Так |
как |
Fa |
d |
F a |
X |
|
F a |
(см. предложение 10), то, исполь |
зуя |
предложение |
2, |
имеем |
| + |
6= |
F 2a, |
|
| 1 — ?' | «С |
<1 у-1 [4а + |
| |
£ + |
?' |
I 1. Таким образом, |
d |
|
+ g o K |
|
і|ф+ііа ,р < м 1. |
sup |
(l + |
i s r + |
i m |
p ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
Им<Р- |
а |
| |
< р |
su p |
кЛ ,па |
(1Я +“ф |
Cn)| лI=|р)мI - і ф Цво.р - |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, - п е |
F а |
|
|
I') |
|
|
|
2) |
Пусть теперь |
supp cp d |
\ |
|
и |
ах |
— произволь |
ное число. |
Выберем произвольное Е = (£; |
|
|
supp Ф+ П |
П |
F ai |
X |
F а^аі. |
Тогда, |
|
с |
одной |
стороны |
|
рс |
(£ + £') > |
а, |
а с |
другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нс (? + ?') < Нс (?) + Нс (?') < ах + (а — аг) = а.
Полученное |
|
противоречие |
показывает, |
что |
множество |
supp Ф+Г| Ді, X |
F |
а_аt пустое. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
g1 |
|
и |
|
|
Е |
S c ' , |
используя лемму 1, |
легко пока |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
зать, |
|
что |
|
|
определено |
|
тензорное произведение |
|
X |
ft Е |
е |
S'cxc |
,2 |
d |
причем |
|
|
supp |
gi |
X |
|
|
g2 d |
F Ui |
X F a., |
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
supp gl, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Сверткой |
двух |
обобщенных |
|
О п р е д е л е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
функций |
|
g! |
и |
g2 ЕЕ S с |
назовем |
|
|
функционал |
gx |
* |
|
g2, |
за |
даваемый |
|
|
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(gi * |
ga, |
ф) |
= |
|
(gi |
X |
g2, Ф+) = |
(gi (?) |
X |
ga (?')> Ф (? + |
|
?')). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
любых gi |
и g2 ЕЕ S c |
|
|
Ф е |
|
»5с- |
|
Л е м м а |
|
4. |
|
Для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свертка gy |
* |
g2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
supp |
|
gi * ga CI |
|
|
|
определена, |
|
принадлежит |
S c , |
|
|
F a&at, |
если |
supp g1)2 d |
|
F a |
„ |
|
имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
(gi |
* ga, ф) = |
|
(gi (?), (ga (?'), |
Ф |
(? |
+ |
?'))), |
Ф e |
|
|
S c . |
|
|
|
|
|
|
|
следует, |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из предложения 11 |
что |
свертка |
|
|
|
|
* g2 |
действительно |
определена |
на |
всех |
|
|
gxSc- |
|
функциях |
|
ср е= |
|
|
|
Далее, |
так |
|
как |
gi |
X |
g2 |
е £схс> то |
при |
некоторых |
|
а и р |
|
норма |
|
|| gx |
X |
gafla.p |
— конечна. |
Отсюда и |
|
из предложения 11 имеем |
ga• |
||а,р ■ || Ф+ ||а,р < |
|
|
|
I (gi * ga, ф) | = |
* |
| (gi |
X |
ga, Ф+) | < |
I gi Xм |
|
|
|
так |
что |
|
|
gi |
|
g 2 |
ЕЕ S c - |
|
|
|
|
^ |
|
II gi X ga||a,p' ІІФІкр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейность |
|
очевидна. |
|
|
Пусть |
теперь supp gu2 d F ai при некоторых a1)2 и пусть cp d d S c такая, что supp cp d Л п \ F Ui+at. В силу предло
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жения |
11, supp |
Ф+ |
d |
FT-n |
F ai |
FX |
5 0г> |
а |
так |
как |
|
|
|
|
gx |
\ |
|
supp gx X g2 d 5 0l X |
|
5 Qa, TO (gx * g2 , ф) = |
(?! X |
g2, ф +) = 0. |
Отсюда |
следует, что |
|
supp |
|
* g2 d |
ai+a |
|
|
|
Равенство |
(gx * gs, |
|
cp) |
= |
( ^ |
(|), (g2(£')> |
cp |
(£ + |
|'))), |
tp E iS c i |
следует из определения тензорного произведения |
ипредложения 9.
