Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 239
Скачиваний: 1
Определим |
дисперсию величины х. Используя формулу (2.16) |
и правила |
(2.12) и (2.13), находим |
|
2 М(х?)+2 * 2 |
f. |
M(XiXj) |
|
|
і=1 |
|
|
|
•ПМ(ХІ) |
пМ (х2 ) + 2 п ( п |
l ) М (xt |
Xj) |
|
-[М (x)f = м |
^ ~ м а ^ (1 -!=±) |
= Ш |
( 1 |
) . (11.6) |
Здесь воспользовались следующими очевидными тождествами, вы
текающими |
из выражений |
|
(11.3)—(11.5): |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
і |
= п |
|
М |
( |
Х |
2 |
) ; |
2 хг |
= /И (Х) JV; |
|
|
||||
|
V |
м |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
/ |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N—l |
N |
|
|
|
[М (х) |
( Ц х |
г |
/ |
|
= 2 ^ + 2 |
2 2 (хг ху ) |
= |
|
|||||||||
|
|
\: = 1 |
|
|
|
|
і = і |
|
|
|
|
г = і/~г+і |
|
|
|||
|
|
|
= 2 х ? + 2 М ( х Л - ) С ^ . |
|
|
|
|||||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2*? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛГ (W |
— 1 ) |
|
|
|
|
|||
где Лї (ХІХ7 -) — среднее для комплекта |
каналов |
значение |
произве |
||||||||||||||
дения XiXj, |
і Ф |
/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По аналогии с выражением (4.30) не трудно получить, что с до |
|||||||||||||||||
верительной |
вероятностью |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
| х-М |
(х) | < |
иа/2 [о (x)/Vn] |
|
] / " l - [ ( / l - l ) / ( / V - l ) ] , |
(11.7) |
||||||||||||
где иА/2 — коэффициент, |
зависящий |
от |
а |
[см. выражение |
(4.31)1; |
||||||||||||
о (х) == У D (х). Заметим, |
|
что неравенство (11.7) является |
более |
||||||||||||||
общим соотношением, чем (4.30), поскольку из него выражение (4.30) получается как частный случай при N п.
Потребуем, чтобы погрешность | х — М |
(х) | была меньше задан |
ной доли є от а (х), и найдем значение |
п, при котором выпол |
няется требование
а ( х ) |
Т / и К |
(11.8) |
Л/ — 1 |
Отсюда искомый объем* выборки |
|
|
|
|
||
п= |
» |
= |
|
! |
. |
(11.9) |
|
l+(/V—1) |
|
+ |
|
|
|
|
V "а/2 |
У |
/V ^ |
N |
|
|
Итак, если выберем для измерений из генеральной совокупности в N элементов п штук изделий по формуле (11.9), то с доверительной вероятностью а абсолютная погрешность в определении х составит еа (х).
Пример. Изготовлена партия каналов N — 1000 штук для первой загрузки активной зоны реактора. Для оценки запаса реак тивности необходимо знать среднюю по зоне загрузку 2 3 5 U в отдель ный канал х. Какое количество каналов п необходимо для измерения загрузки х{?
Поскольку |
обычно |
величина а (х) < |
Л/2, где А — половина |
||
допуска для |
параметра |
х, то считаем достаточным |
определение х |
||
с погрешностью є = 0,1. Задаваясь |
доверительной |
вероятностью |
|||
а — 0,95, по табл. П.1 |
находим иа/з = |
1,96. Подставляя эти ве |
|||
личины в формулу (11.9), получаем |
искомое число каналов |
||||
|
|
юоо |
|
2 ? 8 _ |
|
|
|
1 + 9 9 9 ( 0 , 1 / 1 , 9 6 ) 2 |
|
|
|
Интересно, что при N —у оо п= («а/г/е)2 = |
384, что на 40% больше. |
||||
§ 11.2. Закон распределения
производственных погрешностей конструкционных параметров реактора
Фактическое значение любого конструкционного параметра
реактора можно записать |
в виде: |
|
|
х = хя + Ьх, |
(11.10) |
где 6Л: — фактическая |
производственная погрешность, |
случай |
ная величина. Кривая распределения / (х) случайной величины х будет в точности совпадать с кривой распределения производствен ных погрешностей f (ох), если последнюю сдвинуть вправо по.оси
ординат на постоянную величину |
хя. |
|
|
|
|
|
Теоретические предпосылки (см. например, работу [6]) и факти |
||||||
ческие данные, полученные применительно к изделиям |
реакторо- |
|||||
* Е с л и п р и и з м е р е н и и о т д е л ь н ы х з н а ч е н и й п а р а м е т р а х{ |
п о г р е ш н о с т ь |
|||||
о к р у г л е н и я б о л ь ш е 0 , 2 Д |
[в э т о м с л у ч а е в ы б о р к а |
(11.2) о б ы ч н о |
с о д е р ж и т |
н е |
||
б о л е е 10 р а з л и ч а ю щ и х с я |
з н а ч е н и й xt, |
о с т а л ь н ы е |
с о в п а д а ю т с |
н и м и ] , |
т о |
н е |
с у щ е с т в у е т п, п р и к о т о р о м э м п и р и ч е с к и й з а к о н / |
(х) м о ж н о п о с т р о и т ь |
д о с т а |
||||
т о ч н о д о с т о в е р н о ( д а ж е п р и п = N). П о э т о м у п о г р е ш н о с т ь о к р у г л е н и я д о л ж н а б ы т ь н е б о л ь ш е 0 , 0 2 Д .
