Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

имеются в таких стандартных справочниках, как Янке, Эмде и Леш [1], Эрдейи [1]. Мы также используем без до­ казательства ряд классических результатов из обычной теории интегральных преобразований, в частности ком­ плексную формулу обращения для преобразования Лапла­

ставляется мало оправданным. Наконец, в пп. 8.5 и мы рассматриваем два специальных типа преобразований

свертки обобщенных функций на основе некоторых ре­ зультатов из книги Хиршмана и Уиддера о преобразова­ ниях типа свертки.

Для всех теорем, следствий, лемм, примеров и рисун­ ков используется тройная система нумерации; первыми двумя числами обозначается пункт, в котором они впер­ вые появились. Например, лемма 1.8.1 и теорема 1.8.1 — это соответственно первая лемма и первая теорема пунк­ та 1.8. В то же время формулы имеют одинарную нумера­ цию, начинающуюся с (1) в каждом пункте.

А. Г. Земанян

Сентябрь 1968

10

Г Л А В А 1

СЧЕТНО-М УЛЬТИНОРМ ИРОВАННЬІЁ ПРОСТРАНСТВА, СЧЕТН Ы Е

ОБЪ ЕД И Н ЕН И Я ПРОСТРАНСТВ

ИСО П РЯ Ж ЕН Н Ы Е К НИМ

1.1.Введение

Теория обобщенных функций основана на теории тополо­ гических линейных пространств, однако для наших це­ лей не обязательно знание всех тонкостей последней, особенно если использовать более простое понятие про­ странства с секвенциальной сходимостью. Эту главу мы посвятим некоторым результатам теории пространств указанных типов, необходимым для понимания последую­ щих глав. Однако сначала в п. 1.2 мы приведем сведения о терминологии и обозначениях, которых будем придер­ живаться на протяжении всей книги.

1.2. Обозначеніи и терминология

Прежде всего отметим, что в конце книги имеется алфа­ витный указатель; он содержит наиболее важные терми­ ны, используемые в тексте.

Символы Я п и сЗ п обозначают соответственно действи­ тельное и комплексное тг-мерное евклидовы пространства. Таким образом, точкой t в М п (в сё п) является упорядо­ ченный набор п действительных (соответственно комплекс­ ных) чисел: t = {іх, t2, . . ., tn}; число | t | определяется формулой

(1)

Расстоянием между двумя точками іи т называется вели­ чина 11— XI, где вычитание проводится покомпонентно.

Компактное множество в Л п или в Чоп — это замкну­ тое ограниченное множество (однако в более общих ти­ пах топологических линейных пространств замкнутые ограниченные множества не обязательно компактны). Если I — открытое множество в Л п, К — компактное

И

операция взятия частной производной обозначается сим­

этого символа будет ясен из контекста и не вызовет пута­ ницы с обозначением (1). Обычную (частную) производ­

«обычная» для того, чтобы отличать эту функцию от обоб­ щенной, которая будет введена позже.

Если область значений обычной функции / принадле­ жит J? 1, то мы называем / функцией с действительными зна­ чениями. С другой стороны, комплекснозначная функция яв­ ляется в то же время обычной и поэтому может иметь в ка­

12

условию 1 р <z оо; как обычно, L v (/) обозначает се­ мейство всех локально интегрируемых на I функций / (или, точнее, семейство всех классов эквивалентности), удовлетворяющих неравенству

$ | / ( * ) | M f < o o . .

элемент из fë1. Если специально не оговорено, то всегда

иположительно. Подобное же соглашение принимается

иотносительно других многозначных функций, таких, как функция Бесселя Jy (z) первого рода и порядка р или модифицированная функция Бесселя Ку. (z) третьего рода и порядка р. Как следствие, получаем, что когда р

действительно, то J y (z) и Ку (z) — функции с действи­ тельными значениями, если z действительно и положитель­ но (Янке, Эмде и Леш [1].

13

Мы будем иногда использовать обозначение {ср : Р(ср)} для множества всех элементов ср, для которых утвержде­ ние Р (ср) справедливо. Кроме того, {фѵ}ѵел обозначает семейство элементов, помеченных индексом ѵ, причем V пробегает некоторое множество А . С другой стороны,

1.3. Линейные пространства

Линейное пространство (или векторное пространство) — это обобщение понятия семейства векторов в евклидовом пространстве. Оно определяется таким образом, что поня­ тия «сложения векторов» и «умножения вектора на число» сохраняются. В качестве «чисел», на которые умножаются векторы, берутся элементы некоторого поля. Во всех примерах лнпейных пространств, встречающихся в этой книге, таким полем является 'S1, пространство комплекс­ ных чисел. Поэтому мы будем пользоваться следующим более узким определением линейного пространства. Се­ мейство Ѵ* элементов ср, ф, Ѳ, . . . называется линейным пространством, если выполняются следующие аксиомы.

1 . В V определена операция + , называемая сложе­ нием, которая любой паре элементов ф и ф ставит в соот­ ветствие единственный элемент ф -(- ф в W . Кроме того,

+обладает следующими свойствами:

*) Определение направленного множества см., нанрпмер, в книге К . Иосида «Функциональный анализ». «Мир», М ., 1967,

стр. 150. (Прим, иерее.)

14