сящий от выбора у ЕЕ С , и имеет место равенство
(g, |
cp) |
|
lim |
(gR, |
cp) |
|
Im z==i/sC |
/ (г) S [ф ] ( — г) |
(2л> |
|
= |
Л— |
|
= |
. 5 |
, е р е ® , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
£[ф ] (г) = § е{(г- 5)ф (I) dl;
2)построенная обобщенная функция g €Е 3)' однознач но расширяется до обобщенной функции g' е §', и имеет место равенство
где |
f |
X) |
|
|
8' |
|
|
g' |
(I) |
= |
F -1 |
[/] (|), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— граничное |
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|
Фурье( |
|
ЕЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
/ (z) |
при |
у —» 0, |
существующее в силу теоремы |
1, |
а преобразование |
понимается в смысле § '. |
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
g'. |
|
|
отождествлять |
|
|
|
и |
|
|
З а м е ч а н и е . |
Мы |
будем |
|
|
|
|
|
П рgе |
д л о ж е н и е |
8. |
|
Пустъ f |
(z) |
е |
Н с и g |
— |
обоб |
щенная функция, построенная в предложении |
|
7; |
тогда |
supp |
с |
|
F а, |
где |
число а определяется |
|
|
|
|
F а (z) |
|
|
|
|
|
оценкой для f |
|
(см. определение 4). |
|
|
|
|
|
Вспомним, |
(учто, |
|
|
|
= |
= |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
|
|
|
{£ : Цс (£) < |
я}. ГДе |
Цс (I) |
|
= |
sup |
|
[— |
|)L |
Таким |
|
|
{у |
|
|
|
|
|
а; |
|
__ |
|
F a |
|
|
ѵергс |
|
у 0 |
|
|
|
С |
|
|
|
образом, |
для |
|
любого | 0 |
е= |
|
|
найдется |
|
е рг |
|
такое, |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
что — |
|
о, |о) )> |
|
|
более у |
того, |
найдутся |
числа |
е )> О |
и |
U (Іо, |
такие{I, |
чтоI U— Іо |
|
, | ) > а |
|
+ |
|
е |
для |
всех |
е |
Ю |
5 > |
0 |
б) = |
|
: I |
— |
( |
|
|
|
|
|
теперь ф |
| |
е |
е |
|
|
|
|
|
I |
< б } . |
|
Пусть |
|
|
такая, |
что supp |
ф С |
( |0, б); |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |
I е((У<” 5)ф (I) I |
|
{max | ф (|) |} е-(“+Е)'. |
для |
/ (z), |
|
Используя |
полученную |
|
оценку |
|
|
и |
|
оценку |
получим |
|
|
|
5 |
/(*)$<-«>. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
І ( е , ф > Н |
1Ira |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(х |
I+ |
^ityi |
[ е;-«*’ |
*> |
|
( |
1Az)N -[е‘(у* |
|
5d)l] |
|
|
|
^ |
|
|
|
|
I J (1 + |
1* P)N J |
|
V |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
(2л) |
|
|
|
|
< J |
|
|
17 |
|
|
|
|
fP)e |
(1 + |
p)N max IФ (I) I • е~(“+Е)' |
X |
|
x mes |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ + У < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
M 2 (1 + |
|
i2iV+P) e~tl, |
следует, что gt = |
gs на |
всем |
S c , |
что и требовалось |
доказать. |
Имеет |
место |
равенство |
С л е д с т в и е . |
g |
|
іу) |
= |
F |
[g] |
(x), |
lim |
£ [ ] (а: + |
|
|
|
V—»o, v e C '
(;предел и преобразование Фурье понимаются в смысле §').
Теорема 2 утверждает, что преобразование Лапласа отображает S'c на все Н с , и что существует обратное ото
бражение Н с |
на S'c■ Это обратное отображение называет |
ся обратным |
преобразованием Лапласа и обозначается |
й“1 [/]. Заметим, что на S'c и Н с можно ввести топологии таким образом, что преобразования £ и £_1 будут непре рывными.
4.Свойства преобразования Лапласа
Вэтом пункте мы рассмотрим ряд свойств прямого и обрат ного преобразований Лапласа, обычно применяемых в при ложениях.
Прежде всего введем на S c элементарные операции.