Пр е д л о ж е н и е 12. Свертка обладает следующими
свойствами в Sc- |
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутативность); |
|
|
|
|
|
|
а) |
8і * ёъ — |
gi * gi |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
б) |
gi * |
(gi |
* |
g3) |
= |
(gi * |
gi) |
* g3 |
= |
|
gi * |
gi |
* gs |
ассоциа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
тивность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дистрибутивность); |
|
в) (gi + |
g2) |
* g3 = |
|
gi * g3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g2 * g3 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r) |
|
); |
* gs — |
|
H g i |
|
* g2)I |
|
t |
— |
произвольное, комплексное |
|
(^gi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
число-, |
F)a ( g i * g t) = { D |
|
agx) |
* |
g2 |
= |
|
gx* D ag2, |
|
а — произволь |
ныйД)мультииндекс; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в S e) |
пустъ |
{gv}v=i,2, ... d |
|
|
S ’c |
gv |
|
0 |
|
npu |
|
v |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c в слабом смысле; |
|
|
тогда |
|
gv * g —у 0 при |
|
|
|
|
в |
слабом смысле при любой фиксированной g v —>- oo б 5c |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
Свойства |
|
|
|
|
|
d |
5 с - |
|
|
|
|
а) — д) легко про |
веряются. |
|
Рассмотрим свойство е). Пусть {gv}v=i,2, ... CZ 5с |
и gv—v 0 |
|
при |
V ■— оо в |
|
5с |
|
в слабом смысле. Это озна |
чает, что существует число |
|
а |
|
такое, |
что |
supp gv d |
Р а |
|
и |
|
при |
всех |
|
V = |
|
1, |
2, |
|
. . . |
|
, |
|
|
|
что |
|
V—►lim(gv,СО |
ср) |
= |
0 |
для |
всех |
ср d |
|
Sc- |
Поэтому |
|
в |
|
силу |
предложения |
9 |
после |
довательность |
(фѵ (£) = (gv (£'), |
|
ср (£ + |
£'))} |
|
стремится к |
нулю |
в |
|
|
5с при |
V |
—>■ |
|
оо. |
|
Отсюда и из леммы 4 следует |
свойство е). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свойств преобразования |
|
Перейдем теперь к изучению |
Лапласа. |
|
|
Для |
удобства объединим их в |
виде |
леммы. |
|
Л е м м а 5. |
|
Преобразование |
Лапласа |
|
обладает |
сле |
|
|
|
|
|
|
,1>2 |
|
|
|
(z), |
h |
d |
M"", |
|
|
|
|
|
дующими свойствами в S c : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
£ Igft] (г) |
= |
|
e*(z- |
|
|
|
|
|
[g] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
£ [.D ag] (z) |
|
— |
(— |
iz)a |
|
|
[g] (z), |
|
|
a |
|
|
|
произвольный |
|
|
|
|
|
|
D |
£ |
|
|
a |
|
—— произвольный |
мулътииндекс; |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
a £ |
[g] |
(z), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
£ К i£)a g (I)] (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мулътииндекс; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[g] |
|
z |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
г ) |
£ [б*<ш- Vg (I)] |
|
( z) = |
|
£ |
|
( |
+ |
|
u>), |
u; |
|
T G; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2g2](z) |
|
= |
tx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
£ Uigi + |
|
z) |
|
= |
|
|
£ |
|
|
|
|
|
2 |
|
[gil (z) |
+ |
t2 |
£ |
[g2] (z); |
|
|
е) |
£ [gi * g2l ( |
|
|
|
|
|
|
[ g j (z) £ |
[g2] f z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Свойства а), б), г) и д) легко проверяются. Свойство в) фактически доказано при дока зательстве леммы 2 (см. следствия 1 и 2). Обратимся
к свойству е). Пусть glj2 ЕЕ Sc- |
Цепочка равенств, в ко |
торойй |
f |
используетсяg i * |
g |
|
лемма2 ] |
(4,z |
доказывает) = |
это( |
свойствоg i * : g |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
( |
|
g |
i |
© |
|
