Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 174

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Термин «импульсное приближение»

часто означает

также,

что эффектами многократного рассеяния

пренебрегают.

Эти эф­

фекты несущественны при условии, что средняя длина свободного пробега рассеянной частицы в мишени значительно больше разме­ ров мишени, что амплитуда рассеяния намного меньше среднего расстояния между нуклонами и что эффекты, связанные с выходом за массовую поверхность, малы. Для пионов с низкой энергией (значительно меньшей энергии 3,3-резонанса*) первые два условия выполняются, так как амплитуда пион-нуклонного рассеяния равна лишь ~0,1 ферми; получить же определенное подтверждение для третьего условия нелегко. Конечный результат импульсного приб­

лижения при условии

пренебрежения

эффектами

многократного

рассеяния сводится к тому, чтобы заменить оператор

Т, описываю­

щий взаимодействие с

ядром,

суммой

амплитуд рассеяния tj для

А свободных нуклонов:

 

 

 

 

Т=

Г 2 tj.

 

(10.47)

В дальнейшем этот оператор должен действовать между волновыми функциями ядерных состояний для рассматриваемого перехода.

Амплитуда поглощения пионов на свободных нуклонах с рож­ дением фотонов высокой энергии хорошо известна [63]. Ее главный член имеет вид

< = і / 2 - ^ г в . А г _ Ф + ' ;

(10.48)

где А — векторный потенциал для фотонов и

Ф+ = у = { Ф 1 + ІФ 2 ) , t - = - j ( T 1 - i t a ) .

Выражение (10.48) имеет ту же форму, что и выражение (10.46). Можно написать и оценить поправочные члены к амплитуде. Для поглощения связанных пионов на легких ядрах они составляют от 5 до 10%. Используя выражение (10.48), получаем для вероятно­ сти радиационного поглощения пионов

х j<^pj 2

( Г - е е - ' к - г ф ( г ) г _ б ( г — г;)|

a)dr

(10.49)

где ф (г) — нормированная

на единицу волновая

функция

пиона

в водородподобном

атоме,

a g дается выражением (10.30).

 

* Так часто называют наиболее сильный и ранее других установленный резонанс в сечении пион-нуклонного рассеяния. Его характеристики следую­ щие: энергия 1236 Мэв в системе центра масс, изотопический спин 3/2, спин 3/2, четность положительна. — Прим. перев.

Дополнительным достоинством импульсного приближения явля­ ется возможность изучения радиационного поглощения пионов для мезонов, находящихся на любой атомной орбите. Поэтому оно позволяет выйти за рамки сравнения с мюонным захватом по фор­ муле (10.45), которая справедлива только для поглощения пионов с ls-орбиты. Это свойство особенно ценно, так как для ядер, более тяжелых, чем 4 Н е или 6 L i , полная вероятность поглощения пиона с 2р-уровня значительно превосходит вероятность перехода 2р->- Is с испусканием рентгеновских 7-квантов [245]. Таким образом, для 1 2 С и 1 6 0 поглощение пионов происходит преимущественно из 2р-состояния, а для ядер, которые тяжелее 2 0 Ne, вступает в действие поглощение с Зй-уровня. Учет поглощения с 2р-уровня, т. е. ис­ пользование волновой функции пиона, находящегося на 2р-уровне

около ядра,

 

Ф ( Г ) « - ^ - У 1 м ( Г ) ( 2 - | ) 5 / 2 Г , а я = _ ^ = 193 ферми,

(10.50)

может привести (помимо других возможностей) к возбуждению состояний с J " = 0~ в 1 2 С и 1 6 0 . Этот гигантский 0~-резонанс, который соответствует возбуждению спин-изоспиновых колебаний, не может возбуждаться из основного состояния'электромагнитным способом. Следовательно, процесс радиационного поглощения пио­ нов играет очень важную роль в объяснении распределения й свой­ ств таких уровней. Этот гигантский монопольный резонанс завер­ шает формирование группы резонансов, которая включает гигант­ ский электрический дипольный (1~) резонанс и гигантский магнит­ ный квадрупольный (2~) резонанс. Совокупность возбужденных состояний, соответствующих указанным резонансам, играет глав­ ную роль в явлениях, обусловленных электромагнитным и слабым взаимодействиями в ядрах при энергиях 15—30 Мэв.

