ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 1
В состав 'подынтегральной функции всегда входит величина со, отне сенная к точке, расположенной на контуре сечения. При обозначении этих характеристик контур сводится к центральным осям его стенок. В теории тонкостенных стержней каждая точка контура характеризует ся тремя величинами в прямоугольной системе координат: абсциссой х, ординатой у и секториальной площадью со.
Рис. 6-5. Открытый профиль и точки контура для опреде-
|
ления площади сектора |
|
w |
|||
Рис. 6 -6 . Тонкостенные профили, в которых одна или две |
||||||
координаты центра сдвига |
известны |
|
||||
О — центр тяжести; |
5 —-центр сдвига; В — вспомогательный полюс; |
|||||
а — е — профили с |
одной |
осью |
симметрии |
на |
оси |
симметрии; |
ж, з — профили с двумя осями симметрии; и — профиль, |
симметрич |
|||||
ный по отношению |
к точке в центре тяжести; к |
— профиль, обра |
||||
зующийся |
в виде |
системы |
стенок |
|
||
На рис. 6-5 показан открытый профиль. В качестве полюса можно взять любую точку А. Радиусы, проведенные к любым двум точкам М0 и М, лежащим на контуре, называются начальным радиусом АМ0 и ра диусом-вектором AM.
Секториальной площадью относительно полюса А является двойная площадь сектора АМ0М\
|
0 |
$2 |
(6-2) |
|
(Од — — j |
r2dQ = — J rds, |
|
|
a |
Sj |
|
где а, р, s 1, s2 — пределы |
интеграла, соответствующие концам дуги |
М0М; г — данная |
|
функция, определяющая форму контура |
|> = /(в )]; d6 — элементарный угол поворота |
||
радиуса AM относительно |
радиуса /Ш 0, |
соответствующий элементарному отрезку ду |
|
ги ds, если dF—gds\ g — толщина стенок, принимаемая в дальнейшем как постоянная.
113
Дополнительная величина секториальной площади получается при движении радиуса-вектора по часовой стрелке.
В механике тонкостенных стержней при определении размеров чаще всего используются геометрические характеристики относительно полю са А, принимаемого в центре изгиба s.
Центром изгиба называется точка, через которую должна проходить поперечная сила, если стержень подвергается изгибу без кручения. В се чениях стержней, в которых напряжения не превышают предела упру гости, положение центра изгиба зависит только от геометрических вели чин сечений. Ординаты центра изгиба наиболее часто встречающихся сечений показаны на рис. 6-6. Центр изгиба расположен: для профилей с одной осью симметрии (рис. 6-6, а—е) — на оси симметрии; для про филей с двумя осями симметрии (рис. 6-6, ж, з) и профилей, симметрич ных по отношению к точке (рис. 6-6, и), — в центре тяжести; для профи лей, образующихся в виде системы стенок, пересекающихся в одной точ ке (рис. 6-6, г, е, ж, к), — в точке пересечения этих стенок.
Приведенные выше положения относятся к открытым и замкнутым профилям. При оценке симметричности профиля следует учитывать не только размеры контура (т. е. оси центральных стенок), но и толщину стенок.
Вспомогательный полюс В — это точка, лежащая на контуре, рассто яние от которой до центра изгиба минимально и для которой величина секториальной площади равна нулю. Через эту точку проходит началь ный радиус, служащий началом отсчета величин секторных полей. Для примеров, показанных на рис. 6-6, полюс В лежит на оси симметрии или на пересечении двух стенок.
Необходимо отличать центр изгиба от центра кручения. Центром кручения называется точка, вокруг которой происходит относительный поворот соседних сечений скручиваемого стержня. Геометрическое место центров кручения образует ось кручения. Вообще ось кручения не явля ется прямой линией. Ее форма и положение по отношению к главным осям профиля зависят от нагрузки. Для профилей с двумя осями сим метрии центр кручения совпадает с центром изгиба, а следовательно,
ис центром тяжести.
Вдальнейших пунктах данного раздела приводимые формулы будут относиться к стержням с постоянным сечением, т. е. к таким, в которых толщина стенок не изменяется по своей длине стержня. Этому условию обычно удовлетворяют гнутые профили.
