Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 254
Скачиваний: 1
Если все п элементов |
параллельного соединения I I равнонадеж- |
ны, т. е. все TOI = T0A, |
THI = ТВЗ, to |
Формула (6.74), выведенная достаточно просто, дает те же ре зультаты, что и формула, приведенная без вывода на стр. 231 рабо ты [51], хотя и отличается от последней по-форме записи. Форма (6.74) гораздо более удобна для практических расчетов. Заметим, что формула (6.75), полученная как частный случай из формулы (6.74), выигрышно отличается от приводимых в литературе формул для среднего времени работы соединения типа I I , между отказами; см., например, формулу (4.1.35) в работе [51] или (6.3.9) в работе [7]. Давая те же результаты, что и перечисленные формулы, она не требует предварительного вычисления многочисленных интенсивностей перехода соединения из одного состояния в другое (с одним отказавшим элементом — в состояние с двумя отказавшими, в пол ностью исправное и т. д.), поэтому очень удобна для практических вычислений.
Заметим, что в общем случае среднее время работы соединения между отказами (Го) меньше, чем среднее время его работы до пер вого отказа (T^). Однако в наиболее характерном для практики реак-
торостроения случае, когда, как правило, Т0Э |
> ТВЭ, указанные |
||
времена совпадают между собой Т0 = |
ТХ. |
|
|
Сравнивая формулы (6.70) и (6.75), а также таблицы 6.4 и 6.5, |
|||
видно, что параллельное соединение элементов типа I I гораздо бо |
|||
лее надежно и эффективно, чем параллельное |
соединение типа I . |
||
В табл. 6.5 приведены значения отношения |
|
||
к1!=т0/тоэ |
= і + ( і / л ) 2 |
C11{TJTJ1-\ |
. (6.76) |
|
i = |
2 |
|
показывающего, во сколько раз возрастает средняя наработка на отказ Т 0 для соединения I I по сравнению с наработкой отдельного элемента Тоэ-
Зная Т0 и Т в , по формулам (6.33) и (6.34) можно найти коэффи циенты технического использования и готовности для параллель ного соединения типа I I .
В обоих рассмотренных режимах обслуживания параллельное соединение имеет неэкспоненциальный закон надежности. Однако
5* 115
В е ли
X.п
1 03 X |
1 |
о |
3 |
4 |
5 |
6 |
вэ |
X |
|
|
|
|
|
100 |
1 |
51 |
' 3433 |
2,6 - 105 |
2,1-10? |
Г; 8 - Ю 9 |
10 |
1 |
6 |
44,3 |
366 |
3250 |
З-Ю" |
2 |
1 |
2 |
4,3 |
10 |
24,2 |
60,7 |
1 |
1 |
1,5 |
2,3 |
3,75 |
6,2 |
10,5 |
согласно выражению (6.25) можно с запасом считать, что в период времени t < Т 0 закон надежности для соединения экспоненциальный
Р (t) = exp (—t/T0) = exp (—At), |
(6.77) |
где Л = 1/То — параметр потока отказов для параллельного соеди нения. Подставляя в качестве Т с величины (6.69) и (6.74), получим вероятность безотказной работы соединения в течение времени t соответственно для случаев I и П. Следует помнить, что в случае I существует и точная формула для Р (t) (6.65).