Й [gi] (z) • Й [ga] (z). |
|
|
|
|
= (gi © , еі(гД)) (ga ©), еі(2Д>) = |
|
3 |
|
|
а M e |
4 |
а и и e. |
Справедливы аналоги |
свойств а) — |
е) для обратного преобразования Лапласа. |
|
|
|
|
|
Из леммы 5 вытекают следующие свойстваw ЕЕ Т пространстс |
ва |
Н С'- |
пусть |
/ |
(z) |
ЕЕ |
Н с \ |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда е*(г-л) / ( ), za / (z), Z>a / (z), |
/ (z + |
к?) |
ееЕЕ |
|
|
при |
|
любых Я ЕЕ |
txfx |
|
и |
произ |
вольном |
мультииндексе |
а; |
кроме |
того, |
(z) |
+ |
£2/2 (z), |
/ i(z)-/2 |
(z) |
Я с , |
|
при |
любых /1)2 |
(z) е Я с |
|
и произволь |
ных комплексных числах £1)2. |
|
|
результатов сле |
|
Отметим также, |
что |
из |
полученных |
дует, что S c обладает структурой алгебры относительно обычных операций сложения и умножения на комплекс ные числа и свертки. Аналогично, Н с обладает струк турой алгебры относительно обычных операций сложения и умножения функций и умножения их на комплексные числа. При этом преобразование Лапласа осуществляет
изоморфизм алгебр S c и Нс-
5.Некоторые применения преобразования Лапласа
Вприложениях наиболее часто встречаются обобщенные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции g |
ЕЕ |
|
|
такие, |
что supp g d |
|
= С * . |
Множест |
|
Sc |
FS0' (С*). |
во |
Твсех таких функций обозначается |
|
|
При |
этом |
й [б1' (С*)] |
состоит из |
всех функций / (z), голоморфных |
в |
с |
и удовлетворяющих |
оценке определения 4 с |
а |
= О |
и обозначается |
Н |
( |
С ) |
( |
см. [4]). Из полученных выше ре |
зультатов |
следует, |
что |
S' |
(С*) и |
Н (С) |
являются подал |
|
|
|
гебрами алгебр Sc и Н с соответственно, причем преобра зование Лапласа осуществляет изоморфизм алгебр S ' (С*)
иН (С).
1.Ядро области Тс . Ядром трубчатой области Тс,
где С — открытый острый выпуклый конус в Я п с верши ной в нуле, называется функция
Оно подробно изучено В . С. Владимировым и использует ся для получения интегрального представления Коши — Бохнера [4] (см., также [8], где это представление доказы вается для нового важного класса функций). Приведем
здесь ряд результатов из |
[4]. |
|
К с |
|
Из определенияS' |
следует, что функция |
К с (z) |
является |
преобразованиемК с Лапласа , характеристической |
функции |
Ос* (1) GE (С*)- |
|
Отсюда |
следует, что |
|
(z) е Я (С). |
Докажем для |
(z) следующее представление: |
|
К с (z) = |
іпГ (п) |
^ |
da |
: |
f C m |
|
/ \'/С |
|
|
|
|
|
|
рг С. |
(2,6) |
|
|
|
Поскольку слева и справа стоят голоморфные в Тс функ ции, то равенство достаточно доказать для z — іу, у ^ С. В этом случае имеем
К с (іу) — ^ |
^^er^V’^t^dtda = |
|
5 |
|
|
|
|
С* |
|
ргс* о |
|
|
|
= |
*"Г(«) |
da |
Из |
|
доказанного представления следует, |
ргС |
|
|
что |
функция |
К с |
(z) |
голоморфно |
продолжается в область |
|
|
|
|
|
|
© = |
<ёп |
|
U |
|
{z: (z, о) = |
0} |
|
|
|
и |
удовлетворяет оценке |
oSpr С* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I D*Kc (z) I < |
|
|
|
I (у), z GE Г Д |
|
d (у) — |
где |
|
а — произвольный |
|
мультииндекс, |
a |
|
— |
|
inf |
(у, а) |
— расстояние от точки |
у |
С |
до границы С. |
оергс* |
|
К с |
|
|
|
Н (С) |
|
|
|
|
|
|
С помощью ядра |
(z) строится интегральное пред |
ставление для функций / (z) е= |
|
|
|
|
|
|
где Zm (г) — некоторый (допустимый) полином, |
а |
fM |
— |
обобщенная функция из 33&г (определение и свойства про
странства 3)<е, скг., например, в [4] пли книге Л . Шварца [12], гл. 11, § 8). Используя приведенное выше представ ление для К с (z), представлению для / (s) можно придать
