ) ( ! Ь ° -

Оператор (9.66)

является, очевидно, проекционным оператором,

так как

"1

~ І 2

1

 

- j -

(1 — шу6 )

= — (1 — іЩь)- При использовании этого

оператора

в (9.67) он оставляет вклад от членов (в системе покоя электрона) со спином вдоль п, но уничтожает состояния со спином, антипараллельным вектору п.

Смотрите также файлы