Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл (14,53Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 171

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Свойства коэффициентов Клебша—Гордана получаются			непосредственно
« з их определения как унитарного		преобразования, осуществляющего пере
х о д из представления	{ J 2 , ( J a ) 3 , J 2 , , ( Л ь Ы к представлению		{ J 2 , J 2 , , J 2 , J 3 } .
Например, действуя	оператором	</3 = ( J a + ^ъ)з на °бе части выражения
••(ПА. 14) можно установить, что

(ІаІь j\marnbm)

= 0, если

ma-^mb Ф т.

(ПА.15)

Это свойство часто вводится в обозначения

и используется

запись

(Іа ІЬ j\m—mb

ть т),

•где

уже взято та — т — ть;

можно

вообще

отбросить

последний индекс

и записывать

(Іа Іь

Цт—гщтъ).

-Очевидно, что свойство (ПА. 15)

сводит

суммирование

формуле

(ПА. 14)

к одной сумме.

Учитывая размерности связанного и несвязанного представлений, можно

далее показать, что

(Іа Іь І I т—ть mb т) Ф 0,

только

если | / а — j b

\ < j < Іа +Іь-

(ПА.16)

Это

условие на область изменения / ,

которое

может

быть также

записано

в виде

\І—Іь\<

Іа< І+Іь

или I i—jal

< Іь <

І-fla.

•называют условием

треугольника. Такое

название выбирается по аналогии

с классическим представлением об ограничениях модулей векторов в равенст


ве (ПА.12). Иногда условие треугольника					кратко обозначается в виде Д (jajbi'•)
Поскольку	коэффициенты в формуле				(ПА.Ґ4) являются элементами уни
тарной матрицы,- такой, что			(tyja та	(a) % 6 тьХ Ь)) и			4>jm нормированы, то
•существует соотношение ортогональности
2	(Іа Іь І \mamb		т)( j a	j b	j ' \| ma mb m) = 6			'.	(ПA. 17)
ma mb
Преобразование,	обратное преобразованию					(ПА.14),	имеет вид
t / a та (a) lpjb		ть (Ь) = 2	(Іа ІЬ і І та			ШЬ Ша ф ШЬ)		tym,,-)-ть,	Г( П А -J 8)
где коэффициенты		Клебша—Гордана		выбраны действительными					(доказано,

•что это возможно). Соответствующее соотношение ортогональности имеет вид

% (Іа Іь і I tna rnb matnb)	(ja } b j I m'a т'ь m'aфт'ь) = 6m ^m j 5ть	m>b . (ПА. 19)
Для явного вычисления коэффициентов Клебша—Гордана необходимо
предварительно изучить	действия понижающих и повышающих	операторов

{За + Jb)± на выражение (ПА. 14). Общие формулы для коэффициентов вместе с их другими свойствами имеются в книгах по теории углового момента, спи сок которых приведен в конце гл. 2. Здесь мы приведем некоторые наиболее

полезные результаты. Первый из них — это свойства симметрии,	возникающие
11*	315

при произвольном изменении порядка сложения любых двух угловых мо ментов и при рассмотрении обращения времени. Они имеют вид

Ua Іь і I tna mb		m) = [( — \)'a+'b~'				(jb	j a j \ „ib ma in) =
=	( _ l ) ' a - m a J _ ( / a				jjb[ma—m-mb)		=
			lb
=	(-\)''ь +	ть	J-	{ j j b	j a і -пищ-ma)		=
			Ja
=	(— l)'a~ma		~~~ (На Іь I m—ma				mb) =
			lb
=	( _ l ) / b + m b		J-	(jb	jja\-mbmma),		(ПА.20а>
			i'a

где / = y~2j -$-1. Кроме того, получаем симметрию из условия обращения времени:

Ua Іь ІI rna тъ m) = . ( - l ) ' a + , b	- / Ua Іь 11 -ma-mb-'m).	(ПА.206)-
Из (ПА.206) следует, что
Ua Іь ІІ ООО) Ф 0, только	если ( / 0 - И ь - £ І) четно.	(ПА.21}