Для многих профилей величина секториальной площади, определен
ная формулой (6-2), равна нулю. Это относится к открытым профилям, образованным стенками, пересекающимися в одной точке, и к замкну тым профилям в форме правильного многоугольника, поэтому здесь мож но пользоваться понятием секториальной площади второго порядка с учетом действия коробления на толщину стенок. Однако величина этих полей, как правило, очень мала, поэтому на практике ее можно не учитывать. Основные проблемы механики тонкостенных стержней приве дены в работах [14, 15, 140, 173, 174, 208, 213]. Работой, пригодной для практического применения, является книга Бычкова [45].
П 4
6.1.2. Соответствие теории практике
Теория тонкостенных стержней Власова подтверждена практикой для тех случаев, когда обеспечивалась устойчивость формы контура. При небольшой толщине жесткость контура можно обеспечить с по мощью усиления его поперечными элементами. Если толщина не слиш ком мала, то гипотезу жесткого контура с достаточной точностью следу ет применять для расчета стержней без поперечных элементов.
€
Если устойчивость формы контура не обеспечена, нельзя принимать гипотезу жесткого контура в качестве единственного критерия работы стержня; в этом случае необходимо учитывать деформацию его стенок. Деформация профилей без поперечных элементов при очень тонких стен ках может быть даже больше коробления. Учет влияния деформации стенок снижает несущую способность стержня, рассчитанную без учета этой деформации.
При проведении статических расчетов тонкостенных стержней на ос нове теории Власова необходимо каждый раз анализировать, имеет ли рассматриваемое напряженное состояние от кручения местный характер (тогда в соответствии с принципом Сен-Венана его можно не учитывать) или оно проявляется на значительных отрезках длины стержня. Для такого анализа характерны приводимые ниже примеры.
Пример 6-1. Оценить, носят ли напряжения от кручения местный характер в стерж не, закрепленном на концах шарнирной опорой и подвергающемся действию сосредото ченного крутящего момента (рис. 6-7,а).
Эпюра бимоментов, вызванных такой нагрузкой, дается в зависимости от значения
х, которое |
определяет, в какой степени стержень |
можно считать тонкостенным |
(рис. 6-7,6). |
Определение х дано в 6.3.3. Для большей |
ясности эпюры бимомента при |
115
х/ = 7,5 и х/ = 10 приведены на рис. 6-7, в. Из рисунка видно, что для х / = 0 бимоменты изменяются по всей длине стержня линейно. По мере увеличения числа х/ максималь
ная величина бимомента уменьшается; |
по длине стержня бимомент исчезает |
быстрее |
по направлению к опорам, а при х /> 5 |
распространяется только на коротком |
отрезке |
стержня вблизи места приложения нагрузки. |
|
|
Вывод из анализа следующий. При х (> 5 нормальное напряженное состояние от крутящего момента следует считать местным и бимоменты не учитывать в соответствии с правилом Сен-Венана.
Пример 6-2. Оценить характер распределения напряжений в стержне, опирающем ся концами на шарнирные опоры и нагруженном равномерно распределенным крутя щим моментом (рис. 6 -8 , а).
Рис. 6 -8 . Бимоменты для примера 6-2
а — схема стержня и его нагрузка; б — эпюра |
бимоментов для * / от 0 до 10; |
в — увеличенная эпюра Симоментов для |
*/=7,5 и для * / = 10 [45] |
Эпюра бимоментов составлена так же, как в примере 6-1 .(рис. 6 -8 , б, в). Как видно из рисунка, для величины к1—0 бимоменты изменяются по длине стержня по парабо
ле второго порядка. По мере увеличения числа х( максимальная величина бимомента уменьшается, а их распределение по длине стержня становится все более равномерным, поэтому эпюра приближается к форме прямоугольника.
Вывод из анализа следующий. При х (> 5 нормальное напряженное состояние от крутящего момента выражается хоть и малыми величинами, но не носит местного ха рактера, как в примере 6 -1 .
116
Пример 6-3. Оценить влияние кручения на стержень, опирающийся концами на шарнирные опоры и сжимаемый силой, прикладываемой по оси.
