другой |
|
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ds, z |
е |
тс, |
|
/(*) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
f a (k |
) — некоторая |
|
весовая |
[(г, сг)| - м п ) |
непрерывная |
|
|
|
|
|
функция, |
по б со значениями в |
33<ег |
|
к, |
единственная |
при фикси |
Г { г ) .по |
|
рованном полиноме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование Лапласа применяется для построения |
интегральных представлении и других классов голоморф |
ных функций (см., |
например, [13]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
У равнения в свертках. |
Системой уравнений в сверт |
|
|
|
|
|
системуZ |
|
вида |
|
ках |
называют |
|
g, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
и = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
g |
= |
|
(glt |
|
. . ., |
gw) — заданный(33')N, Z |
ІѴ-векторZ im |
из |
(3 |
V)N |
(т. е. все g, е |
|
1 |
= |
|
1 , . . |
., |
N ), |
и = (иѵ |
. . ., |
uN) — |
|
|
|
из |
|
|
|
= |
|| |
|| — заданная |
неизвестный. . ., |
ІѴ-вектор |
|
|
|
N |
X |
-/Ѵ-матрица из |
(3)')NxN |
(т. e. все |
Z lm |
eE |
SD', |
l, m |
= |
= 1, |
|
|
|
N )i |
везде |
ÜУ |
= |
3)' (Лп). |
К |
такому |
виду при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водятся, например, системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При иссле довании систем уравнений в свертках успешно при меняется преобразование Лапласа. Наиболее подробно
исследованы |
линейные |
пассивные |
системы, |
т. е. |
|
системы |
|
|
|
пассивности |
|
|
уравнений в свертках, |
в которых |
матрица |
Z |
вещественна |
и удовлетворяет |
условию |
|
dx |
> |
0, cp ее |
33n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
^ <Z * cp, ср> |
|
|
|
|
|
|
|
где |
С |
|
|
|
-с* |
|
|
|
|
|
выпуклый конус |
|
|
— некоторый открытый острый |
в |
Л п |
с вершиной в нуле |
а, |
Ь> = |
+ . . . + |
|
aNbN |
— |
|
|
< |
|
|
скалярное |
произведение |
в |
|
(в этом |
случае |
говорят, |
что |
матрица |
Z |
задает |
пассивный |
оператор |
Z*). |
Такие |
системы |
часто |
встречаются в математической |
|
физике |
(линейные термодинамические системы, теория электри ческих цепей, рассеяние электромагнитных волн, теория
элементарных |
частиц |
и |
|
т. |
д.) и |
подробно изучены |
В . С. Владимировым |
[6]. |
В |
случае |
одной независимой |
переменной |
п = |
І и конуса |
С |
= (0, + |
оо) линейные пас |
|
|
сивные системы были изучены ранее рядом авторов (см.,
например, |
цитируемую в |
[6] литературу). |
|
|
В статье [6] показано, что из условия пассивности сле |
дует, что |
supp |
Z CZ С* |
(т. е. supp |
Z lm |
d |
С* |
для всех- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I, m |
|
1, |
|
. . |
N) |
и Z |
e |
(g')N* N, |
T. e. Z GE (5' (C*)lWxW. |
|
\Z]= |
|
|
|
|
|
Поэтому |
матрица |
|
Z |
обладает |
преобразованием Лапласа |
S |
|
e |
[Я (C)lNxJV |
(т. e. |
все |
£ |
\Zlm |
|
|
Кроме |
|
1ЕЕ Я (С)). |
того, |
из |
пассивности |
следует, |
чтоZ матрица |
S[Z](z) + |
+ £ |
[Z]* |
(z) положительно определена при всех z |
ее |
Г 0. |
Пусть теперь |
пассивный |
оператор |
* — |
невырооюденный, |
т. е. |
clet £ |
[Z] |
Ф |
0 |
|
при |
всех |
z е |
Г с ; тогда |
существует |
|
|
|
(единственный в классе невырожденных пассивных опера
торов) обратный оператор |
А * . |
Иначе говоря, при этих |
условиях существует |
Zединственное решение уравнения |
|
* |
А |
= |
18, |
|
|
|
где I — единичная матрица, а А — неизвестная N X N - матрица из \S' (C*)]NxN, задающая невырожденный пас сивный оператор А * . Это решение А называется фунда ментальным решением исходного уравнения в свертках.