Коэффициенты, в которых все магнитные квантовые числа равны нулю, назы ваются четными коэффициентами Клебша—Гордана. Другой частный слу чай относится к сложению двух моментов по формуле (ПА. 12), один из которых равен нулю. Тогда

(ya 0/\|me0mb ) = 6 ; e	J .	(ПА.22)
Значения коэффициентов Клебша—Гордана	для / 0 =	и } ь = 1 приведены

в табл. ПА.1.

Свойства симметрии, выражаемые соотношениями (ПА.20), более просто записываются для некоторой модификации коэффициентов Клебша—Гордана. В результате такой модификации получается величина, называемая 3J-CUM- волом. Она определяется так:

		la 1Ъ l \ _ { _ l ) l a - i b - m				_ L { j a / f c ц Ш а m & _ т ) >					( П А . 2 3 >
		mambmj					j
где,	как видно из сравнения с (ПА. 15) и ( П А . 1 6 ) , / а / 6								и / удовлетворяют пра
вилу	треугольника,		а	та +	ть +	т =	0 для неисчезающих				3/-символов.
Свойства		симметрии,	соответствующие				соотношениям (ПА.20)				для коэффи
циентов Клебша—Гордана, выглядят совсем просто:
		/ іа	Іь	І \	( Іь І	І<*\	( І Іа	Іь
		\mambm]			\mb тта)		\in та	ть
				\ mb	тат)				\ in ть	та,
^-п'а+'ь+І		( ї*	'	і ь ) =			Іа		Іь	І \	( П А 2 4 >

\mammbJ

\—іпа—ть—т)

Т а б л и ц а ПАЛ Коэффициенты Клебша —Гордана для /ь = 1 / 2 и /ь = 1

Іа— Цтатът

mb=-J

1/2		1	У**
!а + т + ~	Іа — т-)г —
	2 / e + l
1/2	Г /fl + m +	П	' / 2
	I 2 у а - И	J

		т ь = 1
/ = / а +	j"	(/а +	/ п ) ( / в 4 - т + 1 ) ] 1 / 2
	1
І—Іа		<2/„ + 2)(2/в + 2) J 1/2
	Г (/а-г-'тг)			(/g —m-frl)
	1		2 / 0	( / а + 1 )	1/2
	Г	(/«	'и) (/а — т + 1 )

(/о 1/1 татьт)

m6 = 0

- 1 / 2

( / а - / » + l ) ( / a ^ m + l ) I ' / g

( 2 / в + 1 ) ( / в + 1 ) яг

[ Ы / « + 1 > 1 , / 2

На—Ш) ОУФ "О 1/2

т ь =	—1
(Іа	— т)	Ца—т+І)	1/2
(Іа	— т)	Ца—т+І)
	(2/в +	1)(2/в-+-2)	1/2
(іа—т)		(/a-f/» + 1)	1/2
(іа—т)		(/a-f/» + 1)

(/a + m+1 ) ( / a ^ w ) 1/2

С	другой	стороны,	соотношения	ортогональности			немного усложняются,
а	именно
		у	1а 1ьЧ\Па	1ь 1 = _	L	6		( П А . 2 5 а )
и
2 ?		- , „ : _ „ » )		j	)	-	^ 4 - і "	<"*•»>
	Одним из полезных применений коэффициентов						Клебша—Гордана или
3/-символов		являются формулы для произведения				сферических		гармоник от
одного и того же аргумента

= 2	І у	('а /ь /1 ООО) (la lbl\ma т„ т) Ylm (F) .	(ПА.26а)
Im	І у	4л

и обратная формула

(la Іь I I ООО) Kfm(r) = ~ ~ r ~ T ~ 2	( * а * ь М ™ а т Ь т ) У , а т е а ( ? ) У , ь О Т б ( г ) .
	,	(ПА.26в)

Их можно проверить, воспользовавшись свойствами матрицы конечных вра щений, построенной из операторов в формуле (ПАЛ), взятых между состоя ниями с хорошим квантовым числом углового момента:

D'm,m (R (п, e ))-</m' | ехр ( і в п . j) | jm>.

