Файл: Брудка Я. Легкие стальные конструкции.pdf

Теория тонкостенных стержней опирается на гипотетическое положе­ ние так называемого ж е с т к о г о к о н т у р а . Практически это положе­ ние надо понимать так: при предельной нагрузке в стенках возникает напряженное состояние, не вызывающее потери местной устойчивости

стенок.

Теория закритической несущей способности. На совершенно проти­ воположное положение опирается теория закритической несущей спо­ собности. Замечено, что достижение критического напряжения в средней части не вызывает потери ее способности к дальнейшему восприятию нагрузок, если одна или более продольных граней остаются прямыми (рис. 5-3). Подробно это явление описано в разделе 7. В зависимости от вида стенки, которая утратила местную устойчивость, ее предельная несущая способность (или закритическая) по сравнению с критической нагрузкой может быть значительной, а чаще всего в несколько раз выше. Открытие этого явления было исходным пунктом для разработки полуэмпирической теории так называемой с о в м е с т н о р а б о т а ю щ е й (приведенной) стенки, заменяющей действительную стенку тонко­ стенного стержня. Тонкостенный профиль подразделяют на стенки типа стенки-балки (рис. 5-3, а) и типа полки (рис. 5-3,6). Стержни считаются тонкостенными, если выполняются следующие условия:

стенки типа стенки-балки

Ь . 1065

стенки типа полки

— > 10,

g

где а — равномерно распределенное нормальное напряжение в стенке.

5.4.2. Область применения отдельных методов

Расчет элементов легких металлических конструкций ведут следую­ щим образом:

по теории призматического стержня со оплошным сечением рассчи­ тывают стержни, подвергающиеся осевому растяжению;

по теории тонкостенного стержня рассчитывают только стержни,

вкоторых появляются внецентренное растяжение, внецентренное сжатие

вдвух плоскостях, изгиб в одной или двух плоскостях, боковое выпучи­ вание при изгибе в одной плоскости и кручение с изгибом. В этом случае стенки профилей при таких нагрузках не могут потерять местную устой­ чивость;

по теории закритической несущей способности рассчитывают стерж­ ни только под такой нагрузкой, которая вызывает изгиб в одной пло­ скости. При этом надо .предварительно доказать, что стенки профилей при таких нагрузках теряют местную устойчивость, а стержни не под­ вергаются боковому выпучиванию.

106

5.4.3. Область применения методов для расчета гнутых профилей

Элементы конструкций из гнутых профилей можно рассчитывать по теории тонкостенных стержней или закритической несущей способности под нагрузкой, вызывающей осевое или внецентренное сжатие в одной плоскости. Несмотря на различие принципов в основе расчета, по обоим методам на практике во многих случаях достигается достаточное сход­ ство в оценке несущей способности стержней.

При расчете стержней любым из этих методов должны выполняться условия, приведенные в 5.4.2 [п. «б» или «в»]. Сравнивать эти методы можно только в процессе их внедрения. Примеры сравнений методов да­ ны в работах [22], [24] и [31].

в*

6. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПО ТЕОРИИ ВЛАСОВА

'6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

шинства случаев определения напряжений в призматических стержнях, утверждает, что во время упругого, изгиба плоские сечения, перпендику­ лярные оси первоначально прямого стержня, остаются плоскими на все время действия деформации. Вначале такая гипотеза принималась при всех видах деформаций. Однако уже на заре развития науки о сопро­ тивлении материалов оказалось, что для призматических стержней во всех случаях возникновения деформаций сдвига, а следовательно при действии крутящих моментов м поперечных сил, такое положение не­ правильно.

Сечения тонкостенных стержней не остаются плоскими, а подверга­ ются боковому выпучиванию. Боковое выпучивание плоских сечений названо их депланацией (или короблением).

Первые работы по вопросу поведения тонкостенных стержней с от­ крытым профилем были изданы Вагнером [211, 212], Каппусом [99] и Тимошенко [203]. Заслугой советских ученых, прежде всего Власова [233—226] и Уманского [207], является внесение ясности и упорядоче­ ние понятий теории тонкостенных конструкций. В Польше в этой об­ ласти известны работы Налешкевича [142], Рутецкого [173, 174], Бжоски [41] и Мутермильха [139].

В механике тонкостенных стержней гипотеза плоских сечений заме­ няется более о б ще й г и п о т е з о й ж е с т к о г о к о н т у р а . Стержень рассматривается как цилиндрическая или призматическая оболочка, форма поперечного сечения которой в любом месте вдоль оси стержня остается неизменной. Сечение может только вращаться или передви­ гаться в своей плоскости (рис. 6-1). Во время деформации стержня его сечение перестает быть плоским и подвергается короблению. Гипотеза плоских сечений является частным случаем гипотезы жесткого 'контура.