1. |
Сдвиг-, |
пусть |
g |
€Е Sc и |
h |
£Е |
|
|
|
определим функци |
gh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
онал |
|
|
равенством |
|
|
|
|
|
|
(g(l), |
|
|
|
h)), |
|
|
|
(ff/n |
ф) = |
(Я(Е |
— h), |
cp (I)) |
= |
|
|
ф ( і + |
|
|
Ф е Не |
очевидноположим , |
gh(E. S ’c', |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(К) |
|
gh болеетогдатого, имеетS cместо, причем |
|
S c ; |
П р е д л о ж е н и е 9. 1) |
|
Пусть |
g |
е= |
S c |
и |
ф £ |
|
ф Dееa |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф = ( |
D,a |
ф); |
|
= |
|
|
ф), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
|
ф (h) |
|
|
(gh, |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
приII Ф||а> р ^ |
|
■ ^•Ц |
|
||а0, Po’! фЦа+а,,, р+р0> |
|
|
,^ 0 , р |
= |
0, 1, . . . , |
|
|
|
|
|
|
|
некоторых а0 и р 0, определяющих порядок обобщенной |
функции g иМ~С> |
0, |
не зависящем от |
ф |
; в Sc |
в слабом смыс |
ле 2) |
пусть |
|
|
|
|
|
|
S c |
|
и gv |
|
|
|
|
|
|
|
{gv}v=i, г,... d |
|
|
|
в S c |
—>0 |
|
|
|
|
|
|
при |
V |
|
|
|
оо; |
тогда |
|
фѵ —>•0 |
|
|
при |
ѵ —> оо. |
|
|
лег |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
1) Простыми |
оценками |
ко проверить, что |
|
|
|
|
|
|
■ Ф (I + |
|
Щ при Ah j —> 0 в S c . |
Ф (£ + Л -(- Дк,) — ф (5 + Л) |
|
dh. |
|
|
|
|
|
|
Дh} |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
следует, |
|
что |
|
ф е С м |
и что |
|
П “ф |
Qi) |
= |
|
(g(£), |
D a |
ф |
{ I |
|
+ |
|
|
|
/Далеег ) ) . |
|
имеем |
цепочку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1ф ||а,р = |
|
|
sup |
|
|
(1 + |
|
I |
h |
|р) I |
D aty (h) |
I = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
p |
|
F |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o | |
< |
|
|
, |
h |
S |
|
|
, |
|
h |
(l + |
|Ä|p)lte(É),öfo(É + |
|
Ä ))l< |
|
|
M |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
= |
|
sup |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loci< |
|
|
p |
|
|
|
e |
F |
Q |
|
|
|
p |
)I = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
•II |
|
||aoiPo |
|
|
sup |
|
(1 + |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ip+Po) I ° афM |
|
• g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|o|<P+Po |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , ea0P a +p a0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
I |
|
fl |
a |
0,P |
|
|
o ' |
|
II |
Ф |
| | a + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g, |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при некоторых |
|
|
|
|
|
|
|
определяющих порядок обобщен |
ной |
функции |
|
|
|
|
причем |
|
при |
выводе |
было |
использовано |
предложение 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C l S c |
|
и |
стремится |
|
|
к |
|
|
нулю |
|
|
2) |
|
|
|
Пусть |
|
{gv}v=i, г,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
Sc |
|
|
|
в |
|
слабомv, |
|
смыслеср) |
|
при |
ѵ |
-» |
|
оо. |
Это |
означает, |
что |
supp gv d |
F a, |
V |
|
= |
1, |
|
2, |
|
. . . |
при |
некотором а, |
|
не завися |
и |
( g |
|
|
|
|
щем от V |
|
S c , |
в |
—> 0 |
рпри0 |
V |
—> с», |
для |
|
любой фиксиро |
ванной ф ЕЕ |
|
|
|
|
частности, |
для |
|
любой |
ф Е І . |
Отсюда |
следуетgv, |
|
чтоF aнайдется |
|
|
|
|
такое, |
что |
все || gv |Ро конечны |
и I gv |ро — 0 |
|
мпри |
Vgv |
|
оо. |
Из |
1, |
леммы |
|
|
1 |
|
и |
|
|
того, |
|
что |
supp |
|
|
|
|
|
CZ |
< |
|
|
при |
|
всех |
|
ѵ = |
|
2, .g v. Ц., |
|
следует, |
|
что |
I |
|
|
|
II |
|
a+c.po |
|
|
|
(е) |
I |
|
|
|
II |
Ра. |
|
Таким |
|
образом, |
существуют |
|
|
|
|
Ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
= |
|
a |
+2 |
е |
|
|
|
|
|
р |
0 |
такие, |
|
что |
все |
|| |
|
|
|
a„, |
Ро |
конечны и |
|
|
|
иS c |
|
gv |
|
|
|
Iа£ |
|
ѵ | |
| а |
0, |
р |
О |
|
|
ПРИ |
V |
-»• |
оо. |
|
В |
силу |
|
Sc- |
|
|
|
|
|
|
|
|
выше |
(Ф ѵ }ѵ = і,, |
... |