Расчет надежности смешанного соединения элементов. Смешан ным называют такое соединение, в котором присутствуют элементы, соединенные последовательно и параллельно (см. рис. 22, б). Рас
чет надежности такого соединения полностью базируется на форму |
|
лах для последовательного и параллельного соединений. В качестве |
|
примера найдем вероятность безотказной работы в течение времени |
|
t для смешанного, соединения «б» Р в |
(0 (см. рис. 22). Характеристи |
ки надежности отдельных элементов |
соединения должны быть из |
вестны: А,г = l/Toi; Тв1. Для удобства оценки надежности составим расчетную структурную схему соединения «б» (ниже, чтобы избе
жать. путаницы, будем называть его |
узел в). |
Представим узел в |
в виде последовательного соединения |
четырех |
элементов: |
1 — 27 — 8 — 910, |
(6.78) |
|
где 27 — обозначает укрупненный элемент, содержащий элементы 2 — 7 (см. рис. 22, б); аналогично элемент 910 содержит элементы 9 и 10. По формуле (6.54) для последовательного соединения (6.78) получаем вероятность безотказной работы в течение времени t
Рв (/) = Pi (0 Р « V) Р 8 |
(0 Рою (0 = |
Р 2 7 (0 Рою (0 X |
|
|
X exp [—(V + Х8) t). |
(6.79) |
|||
Для нахождения Р 2 7 (t) |
и P 9 i 0 |
(t) строим |
структурные схемы для |
|
каждого из укрупненных |
элементов. Узел |
27 представляем |
в виде |
|
116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 6,5 |
чина К)} |
|
|
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
1 , 5 - Ю 1 1 |
1,4 - 10 1 3 |
1,2 - 10 1 5 |
1 , 1 - 1 0 » |
6 - Ю 3 0 |
2 , 8 - 1 0 s |
2 , 7 - 1 0 ° |
2,6-10? |
2 , 6 - Ю 8 |
3 , 2 - 1 0 1 8 |
156 |
410 |
1090 |
2950 |
8,7 - 10 7 |
18,1 |
31,8 |
57 . |
102 |
5200 |
параллельного соединения элементов 24 и 57. По формуле (6.65) для параллельного соединения I находим
Р 2 7 ( 0 - = і - [1 - Р 2 4 (01 її - PS 7 (01- |
(6-80) |
Это справедливо, если каждый из элементов 24 и 57 после отказа не ремонтируют, а восстанавливают только после отказа соединения. Если любой элемент ремонтируют сразу после отказа независимо от других, можно воспользоваться приближенной формулой (6.77) для параллельного соединения типа Ц:
|
|
|
Р» |
= |
ехр [—Л„ Д, |
|
где |
|
|
|
|
|
|
д __ |
1 . |
у |
_ (Трм/Твм) |
+ |
(Тоът/Твм) + (7^024 Тры/.Твц Твъ7) |
( g g П |
2 7 |
т п ч ' |
|
0 2 7 |
|
( 1 / Г В И ) + ( 1 / Г В , 7 ) |
|
Аналогично расписывая величины Р (t) для узлов 24, 57, 67, 910, окончательно находим
Р в (0 = ехр [ — ( X + X) t] {1 - [ 1 - |
exp ( - |
X t)] X |
||
X [ 1 — exp ( - |
Xlat)}} |
[ 1 — {1 - exp [ - |
(K2 + X3 |
+ X) t]} X |
X {1 - exp ( - V ) [ 1 |
- (1 - |
exp ( - V ) ) (1 - |
exp ( - |
\ t))] \ ] 1 (6.82) |
P" (f) = exp { - fa + X + (l/TM7) |
+ (l/T0910)} |
І}. |
||
§ 6.6. Расчет надежности активной зоны реактора
В общем случае отказом активной зоны считается отказ m и бо лее ее каналов*, где пг — определенное, свое для каждого конкрет ного реактора число. Иногда отказ уже одного канала (m = 1), ска-
* П о д к а н а л о м п о д р а з у м е в а е т с я л и б о о т д е л ь н ы й р а б о ч и й к а н а л р е а к т о р а к а н а л ь н о г о т и п а , л и б о о т д е л ь н а я т е п л о в ы д е л я ю щ а я с б о р к а ( к а с с е т а ) к о р п у с н о г о р е а к т о р а ; м о ж н о п о д р а з у м е в а т ь и о т д е л ь н ы й т в э л .
117
жем его пережог, расплавление, нарушение герметичности оболоч ки твэла, появление течи т. п., вынуждает останавливать реактор. В некоторых случаях допускается работа активной зоны с более чем одним отказавшим каналом (т. > 1).
Выведем формулы для показателей надежности активной зоны применительно к этому общему случаю, а именно будем считать, что, пока в активной зоне число работоспособных каналов больше N — пг (N — общее количество каналов), активная зона работоспособна; как только число отказавших каналов станет равно или превысит некоторое заданное число /п, зона выходит из строя.
