Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 309

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

возмущение

системы. Если возмущение

вызвано,

скажем, внутрен­

ним шумом,

то для улучшения

качества

может

потребоваться

новая

конструкция

электронной части

системы.

Если

же

возмущение

воз­

никает из-за внешних причин, которые нельзя контролировать в про­ екте, то с ним придется мириться. Все же можно несколько улуч­ шить качество системы, используя более точную схему измерения.

Вторая

часть

ответа

на поставленный вопрос

состоит в том, что

Уз представляет

собой

эталон для оценки качества других

схем

управления.

Например,

для упрощения системы

управления

можно

отказаться от фильтрации и подавать на обратную связь измерение

z(k), а не оптимальную оценку x(k\k). Тогда

полученный неопти­

мальный закон управления будет иметь вид:

 

u*(k)=S(k)z(k),

(9-89)

где звездочка означает, что управление и больше не является опти­ мальным в смысле заданного критерия качества. Для простоты можно предположить, что z(0)=0, поскольку при k=0 измерение отсутствует. Поэтому значение и*(0) совпадает с оптимальным управлением. Теперь можно с помощью критерия качества

з

/3 = £ хЦЗ) + S ««(<- О

І=І

сравнить неоптимальный, но сравнительно простой закон управле­ ния (9-89) с оптимальным. Необходимые вычисления предоставля­ ются читателю в качестве упражнения.

В заключение заметим, что имеются и другие неоптимальные схемы, исследование которых имеет смысл. Например, в последней схеме можно применить постоянный коэффициент передачи цепи обратной связи вместо оптимального переменного коэффициента пе­ редачи. Это, по-видимому, простейшее возможное замкнутое управ­

ление

для рассматриваемой задачи.

Можно

также использовать

фильтр

с

постоянным

коэффициентом

передачи

/ ( ( é ) = c o n s t и по­

стоянный

коэффициент

передачи обратной связи S (k) =const.

Заканчивая главу, заметим, что оптимальное управ­ ление для задачи стохастического линейного регулятора можно также получить в случае, когда элементы матриц Ф, Г и W являются случайными величинами, не обяза­ тельно независимыми от возмущения системы и ошибок измерения. Хотя принцип разделения в том виде, в ка­ ком он здесь сформулирован, неприменим к таким за­ дачам, тем не менее их исследование позволяет полу­ чить ряд полезных результатов. Полное исследование этих задач имеется в книге Аоки [Л. 9-6].

З А Д А Ч И К ГЛ. 9

9-1. Показать, как следует изменить формулировку теоремы 9-2, если желаемое состояние системы в каждый момент времени равно некоторому произвольному вектору xd(k), а не нулвд.

41Q

9-2. Применить принцип оптимальности Для получения опти­ мального закона управления в задаче, где

x (k +

1) =

Ф (k +

1, k) x (k) + С* (k + 1, k) и (k);

 

 

 

N

 

 

 

 

*N = S

*'

U)A(i)x(i);

 

 

I «j (A) | < i ;

/==1.2

r

в предположении,

что

N постоянно, x(0)

известно, a матрица A(i)

положительно определена для всех і. Управление должно миними­ зировать JN. Это задача детерминированного линейного регулятора с ограничением элементов вектора управления по амплитуде (на­ сыщение) .

 

9-3. Предположить,

что уравнение (9-8) в

формулировке

зада­

чи

детерминированного

линейного

регулятора

заменено

соотноше­

нием

 

 

и (k) =S(k)x(k),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

k=Q,

1, .. ., N—1,

a

S(k)—произвольная

матрица

размера

гХп.

Используя принцип

оптимальности,

вывести

уравнения

для

вычисления матриц S(k),

минимизирующих

критерий

качества

(9-7).

Заметим,

что более общее

условие

физической

реализуемости

(9-8)

можно заменить требованием, чтобы закон управления являлся ли­ нейным преобразованием вектора состояния в каждый момент вре­ мени.

9-4.

Рассмотреть

линейную

систему

второго

порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2

=

и (t)

 

 

 

 

 

 

для t^O

и предположить, что х(0)

известно.

 

 

 

 

а) Для интервала отсчета, равного одной секунде, составить

разностное

уравнение

динамики

системы

вида

 

 

 

 

 

 

 

* ( £ + 1 ) = Ф ( / г + 1 ,

k)x(k)+W(k+l,

k)u(k),

 

 

где k—0,

1 . . .

соответствует

моментам

времени

/о=0, fi=l,

î 2 =

= 2 . . .

 

Предположить,

что сигнал

управления

u(t)

является посто­

янным

 

на

каждом

интервале

отсчета,

т. е. u(t) =и(к) = const

для

tk^t<th+u

 

k=0,

I ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Определить оптимальное управление для двухшагового про­

цесса,

если

критерий качества имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л = Е

[*i(0 +

*2(0J-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

Чему равно значение

Ѵг в этой

задаче?

 

 

 

 

9-5. Будет ли справедлива теорема 9-3, если первым измерением

является не 2(1), а 2(0) =Я(0)х(0)

+ѵ(0)?

Получить ответ

в

пред­

положении

что

{v(k)-t

k=0,

1

...}—гауссовская белая последова­

тельность,

независимая

от

х(0)

и

{w(k)\

k=0,

1 . . .}, с

нулевым

средним

и

неотрицательно

определенной

корреляционной

матрицей.

