Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Р (0) = / ? „ < ! ,

(6.17)

R (/) - R0P (0,

(6.18)

Р и с . 20. В е р о я т н о с т ь

б е з о т к а з н о м

р а б о т ы

Р (/) (а)

д л я

и з д е л и й

с в о з р а с т а ю щ е й

(1) и у б ы в а ю щ е й (2)

ф у н к ц и е й

А (/)

(б).

одно с возрастающей функцией

в интервале времени 0 <I t ^

^ Э, а другое с убывающей X2{t).

Конкретный вид функций Xx(t)

функции надежности P(t)

для этих двух изделий,

вычисленные по

точной формуле, полученной из выражения (6.13),

Р (t)

= ехр {— lX{t)di)

(6.19)

о

(на котором, найдено среднее значение XQ), истинная

функция на­

дежности для изделий с возрастающей X(t)

Р (0 > ехр (—Хе(),

(6.20)

Р

( 0 < ехр

(6.21)

Таким образом, для t <

0 вычисление Р {() —

ехр (— Xt) будет

Р (/) =

Р {т >

t) = 1 — Р {т < і) = 1 — F (0,

(6.22) *

где F(i) — интегральный

закон

(2.1) распределения

случайной ве­

личины т>, называемой по ГОСТ

13377—67 [47] наработкой

на от­

каз. Следовательно,

из

выражений (6.22)

и (6.16) F(t) — 1 —

— ехр

{—yd).

Отсюда

дифференциальный

закон для т в

соответ­

ствии

с формулой

(2.3)

f (t)

=

F'

(0

=

X ехр {-Xt);

0 < t <

оо.

(6.23)

этому функцию (6.16) называют

э к с п о н е н ц и а л ь н ы м

з а-

к о н о м н а д е ж н о е т и.

Зная f(t) для реакторной установки, легко найти среднее время

ее безотказной работы по формуле (2.10)

оо

оо

Т0 = М (т) = оf tX ехр {—Xt)dt = —t ехр {—Xt)оI - f

со

со

+ [ ехр (—Xt) dt

= J Р (0 dt = 1/1.

(6.24)

6

о

Р {t) =

ехр (—t/T0 ),

(6.25)

занизим фактическую величину. Р(^) для всех

моментов времени

t <С Т0

(т. е. получим результаты с запасом).

.

г

Интенсивность отказов

неремонтируемых

изделий. Такие

из­

делия

работают

только до первого отказа и далее заменяются

на

новые

(потока

отказов нет, отказ всего один). Их надежность ха­

мени от t

до t + At при условии, что до момента t отказов не было.

Согласно теореме умножения вероятностей (см. табл. 1.1),

Р {i + At) =

Р (/) • Р у (t,

t + At),

где P(t +

At) — безусловная

вероятность для канала проработать

безотказно период времени

от 0 до t +

At; P(t) —• аналогично от

Р у

(/, t + At) = 1 — P y

(/, t + At) =

l — p (/ +

At)/P (/).

(6.26)

При

достаточно

малом

At,

используя

выражение

(6.16),

получаем

Р у (t, t +

At) == 1 — ехр [~к (t +

AOl/exp (—kt)

=

=

1 — ехр (—kAt) «

kAt.

(6.27)

Таким образом, при малом

= 1 величина к равна условной ве­

интервале

времени

[t, t + At] около момента

t при условии,

что

до момента t

оно работало исправно.

Заметим,

что безусловная

вероятность отказа

изделия

в ин­

тервале от t до t +

At определяется по формуле (2.8):

Р (i, t +

At) =

Р {t < т <

t +

At} =

\

f(f)dtg*f

(t)-At.

і

Указанный смысл

интенсивность

отказов сохраняет

и для ремон­

тируемых

(восстанавливаемых)

изделий,

когда

рассматривается

их поведение

в период до первого (или очередного)

ближайшего

отказа. Обозначим

такую интенсивность отказов для

восстанавли­

ваемых изделий через А-ютк- Важно помнить,

что в общем случае

^іотк Д л я

ремонтируемого изделия

не равна

параметру потока от­

казов к этого изделия. И лишь в одном-единственном случае,

когда

к— const,

т. е. в период

нормальной эксплуатации,

интенсивность

отказов к10ТК

=

^-

из

формул (6.16), (6.23)

и (6.26) следует, что

Непосредственно

к

=

— Р ' (/)/Р (t) = /

(/)/Р (t).

(6.28)

М О

т (i, t+At) _n(i)

— n

+ At)

(6.29)

Atn (t)

Atn

(t)

где n(t) — число работоспособных

изделий

в момент /;

m(t,

t +

+ At) — число отказавших изделий

в интервале времени

(/, / +

At).

Основные законы надежности и связанные с ними характери­

стики. Закон (или функция) надежности P(i) наиболее

полно

ха­

рактеризует надежность изделия.

Зная

закон, можно

вычислить

Р и с . 2 1 . З а в и с и м о с т ь и н т е н с и в н о с т и о т к а з о в от в р е ­

мени д л я р а з л и ч н ы х

з а к о н о в н а д е ж н о с т и

( ц и ф р ы

у к р и в ы х — н о м е р а в т а б л . 6.1).

интенсивность отказов

Щ) по формуле (6.28), среднюю

наработку

на отказ по формуле (6.24) и у — процентную

наработку Ту, ко­

торая будет

реализована в у

• 100%

случаях:

t

со

X (t)

= _ Р ' (0/Р (/);

Г 0 =

|' Р (0 dt;

Р (7%) =

у,

о

где Ту

— период времени-,

вероятность безотказно

проработать

который

равна у.

надежности P(t), как правило,

На практике закон

не известен.

соответствующие им

характеристики f(t),

K(t). и Т 0 ; приведены в

табл. 6.1. Характер

изменения Ці) показан

на рис. 2І.

I