В любой период эксплуатации реактора все каналы активной зоны можно разбить на несколько групп равнонадежных каналов. Обозначим полное число таких групп в активной зоне /г*, а число
каналов в отдельной группе nk |
(7е = 1, 2, |
/г*) |
|
V nk = N; |
1 < * * < Л / . |
|
(6.83) |
В начальный период эксплуатации, когда все каналы |
свежие и не |
||
отличаются по энерговыработкам, по степени выгорания горючего,
их различие по надежности возможно только в случае |
присутствия |
||||||
в зоне каналов различной конструкции или технологии |
изготовле |
||||||
ния, а также из-за различия |
каналов по мощности. Если же конст |
||||||
руктивно и технологически |
каналы |
не отличаются, |
то |
в |
группу |
||
равнонадежных можно объединить |
все каналы, имеющие |
одинако |
|||||
вые (или приблизительно |
одинаковые) мощности. Разумеется, для |
||||||
конкретных реакторов и |
типов каналов определяющим |
фактором |
|||||
для разбивки каналов активной зоны иа равнонадежные |
группы |
||||||
могут служить и другие параметры, |
например запасы |
до |
кризиса |
||||
теплоотдачи при кипении, до допустимых температур и т. д. |
|||||||
Специфика реактора и условий работы его каналов |
может быть |
||||||
такова, что позволит достаточно достоверно считать |
все |
каналы |
|||||
активной зоны равнонадежными, в этом случае/г* = |
1 и n h |
= l = N. |
|||||
Кстати, так будет, если надежность канала, в основном, определяет ся качеством (отсутствие погрешностей) проектирования, изготов ления, транспортировки, хранения, монтажа, эксплуатации и слабо
зависит от физико-химических процессов, происходящих |
в, канале |
|||||
при |
правильной эксплуатации. |
|
|
|||
Обозначим |
вероятность |
безотказной |
работы в течение |
времени |
||
t отдельного |
канала, |
принадлежащего |
/г-й группе, pit(t). |
Следова |
||
тельно, вероятность |
отказа |
канала за |
этот промежуток |
времени |
||
rk(t) |
— 1 — ph |
(t). В качестве ph (t) следует принимать зависимость, |
||||
полученную в результате обработки статистики отказов каналов данного типа в эксплуатации или в петлевых испытаниях. Если та кой статистики нет, в качестве рк (t) можно принять экспоненциаль ный закон ph (t) — ехр (—%ht) (см. табл. 6.1), а интенсивность от казов kh выбрать с запасом из табл. П. 10 в приложении.
Формулы для вычисления вероятности безотказной работы ак тивной зоны в течение заданного времени эксплуатации. Рассмотрим такой гипотетический случай: активная зона состоит всего из двух
каналов (N = |
2), имеющих различную надежность. Следовательно, |
||||
/г* = 2, а, = |
По, = |
I , Pi (t) ф р2 |
(0- Запишем тождество |
|
|
|
ІРі |
V) + l\ {t)\ lp, |
(/) + га (()} = 1 • |
(6.84) |
|
Перемножая выражения в скобках, |
получим |
|
|||
Pi (0 />2 (О "I" |
Pi (0 ''з (0 + |
Р2 |
(0 ^ (О + '1 (0 ''2 (0 = |
1- |
|
Первое слагаемое р, (t)p.2 (t) — вероятность, что оба канала в те чение времени t проработают безотказно [это вытекает из теоремы умножения вероятностей (см. табл. 1.1)] или что за время і число от казавших каналов z — 0. Второе слагаемое рх (t)r2 (t) — вероят ность, что за время t первый канал не откажет, а второй выйдет из строя. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей, (см. табл. 1.1), сумма P l (t)r2 (t) + р2 {t)t\ (і) — вероятность, что за время t одни канал (любой) проработает безотказно, а один отка
жет, или что число отказавших каналов составит z = |
1. Аналогично |
|||||||||||
i\ |
(0''" (0 — вероятность, что число отказавших каналов за время t |
|||||||||||
z |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
удобства |
расчета |
вероятностей |
перечисленных |
событий на |
||||||
основе тождества |
(6.84) можно построить так называемый произво |
|||||||||||
дящий |
многочлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lPl |
(t) + хгг |
(t)Up.2 |
(і) + |
xr2 |
(()} = P l |
(t) p, |
(() |
+ |
||
|
|
+ |
ІРі |
V) r a |
(/) |
+ |
p 2 (t) rx |
(t)} x + rx |
(t) ra |
(/) |
x\ |
|
Этот многочлен позволяет находить упомянутые вероятности по про стому формальному правилу: вероятность, что число отказавших каналов равно любому фиксированному значению г, равна коэф фициенту производящего многочлена при х в степени 2. Например, .
