Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 256
Скачиваний: 1
3. Активная зона выходит из строя, когда т ^ 3. По аналогии с выражением (6.88) находим
|
^ а - а ( 0 - { П I P * (0Г*1 • Ь + S Я*-^ЧЙ- |
||||
|
ft=. |
М |
ft=l |
P a W |
|
1 ft* |
rh (t) |
л* - |
1 |
л* |
m it) rj (t) |
|
L (0 |
й = |
і |
; =ft+ i |
|
4. Отказом активной зоны считается выход из строя т и более каналов. Вероятность безотказной работы зоны, состоящей из равнонадежных каналов (при /г* = 1 и nh ~ N), в течение времени t принимает вид
Яа.э(0 = Рк (if + CNPU (tf~' rh (і) + Cl ph (tf~2 гЛ (О2 + . . .
... + |
Ph{if~m+l |
' Ж |
' 1 -"ъСыРЛЪ"-' |
rh(t)1, |
(6.90) |
|
|
|
|
j = |
0 |
|
|
где С« = |
— |
число |
сочетаний |
из N |
элементов |
по і. |
|
il(N—i)l |
|
|
|
|
|
Формулы для вычисления |
ожидаемого числа отказов каналов |
|||||
активной зоны за данное время эксплуатации. Стоящая перед нами задача сводится к следующей математической модели. В опыте участвуют /гь каналов (работают в реакторе в течение времени t). В результате опыта каждый канал может либо отказать (событие А), либо остаться работоспособным (событие А). Вероятность события А
постоянна |
rh |
(t) = 1 — Рь (0- Требуется |
найти |
математическое |
|
ожидание |
тк |
(t) случайной |
величины zh — числа |
каналов из пк, |
|
которые откажут за время |
t. Такая модель |
[см. выражения (3.60)] |
|||
приводит к биномиальному закону распределения zh. Следователь но, искомое математическое ожидание, согласно формуле (3.61), составит
mh(t) = nk[\~ph(t)]. |
(6.91) |
Отсюда для активной зоны в целом, состоящей из /г* групп рав - ненадежных каналов по пк штук в каждой, получим
. m ( 0 = i " k [ l - p k ( 0 1 = |
kinhrk(t). |
(6.92) |
ft=i |
k=i |
|
Следует подчеркнуть, что это среднее число отказов. Фактичес кое число отказов за время t, естественно, имеет какой-то разброс около этого среднего. Величину разброса можно оценить с помощью дисперсии (3.61) случайной величины zk:
D(zh) = |
nhPk(t)U~ph(t)]. |
Тогда для активной зоны в целом дисперсия случайной величины
т (/) = ^zln согласно |
формуле (2.21), |
равна |
|
||
k=i |
|
|
|
|
|
D [щ (/)1 =Д nhPh |
(ОН - |
Ph |
(t)\ = asm. |
(6.93) |
|
Если все каналы активной зоны равионадежны, то |
|
||||
/«(0 = N Н ~ Р к |
(01; |
,„ = 1" Npk{t) |
[1 — ph{t)]. |
(6.93а) |
|
При т ( / ) / 0 m > 3 т (/) распределена практически нормально. Тогда в соответствии с выражением (3.64) вероятность, что число отказав ших каналов за время / работы активной зоны окажется и интерва ле mx <1 т (t) ^ т.2,
от.,+0,5— от (0 — ф |
- 0 , 5 — о т |
(/) |
(6.94) |
|
|
Вероятности, что т (t) будет больше или меньше некоторого фик сированного т, соответственно равны:
Р{'»(0 т) =0,5—Ф
Р{т(0 = ;т} = 0,5 + Ф
•0,5 — т {t)
(6.94а)
т+0,5—т (О
Когда т (t) ат2, биномиальный закон для т (/) приближается к- закону Пуассона (3.68). Этот случай наиболее часто встречается при оценке надежности активной зоны, так как обычно надежность
канала велика (ph (t) |
1, rh (0 = |
1 — Ph (0 |
0) согласно фор |
мулам (6.92) и (6.93), т (/) я* о;п. |
В соответствии с формулой (3.69) |
||
для закона Пуассона можно записать соотношения, аналогичные (6.94) и (6.94а),
Р {m1 <m(0 <іщ} = Q [іщ; m(t)]—Q |
[m2 ; m (0); |
|||
P{m(0> m} = Q[m; m(t)]\ |
|
|
(6.95) |
|
P{m(t)<m}= |
1 —Q[m; m{t)}, |
|
|
|
где Q (tn, a) — табулированная функция, см. табл. П.6. |
||||
Расчет числа запасных каналов. |
Формулы |
(6.92)—(6.95) поз |
||
воляют найти такое число запасных каналов т3 |
(a, t), которых с за |
|||
данной доверительной вероятностью а |
хватит |
для замены отказав |
||
ших каналов активной зоны на период времени t. Для определения т3(а, t) прежде всего необходимо вычислить по формулам (6.92)— (6.93а) величины tn (t) и ат.