строения, позволяют сделать вывод, что наиболее общей аналитиче ской формой закона / (х), описывающей практически все встречаю щиеся в условиях реакторостроения распределения производствен ных погрешностей конструкционных параметров (в частности, пара метров каналов активной зоны), является нормальный асимметрич но усеченный закон. Он получается из нормального закона (3.9)
firop ( х ) : |
ехр |
(11.11) |
путем усечения его бесконечных ветвей границами допуска (11.1). Физически это происходит в результате отбраковки части изде лий, параметры которых выходят из допуска. Таким образом, усечен ный закон можно записать в виде
О |
|
|
|
С |
|
при|л-— х и | > |
Д; |
• У 2п |
- т |
при | х—хи | ^ |
Д. (11.12) |
|
('-=?)] |
|
Здесь С — постоянный коэффициент, который легко находится из условия нормировки
j f(x)dx'=-. |
j |
f(x)dx=l. |
Подставляя выражение (11.12) и интегрируя, легко находим
С = [Ф (ДІ/ОГ) + Ф (Да/а)]"1 ,
где |
Ді = хв — (ха — Д); |
Д 2 |
= х„ + Д — хв |
||
(рис. 28); Ф |
(и) — функция |
Лапласа |
(3.11). Обозначим |
отношения |
|
|
di = |
AJa; |
• A J |
а |
(11.13) |
и назовем их параметрами усечения (соответственно левым и пра вым). Эти параметры показывают, на каком количестве средних квадратических отклонений о от точки хв усечены соответственно левая и правая ветви нормального закона (11.11). Следует обратить вни мание, что а здесь — среднее квадрэтическое отклонение для исход ного (неусеченного) нормального закона (11.11), который описывает производственные погрешности' всех изделий, в том числе и тех,
которые будут отбракованы. Это ст, естественно, в общем |
случае |
не совпадает со средним квадр этическим отклонением для |
закона |
/ (х) (11.12); последнее всегда не больше а. Из выражений (11.13) (пу
тем сложения ах |
+ а2 ) |
находим |
|
а = |
(Аг + |
Д2 )/(а1 + а,) = 2А/(а1 + а2 ). |
(11.14) |
Используя полученные результаты, запишем в окончательном виде асимметрично усеченный нормальный закон:
1 I |
Х—ХВ\2] |
|
|
|
•ехр |
|
_ при | |
х—л:п , Л; |
|
2 |
|
(11.15) |
||
|
|
|
|
|
О |
|
при | |
X—ХН|>Д. |
|
Из рис. 28 видно, что хв |
= хи |
+ (Дх — А). Подставляя сюда Дх |
||
из выражения (11.13) и А из формулы (11.14), получаем |
|
|||
|
• ^ - ^ а |
= х и + |
Д flx + ao |
(11.16) |
Таким образом, поскольку обычно хн и Д заданы, то закон / (х) зависит только от двух неизвестных параметров усечения ах и а2. Их можно найти по результатам замеров фактических значений
Р и с . 2 8 . А с и м м е т р и ч н о у с е ч е н н ы й ' н о р м а л ь н ы й з а к о н .