Поясним этот результат на примере уравнения
|
rpeZ |
g |
Z * и = |
g, |
|
|
|
|
— заданы, a u — неизвестная |
обобщенная функ |
|
|
и S ' |
|
ция из |
(С*), причем Re £ |
\Z\ |
(z) > |
0, z |
ё |
К . Послед |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нее условие выражает свойства пассивности и невырожден
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ности оператора |
|
Z * . |
Справедлива |
Пустъ |
|
|
голоморфна |
|
Т е о р е м а |
|
(Владимиров [5]). |
/ (z) |
в |
области |
|
Т с |
и |
Im / (z) > 0 , |
z е |
|
T g. |
Тогда f |
(z) EE |
H q- |
|
Так |
|
как |
Re £ |
\Z) |
> 0 в |
T c, |
то |
функция / (z) = |
= |
^ |
(z)' |
голоморфна и Re/(z) > |
0 в |
T G. |
Согласно при |
веденной выше теореме отсюда следует, |
что / (z) £Е Я |
(С). |
А |
тогда |
определена |
обобщенная |
функция |
|
|
|
4 ® = ®"1 Ы г г ] ® e S '( C " ) .
Очевидно, А (£) является решением уравнения Z * А = = б. В силу известных свойств преобразования Лапласа это решение единственное в классе невырожденных пас
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сивных |
операторов. |
Пустъ |
|
(в |
|
|
|
голоморфна, f |
(z) =£ 0 |
|
С л е д с т в и е . |
|
/ (z) — |
и |
Arg / (z) |
ограничен в |
T G |
|
|
|
теорем.е |
0 -< Arg / < ; я). |
Тогда |
/ (z) |
и l l f |
(z) |
принадлежат Н {С). |
|
S' (С*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
Используя это следствие, легко показать, что всегда |
существует фундаментальное решение |
|
ее |
|
|
|
урав |
нения |
|
в свертках |
|
* |
|
= |
|
если |
|
|
ЕЕ |
|
и |
|
удов |
|
Z |
и |
g, |
|
Z |
|
|
S' |
(С*) |
Z |
летворяет |
условию: |
|
£ |
\Z) Ф |
0, |
|
|
|
|
|
Z] |
— ограничен |
|
|
|
|
|
Arg £ [ |
|
в Т°. В частности, линейное дифференциальное уравне ние с постоянными коэффициентами
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (Ш) и = |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
S' |
(С*), |
имеет единственное фундаментальное решение из |
|
|
|
если |
Р (z) ф |
0 в |
Тс . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
Обобщенные функции, связанные со световым конусом |
9]. |
|
Приведем |
преобразования |
|
Лапласа некоторых |
[3, 4, |
|
|
функций, |
|
часто |
х |
встречающихся |
в |
|
квантовой |
|
|
теории |
поля. |
Обозначим |
= |
(£0, |
хл-> |
• |
• |
•> хп)> |
У , |
• • • ЕЕ |
J? n+1; |
z = (z0, |
|
zlt |
. . . , |
|
zn) |
= |
X |
+ |
iy |
e |
|
tën+1; |
z I |
|
= |
z0g0— |
— Zili — . . . |
— Z„£n; |
z2 = |
zz;y-fc = |
(y : y2 > 0 , |
y„ ^ |
0}; |
Г т = |
{г/ : У2 = |
|
т г , У о ^ О } . |
|
|
= |
|
S [Ѳѵ+ ] (z) — ядро |
Вычислим |
прежде |
|
|
всего |
|
/£у+ (z) |
|
области |
Тѵ+. |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z<=TV+. |
|
|
|
|
|
|
|
|
v+(z) = |
ѵ+ |
|
|
|
|
|
|
ѵ+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ку+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
— голоморфная |
в |
Тѵ+ |
функция |
то доста |
точно вычислить ее при |
z |
= |
іу, |
у |
ее |
V*. |
|
Полагая z = |
ipvt |
0 < р |
= |
|
|/лу2 < |
j |
+ |
оо, ѵ е Г ^ |
получим |
|
|
|
. |
|
где Cn = |
|
m = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ e_v5d£ не зависит от v E |
ГІ в силу лоренцевой |
инвариантности |
|
подынтегрального |
|
выражения. |
|
Простые |
|
|
|
ѵ+ |
|
дают |
С п |
|
= 2пя(п-1>/2 |
|
|
((п |
+ |
1)/2). |
|
Таким |
вычисления |
|
|
|
|
ГКу+ |
|
|
образом, |
|
получаем |
выражение для |
|
|
|
|
|
(z): |
|
|
|
|
|
K v+ (z) = 2пл<"-і>/2 Г ((re + 1)/2) [ - z2]-<n+1)/2.