С |
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
1Фѵ ||а, р ^ |
|
|
|
доказанного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||ao,PoII II |
|
Ф |)a+a°, р+Ро- |
Таким |
образом, |
|
|| фѵ || |
а, Р -» |
О |
при |
ѵ -»■ |
|
|
|
|
|
|
при |
всех |
|
> |
|
0, |
|
|
= |
|
0, |
|
1, |
|
. . ., |
|
т. е. |
фѵ —•0 |
в |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
Дифференцирование: |
|
пусть |
|
g d |
S c и |
|
|
— произ |
|
|
|
|
|
|
мультиипдекс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
вольный |
|
|
|
Определим |
|
|
функционал |
|
D ag |
равенством |
D |
|
а |
g , |
ф ) |
= |
|
( - |
|
|
1)1“ ' ( g , № |
ф |
) |
, ф |
е |
|
S c - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко |
|
проверить, |
|
что |
|
|
D ag |
ЕЕ £с |
и |
что |
дифференциро |
вание |
является непрерывной операцией в |
Sc- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sc |
|
|
|
|
|
3. |
|
Умножение на функцию. |
Класс |
всех |
функций ф £Е |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
р |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6Е С(о°) |
таких, |
|
|
что |
ф ф Е Sc для |
|
любой |
ф Е |
|
|
|
|
|
и при |
всех |
|
|
|
|
^ |
0, |
|
II Ф ф |
0, |
|
1, |
М. . . |
выполняется |
Sоценка |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | a ,p |
|
|
' 1 ф |
| | a + a ' ,p + p |
' j |
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при некоторых М , а ' , р ' , не зависящих от ф , будем назы вать классом мультипликаторов в Sc и обозначать Л с-
Пусть g £Е Sc и ф ее Л с ', определим функционал ф g равенством
(Ф£, ф) = (g, фф), Ф Е S G.
Очевидно, ф£ ЕЕ S c , так что Л с является классом муль
типликаторов также и для S c -
Заметим, что все введенные выше операции линейны и в случае регулярных обобщенных функций совпадают с соответствующими операциями для обычных функций.
4.Свертка. Рассмотрим прямое произведение двух
пространств Я п и обозначим Е = (£, £'), Y = {у, у'), . . . ЕЕ
еX
P c x c (S )= |
sup |
|
[— |
{Y, |
В)], |
FZ |
= |
|
{S: Цехе ( S ) < |
а}, |
|
|
|
|
|
Уергсхс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Ф||а,Р= |
sup |
|
(l + \E\P)\DM)(E)\, |
Ф е 5 схс. |
|
|
|
|
|
|А|«р.зек£ |
|
|
10. |
Имеют |
место |
|
включения |
П р е д л о ж е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
а' |
|
Fa |
С |
F a |
X |
F a |
|
и |
F ai |
X |
|
F |
a, |
е |
|
F |
а*, |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max {0; ö^} + |
|
|
{ 0; а2}. |
|
из |
легко проверяе |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
следует |
|
мых |
неравенств |
|
|
Рсх с (В) < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max {рс © ; Pc (S')} < |
|
|
|
|
|
|
|
max {0; рс (£')}• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
max {0; рс (Ш + |
|
П р е д л о ж е н и е |
|
|
11. |
1) |
Пусть |
t p e S c ; |
опреде |
лим |
|
Ф+ (S) |
= cp (I |
+ |
|
£'); |
|
|
тогда |
|
Ф+ |
|
S c x c, |
причем |
|
|
|
|
М • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пустъ, |
кромеIФ + |
||а,Р |
|
|
|
II ф |І2а,р, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где М |
|
|
не зависит от |
|
|
|
|
|
Л п |
|
F а при некото |
2) |
тогда0 |
|
|
|
того, |
supp ф d |
\ |
ром |
а; |
|
|
|
|
|
Л гпф\; |
F at |
х |
F |
а_ аі, |
|
где а — произ |
|
|
|
supp Ф+с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вольное число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
ПустьС |
|
ф е 5 с |
и |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
и Ф+ (S) |
= |
ф (! + |
g'). |
|
|
Очевидно, |
Ф+ е |
|
|
и для лю |
бых |
а > |
0 |
и р = |
0, 1, . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||ф+|а,р = |
|
sup |
|
(і + |
|В |Р)|і)Аф +(а ) | < |
|
|
|
+ |
6')|. |
|
|
|
|A |<p ,s <=k * |
sup |
|
|
(l + |
|£|», + |
|g'|p) P ? D ^ ( S |
|
|
|
|
|
|
|a+a'/<p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5;5')eF„x