х на п идентичных изделиях, т. е. по выборке (11.2) с помощью, на пример, метода моментов, см. выражения (4.18). Сначала определя ем эмпирическое среднее значение х (первый начальный момент) и эмпирическую дисперсию с£ (второй центральный момент), для параметра х. По формулам (4.6), (4.8) получаем
i = l ^ t ; a J = - L |
У |
(xi—xf^-^—ix^—x), |
(11.17) |
( = 1 |
; = |
і |
|
где X і = — 2 х]. Вычисляем соответствующие теоретические мо-
л1=1
менты [см. выражения (4.16) и (4.17)] для параметра х : М {х) и
D (x). Приравнивая эмпирические и теоретические моменты и под ставляя вместо А-в и а выражения (11.16) и (11.14), получаем систему двух уравнений для вычисления ах и а2:
- |
|
п . |
я |
|
/~ о |
Л 0 — о | / 2 |
„ — «5/2 |
. |
(Ц.18) |
|
х = х„ + Аа-±-^ |
|
+ -\/ |
|
|
= ^ |
|||||
|
|
а^ап |
|
V |
л |
ах + а2 |
Ф ( о 1 |
) + Ф ( а а ) |
|
|
а,- = |
2Д |
|
|
1 |
о 1 е Т п ^ / 2 |
+ я » ' -uS/2 |
|
|
||
|
|
"1/2л |
Ф {ах) + Ф (я 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
е - « ї / 2 _ е - й | / 2 |
|
|
|
|
||
|
|
^ |
2 я |
|
Ф(ах) + |
Ф(а . ) |
|
|
|
|
При |
симметричном |
усеченном |
нормальном |
законе |
(т. е. при |
|||||
Q i = аъ) |
первое уравнение |
превращается |
в |
равенство |
х — хн. |
|||||
В этом (кстати, очень распространенном на практике) случае пара
метр усечения а = |
аЛ —- а., находится в результате решения второго |
||||||
уравнения системы |
(11.18) (см. работу |
[6], стр. 267). Если ахФ а2, |
|||||
то наиболее простое решение системы |
(11.18) получается |
в случае |
|||||
ах > 3 и о 2 |
> 3 . |
При |
этом |
условии членами, содержащими |
|||
ехр (—OiV2), |
можно пренебречь. В результате имеем |
|
|||||
|
|
ах |
= |
(А + |
х — |
А-Н)/СГЭ; |
|
|
|
а2 |
= |
(А — А + |
х„)/аа. |
(11.19) |
|
В общем случае систему трансцендентных уравнений (11.18) удобнее решать на ЭЦВМ методом последовательных приближений. Однако это можно сделать и вручную, учитывая, что практический
диапазон |
изменения |
искомых |
величин |
ах |
и а2 мал: О <І аг |
^ 6, |
|||||||||
О ^ а2 < 6, причем |
обычно ах |
+ а2 |
^ |
3. Ручной счет |
облегчается, |
||||||||||
если ввести в рассмотрение фунцию |
Л = |
(А- — Л'„)/Д. Из первого |
|||||||||||||
уравнения |
системы |
(11.18) |
находим |
|
|
|
|
|
|
||||||
л , |
, |
а х - а 2 |
, , / Т |
1 |
|
e x p ( - a f / 2 ) - e x p ( - a I / 2 ) |
|
||||||||
А(а1,а,) |
= — |
- + Л/ |
— • |
|
|
• |
|
|
|
|
.(11.20) |
||||
|
|
ах±-а2 |
V |
|
я |
ах + а2 |
|
|
Ф ( а 1 ) + Ф(а 2 ) |
v |
|
||||
Эта зависимость приведена |
на рис. 29, где аг — больший по вели |
||||||||||||||
чине параметр усечения; если а2 > аи |
то на рисунке |
достаточно |
|||||||||||||
поменять местами индексы |
/ и 2 для а и поставить минус перед Л . |
||||||||||||||
При ручном подборе а |
и а2 |
следует помнить, что, согласно выраже |
|||||||||||||
ниям |
(11.13) и |
(11.18), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
^ |
= д , = |
|
* В - * Н + А , а і + |
Й 2 < ^ Д _ _ |
|
( П |
2 1 ) |
||||||
|
|
а 2 |
Д 2 |
|
* Н + Д — х в |
|
|
аэ |
|
|
|
||||
Заметим, что зависимостью на рис. 29 можно пользоваться |
так |
||||||||||||||
же, например, при анализе влияния параметров ах |
и а2 |
на среднее |
|||||||||||||
значение |
х. Задавшись |
аг |
и а2, |
легко |
находим |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
х |
= хн |
+ |
АЛ (а1 ( а2).. |
- |
(11.22) |
|||||