Для профилей с открытым контуром (например, швеллерным, угло­ вым), кроме того, принимается условие, при котором деформация сдвига центральной поверхности оболочки должна равняться нулю. Это упро­ щение не распространяется на профили с замкнутым контуром (напри­ мер, на прямоугольные трубы).

Сечения во время деформации могут перемещаться, поворачиваться вокруг своих главных осей, подвергаться короблению. Деформации вы­ зываются: осевой силой Р, которая в свою очередь вызывает деформа­ цию 6 вдоль оси стержня; моментом М пары сил, вызывающим поворот

108

сечения на угол Ф; биомоментом В двойной пары сил, вызывающим по­ ворот двух плоскостей по отношению друг к другу, в которых находятся эти пары;.

С понятием коробления (депланации) связано понятие бимомента двойной пары сил, образующих четверку самоуравновешивающихся сил.. В качестве модели системы, в которой действуют самоуравновешивакь щиеся напряжения, может служить пространственная решетка, подвер­ гающаяся воздействию продольных сил, как показано на рис. 6-2 [141]. Под действием этих сил возникает кручение и коробление. В настоящей тонкостенной конструкции нормальные напряжения, вызванные круче­ нием и короблением, вызывают равнодействующие, имеющие характер четверки самоуравновешивающихся сил (рис. 6-3). Такая четверка пред­ ставляет собой двойную пару сил. Мерой интенсивности действия двой­ ной пары сил является бимомент

В = Pbc — PFaghf кгс!см2.

Бимомент поворачивает одну часть тела по отношению к другой во­ круг двух осей и в двух плоскостях. Чтобы такой поворот мог воз­ никнуть, рассматриваемое тело должно быть упругим в одном направ­ лении, а в двух других направлениях совершенно жестким, что соответ­ ствует гипотезе жесткого контура. В качестве примера, иллюстриру­ ющего сущность проблемы, на рис. 6-4, а показан кривой стержень, закрепленный с одной стороны и нагруженный силой Р, перпендикуляр­ ной плоскости, в которой лежит ломаная ось стержня:

В = Раг гг + Ра2 r2 = P (fli гх + а2г2).

Выражение в скобках является двойным полем, заключенным между отрезками оси стержня и радиусом-вектором, проведенным из точки А (места крепления стержня) к концу стержня. Обозначая соответственно двойные поля coi и (о2, получаем

В = />(<»,+<ft2) = / > e>,

где ш — двойное заштрихованное поле четырехугольника.

Бимоменты всех внешних и внутренних сил по отношению к трем осям прямоугольной системы координат должны быть в равновесии.. Следовательно, получается девять уравнений равновесия:

Для тонкостенного стержня с открытым профилем сдвиг точки М (рис. 6-4, б) равен:

и (z, s) = £ (z) — I' (z) * (s) — ц' (г) у (s) — <р' (г) ю (s),

где £ (z )— продольный (осевой) сдвиг сечения z=const; £'(z), r]'(z) — углы поворота сечения соответственно вокруг осей х н у [производные прогибов |(z ) и 4 (2 )]; x(s), y ( s ) — функции, определяющие в прямоугольных координатах положение рассматрива­ емой точки. Точка М лежит в плоскости z = const; <p'(z)— производная угла кручения

К»

Подставляя это выражение в формулу Гука, получаем:

о (г, s) = E [£' (г) — £" (z) х (s) — rf (г) у (s) — ср" (г) со (s)].

Формула растяжения с изгибом и кручением приобретает следующий

где В (г) — бимомент самоуравповешивающихся напряжений; / — момент инерции сек­ тора. Остальные символы имеют обычное значение, принятое в сопромате.

Для стержня е замкнутым профилем получается аналогичная форму­ ла для нормальных напряжений .при растяжении с изгибом и кручением.

Теория тонкостенных стержней вводит ряд понятий, связанных с ко* роблением открытых или замкнутых профилей. Эти понятия, общие для обоих типов профилей. Различия проявляются лишь в способе расчета их численных величин (см. 6.2—6.4).

При гипотезе плоских сечений пользуются геометрическими характе­ ристиками:

статическими моментами относительно оси х или у, моментами инерции относительно тех же осей;

центробежным моментом инерции относительно системы осей ху\ полярным моментом инерции; моментом инерции при свободном кручении открытого или замкнуто­

го профиля.

При гипотезе жесткого контура должны быть дополнительно учтены геометрические характеристики, вытекающие из коробления открытого или замкнутого профиля. Эти характеристики обозначаются следующим

образом:

секториальный статический момент площади сечения

= f юdF-

F

секториально-линейный статический момент (сечения относительно оси х)

S»x = f аУар’

F

секториально-линейный статический момент (сечения относительно оси у)

F

секториальный момент инерции сечения

F

где со — секториальная площадь.

112