В случае |
реального пространства-времени ге = 3; при |
этом |
Kv+ |
(z) |
= |
8 я [z2]-2. |
|
|
|
|
|
Вычислим теперь преобразование Лапласа инвариант |
ной меры |
8т |
на гиперболоиде |
Гт, |
гег |
|
0. Имеем |
3)т (г) = й [8т] (z) = $ е^Ѳ (g0) б (£2 - |
|
т?) dg, z e= |
|
Как и в первом случае, |
получим |
тгп'2/п.11_1 |
S m (ІУ) |
Г |
e ~ PlmQ |
W 6 (** - |
|
m 2) ^ |
|
= |
5 |
|
|
= |
V O l i W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со
где (и) = ^ e_uchtpshn_1c|)dcp. Вспоминая известную фор-
о
мулу для функции Макдональда
|
|
|
|
К а (и) = |
оо |
e~uch4> chacp <3ср, |
Re и ]> О, |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
получим |
Ко |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
IW (и) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
/(1) |
(и) |
= |
(и), |
|
И« (н) = |
|
- ^ |
|
, |
= 4 |
^ 1 |
(“ )• |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
Для более высоких |
легко получить рекуррентную фор |
мулу: |
|
/(П+2) (“ ) = |
|
(і£г - |
1) |
1{п) |
(И), и = 2, 3, . . . |
|
|
|
Таким образом, 2)m (z) = |
~r |
fiß j- |
1{п) |
(,и Ѵ""— |
|
2 |
|
z S |
Г ѵ+. |
|
|
|
|
|
|
2), |
|
В частности, при |
п — 3 |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) = |
|
у — Z “ |
^ |
|
( т / = " ? ) , Z <ЕЕ 7^+. |
|
|
Из полученного выражения следует, |
что |
D m (z) |
голоморф |
но |
продолжается в область |
|
|
— {z: z2 ф |
р |
|
|
0}, |
назы |
ваемую |
расширенной |
трубой. |
В |
квантовой |
|
теории |
поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
используются обобщенные функции ü\n (х) и D (m (х), яв ляющиеся граничными значениями D m (z):
(Х) = Т^ТТГ |
lim |
Dm(* + iy), |
(2it) |
„ _ 0л;еу± |
|
где предел справа понимается в смысле §'. При т = 0 можно воспользоваться следующим легко проверяемым равенством (см., например, [3], стр. 347):
О Ѳу+ = 2 (п — 1) 6J, п > 2,
где 6q — инвариантная мера на |
Го- |
Используя |
эту фор |
|
мулу, |
получим |
( g o рп) -і-Дпб -и=/а / „ I■ |
л2 |
|
(□ дѲѵ+_ 1( g |
) =1 ) |
J |
_ |
$ |
\ |
Do (z) |
= |
* * Ѳ |
( l2) d l |
|
é * |
|
d l |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При п — 3 имеем D 0 (z) = — 2n/z2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л И Т Е Р А Т У Р А |
|
|
|
|
|
|
|
|
[1] |
L . S с h w а г t z, |
|
Transformation de |
Laplace des |
distribu |
|
tions, Medd. Lunds Univ. mat. Semin. |
(Supplementband), |
[2] |
196, |
1952. |
|
Supports dans |
la transformation de |
Laplace, |
J . L . |
L i o n s , |
[3] |
J . Analyse |
M ath ., |
2, 369, |
1952—1953. |
функций |
многих |
В. |
С . |
В л а д п |
|
и p о в, Методы теории |
|
комплексных |
переменных, «Наука», |
1964. |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
[4] |
В. |
С. |
В л а д и м и р о в, Обобщение |
интегрального пред |
|
ставления |
Коши — |
Бохнера, |
Изв. А Н |
СССР , серия матем. |
|
33, |
90, |
1969. |
|
|
|
|
|
|
|
[5]В . С. В л а д и м и р о в, Голоморфные функции с неотри цательной мнимой частью в трубчатой области над конусом,
[6] |
Матем. |
сборник |
79, |
128, |
1969. |
|
пассивные |
системы, |
В. С. |
В л а д и м и р о в , |
Линейные |
[7] |
ТМФ 1, |
67, 1969. |
|
|
Обобщенные |
функции с |
носите |
В. С. |
В л а д и м и р о в, |
|
лями, ограниченными со стороны выпуклого острого конуса, |
[8] |
Сиб. |
матем. ж. 9, 1238, |
1968. |
|
|
|
Копш — |
Бох |
В. С. |
В л а д н м и р о в, |
О |
представлении |
[9] |
нера, |
Изв. А Н СССР , |
серия |
матем., |
1972 |
(в печати). |
в |
Н . Н . |
Б о г о л ю б о в |
и |
Д . В. |
Ш и р к о в, Введение |
[10] |
теорию |
квантованных |
полей, |
М ., Гостехиздат, 1957. |
|
|
И . М. Г е л ь ф а н д |
и Г. |
Е . |
III и л о в, |
Обобщенные функ |
|
ции, |
вып. 2, М ., |
Фпзматгиз, 1958. |
|
|
|
|
|
|
[И ] |
Н . G . Т і 1 1 m а п п, |
Darstellung |
der |
Schwartschen |
Dis |
|
tributionen durch |
aualytisho |
Funktionen, |
Math. |
Zeit. |
77, |
[12] |
106, |
1961. |
Théorie |
des |
distributions, |
t. I — II, Paris, |
L. S c h w a r t z , |
[13] |
1950—51. |
|
|
и |
|
В . В . Ж а р и н о в, |
О |
пред |
В . С. |
В л а д и м и р о в |
|
|
ставлении типа Поста — Лемана — Дайсона, ТМФ 3, |
305, |
|
1970. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