вероятность, что z = l , |
равна |
коэффициенту многочлена |
при пер |
|||||
вой степени х и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь рассмотрим реальный случай: активная |
зона |
содержит |
||||||
N каналов. Производящий многочлен для этого случая имеет вид |
||||||||
к* |
|
|
|
|
|
|
|
|
П [ph (і) + xrk |
(t)]"k |
= |
A0 (t) x° + A (t) Xі |
+ ... |
|
|
||
... + Az |
(t) x* + |
... + |
AN |
(t) xN. |
|
(6.85) |
||
Согласно сформулированному |
выше правилу Az (t) — вероятность, |
|||||||
что к моменту t из N каналов активной зоны откажут |
ровно z штук. |
|||||||
Отсюда по теореме сложения (1.9) вероятность, что количество |
от |
|||||||
казавших каналов за время t окажется |
меньше заданного числа |
т, |
||||||
|
|
|
|
т-1 |
|
|
|
|
#в.*(0 = |
Р {і, |
г < т } |
= |
2^,(0- |
|
(6-86) |
||
2=0
По определению это п есть вероятность безотказной работы актив ной зоны за время /. Рассмотрим основные частные случаи.
1. Активная зона отказывает при выходе из строя т ^ 1 ка нала. Согласно выражениям (6.85), (6.86), вероятность ее безотказ ной работы в течение времени t
|
|
Яа.3(0 = А(0= |
ПГМ0]"*= |
П [1-^(01"* = |
|
||||||||
|
|
к* |
|
|
|
ПіЛпк |
— 1) |
,.s, |
|
|
(6.87) |
||
|
|
|
|
1— >h''h(t)- |
|
|
|||||||
|
|
k= 1 |
|
|
|
•rl{t)-. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Когда все [(/if t —l)/2]/-,<(/)<0,01 |
или гь(0<0,02/(/?.А— |
|
1), |
то |
|||||||||
|
|
« а . 8 ( 0 > П 1 1 - п * ^ ( 0 1 = П { 1 - ' Ъ П - Р Л № |
( 6 - 8 7 А ) |
||||||||||
|
|
|
А = 1 |
|
|
fc= 1 |
|
|
|
|
|
||
Если |
же |
ft=I2iiihrh(t)^0,1, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
« а . з ( 0 > 1 - 2 " Л Г * ( 0 = 1 - |
S"fttl-Pft(01- |
|
(6.876) |
||||||||
Когда |
все каналы |
активной зоны |
равнонадежны, т. е. /г* = 1, |
||||||||||
|
|
*..а(0 = |
ft |
= 1 ~ |
|
(/) + |
rj(0 |
|
- |
|
|||
|
|
|
|
N(N-\)(N-2) |
|
|
„з |
|
+ |
|
|
(6.87в) |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
/•2(0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Если зона отказывает при выходе из строя т ^ |
2 каналов, то |
|||||||||||
вероятность ее безотказной р'аботы в течение времени |
t |
получим из |
|||||||||||
формулы |
(6.86): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k* |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.88) |
|
|
Я а . з ( 0 Ч П Ы 0 ] |
|
1 + |
2 |
W V P A W |
|
||||||
|
|
|
|
ft = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
условии 2 |
' г А г й ( 0 ^ 0 Д и л |
и |
max гй (0*^0,1/Л/ |
с |
учетом |
|||||||
|
|
4=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражений (6.87а) |
и (6.876) получаем |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Я а , ( 0 |
= 1 + 2 / 7 * ' ' Ш - |
2 |
' W ) |
|
|
(6.88а) |
|||||
|
|
|
|
|
*=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если все каналы равнонадежны, то из формулы (6.88) получим |
|||||||||||||
# а.з (t) = Рн Vf |
+ # р А (О"' ~lrh{t)= |
|
|
P h |
(tf |
1 + Л / [ і - р * ( 0 |
(6.886) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PA(0 J |
|
||
120