*

* *

Обсуждению свойств захвата мюонов посвящены книги Конопинского [222], Шоппера [309], By и Мошковского [361], обзор­ ные статьи Ли и By [234], Роуза и Нильссона [292] и опубликован­ ные записи лекций Джексона [213], Толхука [332], Вайденмюллера [349] и Примакова [275]. История расчетов мюонного захвата с помощью ядерных моделей рассмотрена в важных статьях При­ макова [273], Фуджи и Примакова [147], Луайтена, Руда и Тол­ хука [237], Фолди и Валецки [143] и Ро [284, 285]. Эффекты ги­ гантского и спинового гигантского резонансов в захвате мюонов и соответствующая связь с электромагнитными процессами воз­ буждения обсуждаются в обзорах Юбералля [339] и Валецки [342]*.

* Работы

[361, 234] переведены на русский язык. См. также книгу

[383]. — Прим.

перев.

П Р И Л О Ж Е Н И Е А

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ УГЛОВОГО МОМЕНТА

Вэтом Приложении мы кратко обсудим те вопросы квантовомеханической теории углового момента, на которые мы часто ссылались в тексте. Наша цель — дать очерк традиционной теории и точно определить систему обозна­ чений; более подробные обсуждения имеются в книгах, указанных в конце гл. 3.

§ПА. 1. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВОГО МОМЕНТА

Вгл. 3 мы обсуждали влияние вращения системы координат на поле г|>.

Если вращение R характеризуется осью п, вокруг которой оно выполняется,

и углом поворота в , то преобразованное

поле

имеет вид [см. (2.13),

(2.20),

(2.24)

и

(2.30)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[T(R(n,

в)) 1 р](г) = ехр ( i e f i - j H ( r ) ,

 

 

(ПАЛ)

Оператор J в общем случае имеет следующую

структуру:

 

 

 

 

 

 

 

J = L 4 - S ,

 

 

 

 

(ПА.2)

где L =

—іг X V — оператор

орбитального

 

углового

момента.

Спиновый

оператор

S вводится для того,

чтобы учесть,

что для полей общего

вида тр

может быть вектором в виде столбца из

п

компонент*. Для частиц со спи­

ном s

поле я|) имеет 2s + 1 компонент

и

S

является набором трех

матриц

(2s +

1) X (2s +

1). В формуле

(ПА.2)

подразумевается, что L

умножается

на единичную матрицу

(2s -f- 1) X (2s +

 

1).

 

 

 

 

 

Чтобы более

полно

понять

природу

оператора J ,

который

порождает

вращения, рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, что осуществлен бесконечно малый поворот вокруг оси х на угол є и после этого — второй такой же поворот вокруг оси у на угол т|. Далее предположим, что мы вы­ полнили эти же повороты в обратном порядке. Поскольку вращения не яв­ ляются коммутирующими операциями, результаты двух таких противополож­ ных последовательных действий не являются одинаковыми. Фактически можно обнаружить «экспериментально» или с помощью соотношения (2.9), рассма­ тривая его для бесконечно малого поворота, что разность указанных последо­ вательных операций отличается от тождественного преобразования операцией вращения вокруг оси г на угол ет). Таким образом, имеем из соотношения (ПА. 1)

eir\JleieJ1_eieJi

е і т і Л = e i e T | J » _ i i

(ПА.З)

* В гл. 3 мы рассматривали

скалярное поле и (г), для которого S исче­

зает, и векторное поле А (г), для которого S было некоторой

комбинацией

матриц 3 X 3 .

 

 

или в низшем порядке по Є И Г)

J1 J2— і 2 / 4 = іУз.

Аналогичное рассмотрение для других таких же пар поворотов приводит к за­ ключению, что некоммутируемость вращений означает, что порождающий их оператор J удовлетворяет обычным коммутационным соотношениям для углового момента

J x J = i J

(ПА.4а)

или

 

Vlf Jl] = izhlmJm-

(ПА.46)

Здесь Быт — полностью антисимметричный тензор третьего ранга

(см. снос­

ку в § 1.2), а индекс т может считаться индексом суммирования или не счи­

таться таковым, так как в любом случае вклад в правую часть дает только один член. Эти коммутационные соотношения могут быть непосредственно проверены, если для каждого конкретного случая воспользоваться явным выражением для L = —іг X V и S.