Заметим, что, например, в формуле (ПА.26а) левая часть имеет четность

(—1)'°^"'6 , в то	время как четность правой части есть	(—1)' [см. (2.72)].
Это не приводит	к противоречию в силу свойства (ПА.21)	3/-символов или

коэффициентов Клебша—Гордана, которое дает (—1)' = (—1)'а~*~'ь.

С помощью доказательства, аналогичному тому, которое необходимо при установлении соотношений (ПА.26), получают также теорему сложения сфе рических гармоник:

Рі(ї'-ї)=-^12іУшСг')УшСг).

(ПА.27)

§ ПА.З. СЛОЖЕНИЕ ТРЕХ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ, КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА И 6/-СИМВОЛЫ

Пусть надо связать три угловых момента J a , J;,, J c в полный момент J

	J = J « - M b + J e -	(ПА.28)
Для этого необходимо	осуществить преобразование от представления, в ко
тором операторы
Ja = / a ( / a + l ) . (Ja )s = '«a.		= /ь (/b+ 1).
(іь)з	= Шь. J l = Ус (/с+1).	( J C ) 3 = ' " C

являются диагональными, к представлению, в котором диагональны операторы

J e = / о ( / а +	1). J * = /b(/b+l) .
J? = /cO'e+l).	J " = / ( / + U . ^ 8 = я г .

В последнем представлении нужен один дополнительный диагональный оператор, чтобы иметь полный набор коммутирующих операторов. Им являет ся угловой момент, возникающий при промежуточном сложении двух момен

тов при двукратном		Применении		формулы	(ПА. 14). Это значит,	что можно
рассмотреть					J , что дает Ф/,П(/'), и
метод	1: J a - } - J b =		J ' , тогда	J ' - ) - J c =	J , что дает Ф/,П(/'), и	л и эквива
лентный				J a + J " = J.4TO дает Ф/т(/»).
метод	2: Jb -f-J c	=	J", тогда	J a + J " = J.4TO дает Ф/т(/»).

Если использовать коэффициенты Клебша—Гордана, чтобы построить ф; -т (7 -') в методе 1, то оператор J ' 2 = ( J a 4 - J u ) 2 = /' (/'4 - 1) будет диагональным; если

же использовать	эти коэффициенты в методе			2, то результирующая		ф; -ш ^ •»)
будет собственной		функцией	оператора J " 2 = ( J & ^ J C ) 2 с		собственным зна
чением у" О'"-И)-						Ч*/т(/')
Существует	унитарное		преобразование,	связывающее	функции
и Ф/пі (/•).' Запишем его в виде
/(П =			f' W Ua lb ІІс,	І' У")		V^29

Коэффициенты W в этом разложении называются коэффициентами Рака. Как легко показать, они не завсят от т. Кроме того, условия треугольника, воз никающие в наших двух методах, требуют выполнения условия

WUaJbUc-J' /'")=0. если все {/о/ь/'Ь			{//с/"}. [Ыс У"}> На			н е удовлетво.
	ряют условию треугольника.					(ПА.30)
Используя соотношение (ПА. 14) для получения явного вида функций Ф,-От(/')
и Фу„цу»), можно показать, что имеет			место	соотношение
Uak	l\tna тъ	та-^тъ) (/'/с id I та-^тъ		тс	та-$-ть-$-тс)	=
	=	2 ? ? (Уь Ус 11 т'ь '"с тъ -ф			"*с) X
		t
X	Uatid\mamb^rmcma-^mb		+ mc)W(ігіькк'ЇЇ)-			(ПА.31)