Эту оценку можно дать только в том случае, если будем пользоваться графиками коэффициента гибкости, приведенными в 6.4.8.
6.1.3. Способы обеспечения жесткости контура
Власов [226] придает особое значение ужесточению поперечного се чения в теории тонкостенных стержней. Связи жесткости, применяемые в достаточном количестве в виде перегородок, позволяют значительно повысить предельную нагрузку открытого профиля на кручение, при ближая ее к предельной нагрузке замкнутых профилей. Такие перего родки имеют обычно жесткое соединение с краями профиля и препятст вуют его короблению. Вследствие уменьшения 'коробления влияние его на работу стержня во многих случаях можно не учитывать, считая такой стержень не тонкостенным, а призматическим.
Уже в первой работе о тонкостенных стержнях Вагнер [211] обратил внимание на то, что деформация стенок снижает несущую способность сжимаемого стержня. Он рассматривал равнобокий угловой профиль, принимая, что при продольном изгибе полки профиля отклоняются. Позже Каппус [100] и Власов [223] приняли упрощающую гипотезу жесткого контура. В легких элементах из гнутых профилей установка перегородок в качестве поперечного усиления трудна или нерентабельна, поскольку значительно увеличивает стоимость их изготовления. В этих случаях нецелесообразно делать перегородки или планки, так как это повлечет за собой необходимость учитывать в расчетах деформацию контура. Предполагая наличие жесткого контура при рассмотрении проблем устойчивости, достаточно рассчитать стержень на общий про дольный изгиб или боковое выпучивание, а затем на местное боковое выпучивание и в качестве нормативной несущей способности выбрать меньшее из таких условий. Только для немногих случаев оцененная та ким образом несущая способность может быть несколько вьюжа, но это не имеет практического значения. При рассмотрении прочности и прогибов следует ее определять с учетом местного бокового выпучива ния, а от одновременного кручения защищать с помощью средств кон структивного формирования элементов.
6.2. РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
6.2.1. Общие замечания
Статические моменты и моменты инерции для профилей, сложенных из нескольких стенок-плит, легче всего определить методом умножения полей и ординат эпюр подынтегральных функций. Такой арифметиче ский метод применяют при решении проблем статики методом сил. С этой целью составляются эпюры секториальных площадей ш, абсцисс х и ординат у в прямоугольной системе координат. Эти эпюры линейные. Для профилей с изогнутыми стенками эпюры криволинейные. В этом
Т А Б Л И Ц А 6-1. ИНТЕГРАЛЫ ХАРАКТЕРНЫХ ВЕЛИЧИН ТОНКОСТЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ
0 < I .....: |
Оя |
|
^ТТГПИКЧПК
* " I I P
О
]"abgds
— (а; + 2 ak) bkgi
1
— (ak + 2 а;) bigl
g (1aibi -\-2akbk +
+ aibk + ahbL) gl
1
~(al + a*) bSl
—3ak (bk — b[) —
0
— (at — ak) X
( b* |
b2i |
X — — 2 — —
V bl b>
— 2 bi + bkj gl
L !
b< [ f |
b„ |
• I I . . .
© |
|
b i W |
. |
i abgds
1
-J- afikgl
-J afagl
~ ai (Щ + bk) gl
\аМ
6 [ b l |
ь„ |
— 2 b; + |
a{gl |
случае легче рассчитывать подынтегральные функции в полярной систе ме координат. Можно также заменить криволинейные эпюры эпюрами с ломаными линиями с желаемым приближением. Для наиболее часто встречающихся случаев можно пользоваться табл. 6-1.
Гнутые профили благодаря способу их производства имеют закруг ленные углы. Если внутренний радиус закругления не превышает 1,5-кратной толщины прилегающей стенки, то при расчете величин гео метрических характеристик профиля закругления можно не учитывать, считая, что стенки пересекаются по их осям. Ошибка в этих случаях редко превышает 5%. Если же внутренний радиус закругления превы шает 1,5-кратную толщину прилегающей стенки, следует принимать контур профиля, сложенный из стенок-плит и стенок-отрезков цилиндра.
Вспомогательные формулы и таблицы, служащие для учета закруг лений в углах, приводятся в работе [97].
118