Имея оператор

углового момента J , мы можем построить оператор квад­

рата полного углового

момента

 

 

 

 

 

 

Л 2 = у 2 ф У ^ 7 | ,

(ПА.5)

который коммутирует с каждой

компонентой J , так как

 

 

 

 

з

 

 

 

[J",

J{]

=

^

{Jh[Jk,

Jz ]+[-/ft. Ji]Jh}

=

 

 

з

k = i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

i

2

2

s h l m

{JkJm-^JmJh}=0,

(ПА.6)

 

k=l

m= l

 

 

 

где последнее равенство следует из того факта, что свертывание симметричной двухиндексной величины с антисимметричной дает нуль. Как следствие соот­ ношений (ПА.4) и (ПА.6) можно диагонализовать J 2 одновременно с одним и только одним оператором углового момента, скажем J3. Результирующие собственные функции записываются какгрут . Как хорошо известно из кванто­ вой механики, можно с использованием соотношений (ПА.4) и (ПА.6) пока­ зать, что удовлетворяются уравнения

и

J 2 ^ m = i ( / + D ^ m

(ПА.7а)

Jayjm = "tyjm,

(ПА. 76)

 

где / может быть любым

целым или полуцелым числом 0, 1,/2,

1, 3/2,

а

т. = —/, —j + 1, . . . , / .

В этом

месте удобно ввести повышающие и

пони­

жающие операторы

 

 

 

 

 

J±

= Ji.± \ J 2 .

 

(ПА.8)

Изх:равнения (ПА.8) с (2.39) видно, что это определение отличается от обыч­ ного выражения для векторов, разложенных по сферическому базису. Имеем из (2.42) и (2.43)

J±1 = S ± - J = Т у = - / ± , J0=J3-

(ПА.9)

Еще раз используя коммутационные соотношения для операторов углового момента, получаем

J ± b m = U i T m ) U ± m ^ \ ) ] l ' % m ± l

• (ПАЛО)

(с учетом обычного условия для фазовых множителей).

:

§ ПА. 2. СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША — ГОРДАНА И 3/-СИМВОЛЫ

Рассмотрим случай, когда система описывается двумя операторами угло­ вого момента J a и J&, действующими в двух различных пространствах. Такая ситуация встречается при изучении двух разных частиц или рассмо­ трении орбитального углового момента и спина одной частицы. Тогда можно

говорить о двух разных собственных функциях г]),• _

(а) иф , т

(Ь), для ко-

 

 

 

 

' а а

'b

b

торых

справедливы уравнения

 

 

 

 

 

 

*lbs'ms(s)

= js +

Ьв

ms

(s).

 

(ПА.1І8)

 

( J 5 ) 3 % s m s ( s ) = > s % s m s

( s ) ,

s = a,b

(ПА.116)

Можно

построить несвязанное

представление,

рассматривая в

пространстве,

являющемся произведением

пространств а

и Ь,

функции

 

Поскольку J a и J& действуют в разных пространствах и, следовательно, ком­ мутируют, эти функции являются одновременно собственными функциями операторов J ^ , ( J a b . Jb> Cu b [см. уравнения (ПА. 11)].

Оператор, о котором мы говорим как об операторе полного углового момента системы, строится в виде

J = J a ^ J b ,

(ПА.12)

где для того, чтобы обеспечить соответствующую размерность, подразуме­ вается прямое произведение на единичные матрицы. Так как J a и J 0 комму­ тируют, имеем, как обычно,

J X J = i J .

Значит, оператор полного углового момента обладает теми же самыми свой­ ствами, что и оператор J в выражениях (ПА.4) и (ПА.6). Следовательно, можно попытаться построить в новом пространстве функции, являющиеся общими собственными функциями операторов J2 и J3:

Чтобы дополнить до полного набора коммутирующих операторов, эти функ­ ции можно рассматривать также как собственные функции операторов З2 и J | . Представление, осуществляемое функциями, которые удовлетворяют уравнениям (ПА. 13), называется связанным представлением. Унитарное преобразование от несвязанного к связанному представлению записывается следующим образом:

У)т = 2 О'о Іь І I та ть т) tyJa та (a) fyb m & (.6).

(ПА.14)

татЬ

Матричные элементы этого унитарного преобразования называются коэффи­ циентами Клебша—Гордана. Для них существует много различных обозна­ чений. В работах [287, 288] они записываются как С (/„, /&/; татът). В ра­ боте [109] диагональные операторы в каждом представлении связываются

через коэффициенты Клебша—Гордана, которые записываются в виде Ііа'ПаІь'ПьІІаІЬІ'"). Авторы работы [247] используют обозначение <ІаІьтать | /яі> так же, как и в работе [55]. Однако фактически все авторы

выбирают фазы в этих преобразованиях тем же способом, что и Кондон и Шортли [67], поэтому численные значения коэффициентов Клебша—Гордана почти всегда одинаковы.

Смотрите также файлы