• Если функция ph (0 |
неизвестна, можно считать Ph(t)= ехр(—%ht) |
||
и в качестве Xh принять |
с запасом |
некоторую величину к, |
|
например из табл. П. 10 |
в приложении. |
В этом случае удобно все |
|
каналы активной зоны |
(N |
штук) считать приблизительно равно- |
|
надежными и вычисление упомянутых величин вести по формулам
(6.93а). |
_ |
|
|
Если окажется, |
что /п (t)lam ^ 3, то искомое количество |
запас |
|
ных каналов т3(а |
t) определяется как корень уравнения |
|
|
Р {m (t) < т3 |
(а, t)} = а = 0,5 - f Ф | |
(а, 0+0.5 — m{t) |
|
Отсюда |
|
|
|
/п.л(а, t)-• m(/) —0,5 + crm «a-o,5, |
(6.96) |
||
гдеыа _0 ,5 — значение аргумента и функции Лапласа Ф (и), при ко тором Ф = а — 0,5 находится по табл. П.1 в приложении; а — до верительная вероятность, задается расчетчиком [см. выражение
(4.26)1. |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если гп (t)/am |
< |
3 и при этом т (t) ^ |
о,2,,, то тг (a, |
t) надо нахо |
||||||
дить из |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Q K ( a , 0 ; m{t)]=\-a. |
|
|
|
(6.97) |
|
Вычисляем т (t), задаем а, находим Q = |
1 — а |
и из табл. П.6 для |
||||||||
этих Q и tn\t) |
получаем /??3(сс, I). Например, для ос = 0,9 и т (t) = |
|||||||||
— 3,5 |
находим |
m3(0,9; t) = 5. |
|
|
|
|
отдельных |
|||
Формулы для вычисления показателей надежности |
||||||||||
каналов |
при |
известной надежности |
активной |
зоны. |
Полученные |
|||||
выше |
соотношения |
(6.85) — (6.90) |
позволяют |
решить |
обратную |
|||||
задачу: задавшись надежностью зоны оценить, какой при этом долж на быть надежность отдельного канала. Такая задача наиболее просто решается, если все N каналов реактора считаются равнона-
.дежными. Пусть вероятность, что активная зона проработает без отказно время t, R&,3 (t) известна. Тогда искомый показатель на дежности отдельного канала ph (t) можно вычислить как .корень
алгебраического |
уравнения |
N-й степени |
[см. формулу (6.90)] |
у |
|||||||
ph(tf |
|
+ ClNPh(tf-l[l-pk(t)} |
|
+ |
...+ |
|
|
|
|||
+ С%-1 |
рк |
(tf~m+l |
[1 - P h |
(і)]"1' |
1 = |
Я а . 3 (t). |
|
(6.98) |
|||
Для случая m ^ |
2 это уравнение можно упростить, если восполь |
||||||||||
зоваться тем, что обычно Pfc(tf)-»-l, |
N > |
100, m ^ . 1 0 . |
В |
част |
|||||||
ности, при N [I — pk (t)] ^ |
0,1 из выражения |
(6.98) получаем |
|
||||||||
ph(t) |
~ |
R, |
<t)UiN-m+1) |
~ |
1 - |
1 ~ j |
R a - 3 { t ) . |
(6.99) |
|||
r f t v |
|
d ' 3 W |
|
|
|
N—m+l |
|
|
|
||
Если воспользоваться формулой (6.28), из выражения (6.99) |
|||||||||||
легко найти интенсивность отказов Kh |
для отдельного канала |
' |
' |
||||||||
к |
^ |
|
Pk(t) |
= |
Д.'.э (t) |
|
__ |
|
', |
] |
|
h |
|
|
Pk(t) |
|
(N-m+\)Ra.a(t) |
|
|
|
|||
_ |
|
^а.зєхр (— ^а.зО |
_ |
^а.з |