27*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

411

9-6. Будет ли теорема 9-3 справедлива,

если случайные

процес­

сы {v(k+l)\

k = 0, 1 . . .}

и {w(k);

k — 0, 1 . . .} взаимно

коррелиро-

ваны при E[w(j+\)v'(k+{)]=U(k)bjh,

 

где

U(к)—действительная

матрица

размера р х т ?

Если да, то указать, какие в

этом

случае

изменения потребуется внести в результаты

§ 9-3. Если

нет, то

объ­

яснить почему.

 

 

 

 

 

 

 

9-7. Рассмотреть уравнение (9-58). Поскольку критерий качества

можно

минимизировать,

минимизируя

по и

внутреннее

математиче­

ское ожидание для всех z*(N—1)

и

х(0),

то можно

рассмотреть

другой

подход к задаче

стохастического линейного регулятора,

вво­

дя для /-шагового процесса величину

 

 

 

 

 

v^ =

min

... min El

Ц [x' (i)

A (i) x

(i) + и' (i — 1) У

 

 

И(Л,_/,

uiN-i)

\ l = N 4 + l

 

 

 

 

 

 

 

 

X ß ( t - l )

и ( ' - 1 ) I z* (Л^ —y), X (0)1 J

 

 

 

при j=\,

2. . .., N и проводя все

рассуждения для V j , а

не

V}.

Используя принцип оптимальности, решить задачу стохастического линейного регулятора при таком подходе и вывести окончательное соотношение для ѵ3-.

9-8. Составить уравнение оптимального фильтра и найти опти­ мальный коффициент передачи обратной связи и оптимальное зна­ чение критерия качества для двухшаговой скалярной задачи, где

x(k+l)=2x(k)+u{k); z(k) =x(k) + v(k)\ J* = E[x'{2)x(2)l

предполагая, что {v(k)\ k=Q, 1, 2}—гауссовская белая последова­ тельность, независимая от х(0), с нулевым средним и постоянной дисперсией, равной пяти. Предположить также, что х(0)—гауссов­ ская случайная величина с нулевым средним и дисперсией, также равной пяти. Определить «бюджет» качества для этой задачи, ана­ логично тому, как это было сделано в примере 9-4.

9-9. В условиях примера 9-4 предположить, что вместо опти­ мального закона управления используется закон (9-89). Полагая ы*(0)=0, вычислить значение критерия качества

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

/ 3 =

£ х 2 (3 ) + S

u * s ( ; - 1)|

 

 

и сравнить его с Уз.

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9-10. Будут ли результаты, полученные

в теореме 9-2, следствии

9-1 и теореме 9-3, относиться к глобальному или локальному

мини­

муму соответствующего

критерия

качества?

Объяснить

ответ.

 

 

9-11.

Если используется

оптимальное

управление,

то система

(9-1) удовлетворяет соотношению

 

 

 

 

 

 

x{k+\)=G>(k+l,

k)x(k)+T(k+\,

k)w(k)+xV(k+[,

k)S(k)x(k\k)

для

k=0,

1, ... ,

N—1.

Является

ли

случайный

процесс

{x(k),

k =

=0,

1, ... , N—1}

гауссовским

марковским?

Объяснить

ответ.

 

412

Г л а в а д е с я т а я

СТАТИСТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

ВНЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Внастоящей главе исследуется задача непрерыв­ ного стохастического линейного регулятора. Эту задачу можно рассматривать как предельный случай дискрет­

ной задачи из гл. 9, когда интервал между измерениями и между моментами воздействия управления становится произвольно малым. Изложение здесь проводится в рам­ ках именно этого подхода, однако следует заметить, что предлагаемые результаты можно получить и иными путями. Литература по задаче непрерывного стохасти­ ческого линейного регулятора и некоторым ее модифи­ кациям, включая задачи, связанные с нелинейными дина­ мическими системами, очень обширна

Вначале в § 10-1 формулируется задача непрерывно­ го стохастического линейного регулятора. В § 10-2 при­

ведена

формулировка эквивалентной дискретной задачи,

а

в §

10-3 к этой задаче применяются

результаты гл. 9.

Затем

в полученном алгоритме управления

производит­

ся

формальный предельный переход

при

стремлении

к нулю интервала времени между последовательными измерениями и управляющими воздействиями. Как можно ожидать, в результате будет получен принцип разделения.

10-1. ФОРМУЛИРОВКА

З А Д А Ч И

 

 

 

 

 

Модель

системы

 

 

 

 

 

 

Модель системы отличается от модели, использо­

ванной 'при исследовании задачи непрерывной

оценки

(см. § 7-2)

только тем,

что теперь в

ней

присутствует

управляющий входной

сигнал

(эта

модель

описана

в §4 - 3):

x = F{tl)x + G{t)w(t)

+C(t)u(t);

 

 

(10-1)

 

 

 

 

z(t)=H(4)x(t)+v(t)

 

 

 

 

(10-2)

для t^'U. Векторы x, w,

и, z и

V имеют

тот же

смысл,

что и в гл. 9, однако здесь они являются

функциями не­

прерывного

времени t. Матрицы

F(t),

G(t),

C(t)

и H (t)

1 Достаточно полное и точное перечисление соответствующей литературы заняло бы здесь слишком много места. Читателю, за­ интересованному в дополнительном изучении предмета, отправной точкой может послужить список литературы к настоящей главе.

413

Смотрите также файлы