С6 100) |
||||||
|
' (N — /и+1) ехр(— Яа .а0 |
N — m+l' |
|
|
|
||||||
§ 6.7. Расчет надежности конструктивных элементов реакторных установок
Общий аналитический подход. Обычно надежность конструкций характеризуют коэффициентом запаса, равным отношению, напри мер, предела прочности материала (рассматриваемого конструктив ного элемента) к определяющему напряжению. Однако такой пока затель недостаточен для полной оценки надежности. Его вычисление не дает ответа на вопрос, какова вероятность отказа; считается, что изделие абсолютно надежно. Поэтому на современном этапе многие специалисты начинают склоняться к тому, что оценка надежности конструктивных элементов в общем случае должна наряду с расче том указанного показателя включать вычисление и других показа телей, базирующееся на вероятностном подходе. В последнее время такой подход начинает находить все большее применение в машино строении [15,52]. Кратко рассмотрим основные идеи этого подхода, дополнив их некоторыми собственными соображениями.
Одним из основных механизмов, приводящих к разрушению кон структивных элементов реакторных установок, которые, как прави
ло, |
работают в условиях высоких температур, являются ползучесть |
и |
усталость материала. Обычно считают, что процессы, лежащие |
в основе явлений ползучести и усталости, не зависят друг от друга.
Это, в частности, означает, |
что, если известны |
вероятности отказа |
|||||||
конструктивного |
элемента |
в течение |
времени |
/ |
из-за |
ползучести |
|||
Fu |
(t) и усталости Fy(t), |
то |
его надежность (или |
вероятность, что |
|||||
он не выйдет из |
строя за время t) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
R (t) = |
Ц —Fn |
(t)]-\l |
— Fy |
(01. |
|
(6.101) |
|
|
Итак, чтобы |
вычислить |
R (t), |
необходимо |
найти |
вероятности |
|||
Fn |
(t) и Fy(t). Процедуры их вычисления формально абсолютно иден |
||||||||
тичны и отличаются только исходными данными. Поэтому достаточ но рассмотреть вычисление любой из них, например Fa (t).
Обозначим определяющее напряжение в элементе конструкции, вызываемое действующей нагрузкой, q, а предел длительной проч ности материала р. Заметим, что все дальнейшие рассуждения в рав ной мере будут справедливы для случая усталостного разрушения, если под q подразумевать, например, деформацию материала, вызы ваемую циклической нагрузкой, а под р — предельную деформацию для данного материала, при которой происходит разрушение. Обыч но известны средние значения р и q. Кстати, именно ими и опери рует классическая теория прочности, которая не учитывает всегда присутствующих случайных колебаний напряжения (нагрузки) q и характеристик прочности материала р. В соответствии с класси ческим подходом коэффициент запаса прочности
K^r'plq- • (6-Ю2)